第一章勾股定理基础诊断卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本卷以勾股定理为核心，通过基础诊断实现分层巩固，从概念理解到综合应用层层递进，融合生活情境与实践问题，培养数学眼光、推理能力及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股数识别、基本计算、简单应用|结合足球联赛支架等生活情境，直接考查概念，培养数学观察现实世界的意识| |进阶层|方程应用、几何图形综合|通过圆柱笔筒、折叠问题等，需多步推理，发展运算与推理能力| |综合层|动态问题、实践建模|以社区绿化设计等实践题，融合最值与方案优化，提升用数学语言表达现实问题的应用意识|

第一章 勾股定理 基础诊断卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选项中，只有一个选项符合题意) 1. 2026年4月 11 日江苏省城市足球联赛(俗称“苏超”)开幕.在场馆检修时，为了确保看台的结构稳固，工程师需要制作几个三角形支架，他选用了不同长度的钢梁作为制作三角形支架的材料，以下各组钢梁的长度中，是勾股数的是( ) A.4,6,8 B.6,8,10 C.7,24,26 D.10,15,18 2.如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则钢缆地面固定点A 到电线杆底部B 的距离为 ( ) A.12米 B.11米 C.10米 D.9米 3.在△ABC中,∠C=90°,AB=3,则 的值为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9 4.勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙.下面四幅图中，不能验证勾股定理的是 ( ) 5.如图，瓢虫在地图上的A 点出发到 C点，需向南爬7cm，接着向东爬4cm，向北爬2cm，向东爬4cm，最后向南爬1 cm到B点，如此爬行比从A 点直接爬到 B点多爬 ( ) A.8cm B.7 cm C.6cm D.5cm 6.海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段.如图，我军巡逻舰队在点A 处巡逻，突然发现在南偏东50°方向15海里的点B 处有可疑目标正在以16海里/时的速度沿南偏西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻舰队的航行速度为 ( ) A.16海里/时 B.20海里/时 C.32海里/时 D.34海里/时 7.如图是两个不同型号的圆柱形笔筒，底面直径相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4 cm和2cm，则铅笔的长为 ( ) A.19 cm B.21 cm C.23 cm D.25 cm 8.包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图(1),实践小组的同学将一个10cm×30 cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分，得到图(2)所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A 出发，沿书架内壁爬行到顶点 B 处，则它爬行的最短距离为 ( ) A.40 cm B.50cm C.60 cm D.70 cm 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D点,AC=4,AB=5,则BD 的长度为 ( ) A. B. C. D. 10.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.分别以AB,AC,BC为边，在AB的同侧作正方形ABEF、正方形ACPQ 和正方形BCMN,若阴影部分的面积分别为S₁,S₂,S₃,S₄,则 等于 ( ) A.18 B.20 C.22 D.24 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 . 12.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口 D所在的水管，水管AB上的点E 处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C 的距离CD为15cm，出水口D 到点E 的距离为17cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE 为 cm. 13.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=6,Rt△ABC 的周长为14,则AB边上的高为 . 14.勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7，24，25；…，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如6，8，10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数)，则其股是 .(用含m的代数式表示) 15.如图，大风将山坡上的树甲从点A处吹断(AB 垂直于地面)，树甲的顶端恰好落在树乙(DC 垂直于地面)的根部C处.若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米.本卷答案：见答案册 P47 视频环听吗 22.综合与实践[2026河南郑州月考](14分)综合与实践 问题情境：如图，某小区的社区管理人员计划在临街的拐角处建造一块绿化地(阴影部分)，现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计. 欣欣设计的绿化地及引水浇灌方案如下： AB=9m,BC=12m,CD=17 m,AD=8m,在CD上选取两点 :E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水. 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道. 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及引水浇灌方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离,就确定了∠ABC=90°. (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离.(每空2分) (2)[中]若绿化地建造每平方米费用为100元，求建造绿化地的费用.(5分) (3)[偏难]若∠EGF=90°,EF=10m,EG=8m,每米管道的铺设费用为50元，请求出强强设计的两种铺设管道方案所花费的最少费用.(5分) 16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.如果D,E分别为BC,AB 上的动点,那么AD+DE的最小值是 . 三、解答题(本大题共6小题，共66分) 17.(8分)如图,在 Rt△AOB 和Rt△COD中,AB=CD=25,OB=7,AC=4. (1)求OC的长;(4分) (2)求BD的长.(4分) 18.(10分)小丽在物理实验课上利用如图所示的“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理.她用激光笔从量角器左侧边缘点A 处发出光线，经量角器圆心O处(此处放置平面镜)反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D 处(C为量角器最右侧边缘点，C，O，B三点共线，AB⊥BC,CE⊥BC).小丽在实验中还测得AB=6 cm,BC=12 cm.依据以上数据，求量角器的半径OC的长. 19.(10分)如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF 折叠,使点 C 与点 A 重合,点 D 的对应点为点 G,BC=8,AB=4. (1)求 EF² 的值;(6分) (2)求△GED 的面积.(4分) 20(12分)如图,在△ABC中,AB=AC. (1)[中]若 P 是 BC 边的中点,连接AP,试说明:BP·CP= (5分) (2)[中]若P 是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗?请作出判断并说明理由.(7分) 21(12分)已知∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为AB 中点,点 E,F分别在直线BC,AC上,DF⊥DE,连接EF. (1)如图(1),当点E与点 B 重合时,求EF 的长;(5分) (2)[中]如图(2),当点 E 不与点 B 重合时,试说明: (7分) 22.(14分)综合与实践问题情境：如图，某小区的社区管理人员计划在临街的拐角处建造一块绿化地(阴影部分)，现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计. 欣欣设计的绿化地及引水浇灌方案如下： AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在 CD 上选取两点E，F为浇灌点，从水源点 G 处铺设管道引水. 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道. 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及引水浇灌方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了. (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离.(每空2分) (2)[中]若绿化地建造每平方米费用为100元，求建造绿化地的费用.(5分) (3)[偏难]若. 每米管道的铺设费用为50元，请求出强强设计的两种铺设管道方案所花费的最少费用.(5分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A D C B C A 11.24 12.12 15.19 17.【解】(1)在 Rt△AOB 中,AB=25,OB=7,所以 所以OA=24. ⋯⋯⋯⋯⋯ (3分) 因为AC=4,所以OC=OA-AC=24-4=20.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (4分) (2)在 Rt△COD 中,CD=25,OC=20,所以 所以OD=15,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (7分) 所以 BD=OD-OB=15-7=8. (8分) 18.【解】因为 AB⊥BC,所以∠ABC=90°. 设OA=OC=x cm.因为 BC=12 cm,所以BO=BC-OC=(12-x) cm. (3分) 在Rt△ABO中,AB=6 cm,所以 OA²,所以 解得x=7.5,⋯⋯⋯⋯ (7分) 所以OA=OC=7.5cm ,所以量角器的半径OC 的长为7.5cm . ⋯⋯⋯⋯ (10分) 19.【解】(1)由折叠可知 DE=GE,AF=FC,∠AGE=∠ADC=90°. 设 DE=x,则 AE=8-x. 在 Rt△AEG 中, 所以 解得x=3,所以DE=3,⋯⋯⋯ (2分) 所以AE=5. 过F点作 FH⊥AD于H,所以∠AHF=90°.由题可知 AD∥BC,所以∠HAF= ∠BFA. 在△AHF 和△FBA 中 所以 所以.FH=AB=4. 在 中，由勾股定理，得 即 所以BF=3,所以AH=3,所以EH=AE-AH=2,(4分) 所以 (6分) (2)过G点作GM⊥AD 于 M. 由(1)知GE=DE=3,AE=5,AG=4. 因为 所以 (8分) 所以 (10分) 20.【解】(1)因为△ABC 是等腰三角形,AB=AC,P是BC边的中点,所以.AP⊥BC,BP=PC.在 Rt△ABP 中,因为 所以 (5分) (2)成立. (6分) 理由加下 因为AB=AC,所以 BM=CM. 因为 所以 (10分) 因为BM=CM,所以BM+MP=CM+PM=CP. 又因为 BM-MP=BP, 所以 (12分) 21.【解】(1)因为D为AB中点,DF⊥DE, 所以DF垂直平分AB， 所以AF=EF,设AF=EF=x. 在Rt△CEF 中,由勾股定理得, EF²,所以 解得 所以 (5分). (2)作 交ED 的延长线于 G，连接FG,如图. 因为点 D 为AB的中点，所以AD=BD.因为 所以 所以 所以 在 和 中， 所以△AGD≌△BED(AAS), ⋯⋯ (8分) 所以 BE=AG,DG=DE. 因为 DF⊥DE,所以 DF 是 GE 的垂直平分线,所以 GF=EF.因为 所以 所以 (12分) 22.【解】(1)连接 AC. 因为 若 即AC=15m,则 可得 故施工人员测量的是点 A 与点 C 之间的距离.故答案为A,C(或C,A). ⋯⋯⋯ (4分) (2)连接AC.因为. 所以 所以AC=15m.、 因为 289,所以 所以 (6分) 所以 所以绿化地的面积为所以建造绿化地的费用为100×114=11 400(元). (9分) (3)因为∠EGF=90°,EF=10 m,EG=8m,所以 所以FG=6m . 因为 GH⊥EF,所以 所以 (m). 方案一铺设管道所花的费用为 (元). 方案二铺设管道所花的费用为 (元). (13 分) 因为 ，所以铺设管道所花费的最少费用为 700 元. (14 分) 学科网（北京）股份有限公司 $