第一章 1 探索勾股定理-【新课程能力培养】2026-2027学年八年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 勾股定理逆定理得△BCD是直角三角形，·∵S四边形AB 1探索勾股定理（第1课时） SA1m+S△=36cm2.6.解：.BC=12,AD为BC边上 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 的中线，BD=DC=号BC=6。在△ABD中，BMD 6.8)2=1004.175.20.C7.D8.解：由题意 6+8=100=AB2,.△ABD为直角三角形。∠ADB= 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 90°。∠ADC=∠ADB=90°。又：BD=DC,AD=AD, 可得AB2=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= △ABD≌△1CD。1C=AB=I0。Sa=AD-DC= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD 中，CD+AC=AD2,即(10+x)2+20=(30-x)2,解得=5。 号4C-DE,即×8x6=×10xDE,DE=4.8。 .10+x=15,即这棵树的高度为15m。10.B 7.解：如图，延长AP交格点于 D 1探索勾股定理（第2课时） 点D,连接BD,则PD2=BD2=12+ 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 22=5,PB=12+32=10。∴.PD=BD AE=xkm,DE=EC,.由勾股定理，得x2+152=10+ PD+DB2=PB2。.∠PDB=90°。. 第7题答图 (25-x)2,解得x=10,即收购站E应建在离A点10km ∠DPB=45°。.∠APB=180°-∠DPB 处。7.解：如图，作AF⊥ =135°。.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°。 BO于点F,CG⊥BO于点 8.解：(1)24(2)①根据表中数据(3,4,5)， G,AD⊥DB,OB⊥DE, (4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15, ∠ADB=∠DBO=∠OBE=90°。 17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85), 'AD∥OB。.∠AFO=∠DAF= 、F (15,112,113),(16,63,65),(17,144,145), 90°。.∠ADB=∠DBF=∠AFB= (19,180,181),(20,21,29)的规律，能用含字 ∠DAF=90°。..四边形ADBF 第7题答图 母m,n(m>n,且m,n均为正整数)的代数式表示 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= 三角形的三边，设a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2。证明： ∠AOF+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∴.∠COG= 2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m-2m2n2+n+4mn2=m+2mn2+ ∠0AF。.:∠CG0=∠AF0=90°，A0=C0,∴.△A0F≌ n4=(m2+n2)2-c2,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2能够成为 △OCG(AAS)。.OG=AF=BD=4m。设AO=xm,在 直角三角形的边长。②根据表中数据可知(6,8,10)， Rt△AF0中，AFP+0F=A0,即4+(x-1)2=x2,解得x= (9,12,15),(21,28,35)分别是(3,4,5)的2 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： 倍、3倍、7倍，(10,24,26)，(14,48,50)， (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB (18,80,82),(22,120,122)分别是 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= (5,12,13),(7,24,25),(9,40,41), c2,S2=d,S=b2,.S=S2+S3。(2)S1=S2+S3。理由： (11,60,61)的2倍，经验算(9,40,41)满足m2 n2,2mn,m2+n2,∴.表中数据能用含字母m,n,k s=,s=4,s=4,s+4+=4d (m>n,且n,m,k均为正整数)的代数式表示三角形 +b)=c=S。9.解：R△ACD'≌R△ACD≌ 的三边，设a=(m2-n2)k,b=2mmk,c=(m2+n2)k。证明： .d+b2=[(m2-n2)k P+(2mnk)=m'k2-2m'n'k+n'k2+4m'n'k2= Rt ACAB,..C'A=AC=c,AD'=AD=CB=b,C'D'=CD= mk2+2m2nk2+n2=[(m2+n2)k]2=c2。根据勾股定理的逆 AB=a,∠ACD'=∠CAB。∠AC'D'+∠D'AC'=90°， 定理，得a=(m2-n2)k,b=2mnk,c=(m2+n2)k能够成为 .∠BAC+∠DAC'=90°。.∠CAC=180°-90°=90°。. 直角三角形的三边长。.利用a=(m2-n2)k,b=2mnk, △CAC是一个等腰直角三角形，Sec=)c2。又：四 c=(m4n2)k能够表示出表中所有的勾股数组。(3)由 2 于该图案是由四个全等的直角三角形组成，所以只需 边形BCCD是一个直角梯形.号(ab2x号d+, 要计算其中一个直角三角形边上的种花数量即可，不 2 妨设这个三角形为Rt△ABC,∠ACB=90°，AC<BC,: .a2+b2=c2.10.4811.D12.C 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各 2一定是直角三角形吗 边上相邻两株花之间的距离均为1m,三角形最短边 1.C2.m3.B4.C A 种21株花，.AC=20m。由题中表格中的规律，当最 5.解：如图，连接BD,由勾 短边为20时，b=2mn=2×5×2,∴.a=52-22=21,c=52+22= 股定理得BD=5cm。又，BC= 29,即BC边上种植22株花，AB边上种植27株花。 13 cm,CD=12 cm,..BD2+ ∴.每个三角形上种花21+20+29=70（株）。.70×4=280 CD=25+144=169=132=BC2,由 第5题答图 (株)。答：这块绿地最少需要种植280株花。勾股定理 第一章 第一章 勾股定理 知识网络 直角三角形边 勾股定理 长的数量关系 探究与证明 实际问题 与问题解决 互逆定理 物 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理 勾股数组 探索勾股定理（第1课时） 自主导学Q、典例精析 例题 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都在格点上， 求线段AB的长度。 【分析】以AB为斜边构造格点直角三角形，利用勾股 定理求出AB的长度即可。 【解答】如图，在网格中取格点C,连接AC,BC,则 △ABC为直角三角形。 例题图 例题答图 因为AB2=AC+BC,即AB2=42+32=25,所以AB=5。 【点拨】本题主要考查勾股定理，解题的关键是在网格中构造以AB为斜边的直角三角形。 基础巩固飞达标闯关 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。(1)若BC=9,AC=12,则AB= (2)若 AB=13,AC=5,则BC=;(3)若AC:AB=3:5,BC=8,则AC= 2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,则AB边上的高等于 3.《九章算术》一书中有如下问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户 高、广各几何。其大意为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈。问 门高和宽各是多少。(1丈=10尺，1尺=10寸)设门高为x尺，根据题意，可列方程为 数学 八年级上册（北师大版） 4.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64cm?,则x的长为 cm。 15 cm ◇ 第4题图 第5题图 第6题图 5.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O。若AD=2,BC=4,则AB+CD= 、o 6.如图，在3x3的正方形网格中，A,B,C,D,E是格点，则下列线段长度最长的是 () A.AB B.AD C.AC D.AE 7.若直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( A.25 B.14 C.7 D.7或25 8.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一 建筑工地B,在A,B间接一条直水管，那么水管AB的长度是多少？ 北1 西 第8题图 能力提升睡综合拓展 -·多 9.在一棵树的10m高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处， 另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处，距离以线段的长计算，如果两只猴子所经过的距 离相等，那么这棵树的高度是多少米？ 0 B 第9题图 中考链接©真题演练 -多 10.(2024·南通)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理。如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个 大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n)。若小正方形面积 第10题图 为5，(m+n)2=21,则大正方形面积为(） A.12 B.13 C.14 D.15 ② 勾股定理 第一章 探索勾股定理（第2课时） 自主导学Q典例精析 -+多多多 例题如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上取一点 E,连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， 求CE的长。 【分析】根据折叠得出BF=BC=5,EF=CE。在Rt△ABF中，利用勾股 例题图 定理求出AF的长，进而求出DF的长。设CE=x,在Rt△DEF中，利用勾股定理列出关于x 的方程即可求解。 【解答】设CE=x,由四边形ABCD是长方形可知，AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°。 由折叠可知：BF=BC=5,EF=CE=x,则DE=CD-CE=3-x。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=BF2-AB2=52-32=16,所以AF=4,DF=5-4=1。 在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2=DE2+DF2,即x2=(3-x)2+12。 解得x=弩。所以CE的长为。 3 【点拨】本题考查勾股定理和折叠的性质的综合运用能力，解题的关键是将已知线段和 所求的线段转化到一个直角三角形中，从而应用勾股定理建立方程模型。像本例这类折叠问 题，一般可设一条线段的长为未知数，然后借助折叠中对应线段相等及线段之间的和差关 系，用已知线段长和未知数表示相关联的线段的长，最后用勾股定理建立关于这个未知数的 方程，从而求解。此外，对于图形的折叠问题，还应注意挖掘折叠中隐含的对应角相等和对 称轴垂直平分对应点之间的连线等条件，以便为后续解题提供帮助。 基础巩固达标闯关 1.一个长方形的长为24cm,对角线长为26cm,则该长方形的周长为 cm 2.分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形P,Q,K,若S= 4,S0=9,则Sk= 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 cm2。 第3题图 4.如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB 感应器1A 21,当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一名身 D 高1.6m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2m的地方时(BC=1.2m), 感应门自动打开，则该学生的头顶离感应器的距离AD等于() A.1.2m B.1.3m C.1.5m D.2 m 第4题图 数学 八年级上册（北师大版） 5.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼 接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别 为S1,S2,S3。若S+S2+S,=60,则S2的值是() A.12 B.15 C.20 D.30 B 6.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA⊥AB于 第5题图 点A,CB⊥AB于点B,已知DA=I5km,CB=10km,现在要在铁路AB旁建一个土特产收 购站E(收购站E与铁路AB的距离忽略不计)，使得C,D两村到收购站E的距离相等，那 么收购站E应建在离A点多远处？ E 第6题图 7.如图是高空秋千的示意图，小李从起始位置点A处绕着点O经过最低点B,最终荡 到最高点C处。若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD=1m,水平距离BD=4m。求点C 与点B的高度差CE。 第7题图 能力提升蹄综合拓展 8.如图1，分别以Rt△ABC的三条边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1,S2,S 表示，则S1=S2+S3。 (1)如图2，分别以Rt△ABC的三条边为边长向外作三个正方形，其面积分别用S1, S2,S3表示，那么S1,S2,S之间有什么关系？请说明理由。 (2)如图3，分别以Rt△ABC的三条边为边长向外作三个等腰直角三角形，其面积分别 用S,S2,S3表示，那么S,S2,S3之间有什么关系？请说明理由。 S2 S 图1 图2 图3 第8题图 勾股定理 第一章 9.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法。如 图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连接CC',设AB=a,BC=b,AC=C, 请利用四边形BCCD'的面积验证勾股定理：a+b2=c2。 D A 第9题图 中考链接©真题演练 - 10.(2024大庆)如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一 个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形， 再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图2是1次操作后的图形，图3是 重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角 形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 图1 图2 图3 第10题图 11.(2024眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家 赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成。若图1中大正方形的面积为24，小正方 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为() A.24 B.36 C.40 D.44 S 图1 图2 第11题图 第12题图 12.(2023·日照)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三 个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面 积为S1,均重叠部分的面积为S2,则() A.S1>S2 B.Sj<S2 C.Sj=S2 D.S,S2大小无法确定 5