2026-2027学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 本试卷聚焦勾股定理与实数，融入赵爽弦图、《九章算术》“葭生池中”等文化素材及饮料罐吸管、航海问题等生活情境，实现知识应用与文化传承的有机结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数分类、直角三角形判定、二次根式运算|以圆柱形饮料罐吸管长度问题考查空间观念| |填空题|6/18|平方根立方根、网格角度计算、四边形面积|通过长方形折叠问题培养几何直观| |解答题|8/72|勾股定理应用、数学文化、动点折叠综合题|结合航海距离、风筝上升情境发展模型意识与推理能力|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第1章勾股定理实数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 3．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的加减乘除的运算法则逐项计算，即可作答． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】吸管垂直放置时长度最短，斜放至底面边缘时长度最长，利用勾股定理求解． 【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 ． 当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形． 由勾股定理得 ． 则 的取值范围是 ． 6．下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②∵，∴，故②正确． ③∵没有平方根，∴，解得，故③正确． ④由题意得且，∴，代入得，∴，其算术平方根为，故④错误． ⑤∵，∴，，解得，，∴，故⑤错误． 综上，正确的有个． 7．如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．16 【答案】B 【分析】由题意得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． 8．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 9．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 10．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知a，b是有理数，若a是64的平方根，b是64的立方根，则的值为__． 【答案】或12 【分析】根据平方根与立方根定义求出a，b，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵a是64的平方根，b是64的立方根， ∴，， 当，时，； 当a＝﹣8，时，； 综上所述，的值为或12． 12．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 13．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 14．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 15．已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 16．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 19．（8分）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 20．（8分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． (2)北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 21．（8分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 【答案】(1)， (2)尺 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺， （2）解：设芦苇长尺， 则水深尺， 在中，， 即， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 22．（9分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 23．（9分）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 24．（14分）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； (2) 证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； (3) ，理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第1章勾股定理实数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 6．下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．16 8．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 9．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知a，b是有理数，若a是64的平方根，b是64的立方根，则的值为__． 12．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 13．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 14．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 15．已知，，，，比较、、的大小___________． 16．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 19．（8分）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 20．（8分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． (1)试判断的形状；并说明理由 (2)如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 21．（8分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．大致意思是：如图，有一个水面是边长为1丈（一丈等于10尺）的正方形水池，正中央有一根芦苇，它靠出水面部分高一尺，如果把它拉向最近的芦苇，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面．解决下列问题： (1)如图，线段的长为 尺，线段的长为 尺； (2)求芦苇的长度． 22．（9分）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 23．（9分）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 24．（14分）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $