3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 第4课时 切线长（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长”核心内容，涵盖切线长概念、定理及应用。通过“过圆内、圆上一点作切线”的旧知问题导入，自然引出圆外一点作切线的新探究，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以问题链驱动探究，任务一通过作图步骤培养几何直观（数学眼光），任务二从轴对称猜想到全等证明发展推理能力（数学思维），课堂练习结合图形应用定理（数学语言）。帮助学生提升空间观念与推理意识，为教师提供结构化教学流程和分层练习设计。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 第4课时 *切线长 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 问题：过圆内一点能作几条圆的切线？过圆上一点呢？ 如图，过圆内一点所作的直线必与圆相交，无法作出圆的切线； 通过上一节课的学习，容易得出过圆上一点能且只能作出圆的一条切线. 2 任务一：探究过圆外一点如何作这个圆的切线 新知探究 问题1：如图1，点P在圆外，过点P你能作出几条⊙O的切线？ 过点P的直线与⊙O产生一个交点，能作出两条切线(如图2). 3 新知探究 问题2：假设已经作出了过点P的切线，切点为A(如图1)，那么有什么结论？ 如图2，根据圆的切线性质定理，连接OA，则OA⊥PA，∠OAP＝90°，所以点A在以OP为直径的圆上.以OP为直径的圆和⊙O的交点就是切点. 4 新知探究 问题3：如何更准确地过⊙O外一点P作⊙O的切线呢？ 作法：①连接OP(如图1). ②以OP为直径作圆，交⊙O于点A，B(如图2). ③连接PA，PB.PA，PB即为所求(如图3). 5 新知探究 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 例如，在上面所作图形中，PA，PB是点P到⊙O的切线长. 注意：①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 6 任务二：探究切线长定理 新知探究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 问题1：这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 这个图形是轴对称图形，它的对称轴是OP所在的直线. 在这个图中你能找到相等的线段吗？ 由轴对称的性质可知，PA＝PB. 7 新知探究 连接OA，OB，OP，还能找到哪些相等的量呢？ OA＝OB，∠APO＝∠BPO，∠AOP＝∠BOP，∠OAP＝∠OBP. 由此能得到什么猜想？ 猜想从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等. 8 新知探究 能证明你的猜想吗？ 已知：如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 求证：PA＝PB. 9 新知探究 证明：如图2，连接OA，OB，OP. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. 在Rt△POA和Rt△POB中， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△POA≌Rt△POB. ∴PA＝PB. 10 新知探究 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等. 几何语言： 如图，∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB. 11 任务三：知识迁移与运用 新知探究 例 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E. 求证：AB＝AC. (1)AB与AC是大圆的弦，要证明弦相等，有什么思路？ 要证明弦相等，根据垂径定理，可以证明弦的一半相等. 12 新知探究 (2)AB与AC又是小圆的切线，结合本节课的学习，有何结论？ 根据切线的性质定理，连接OD，OE，可得OD⊥AB，OE⊥AC，同时根据切线长定理，得AD＝AE. 13 新知探究 证明 如图，连接OD，OE. ∵AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E， ∴AD＝AE(切线长定理)，AB⊥OD，AC⊥OE. ∴AB＝2AD，AC＝2AE. ∴AB＝AC. 探究：在本例中，如果点A不在大圆上，是否仍有AB＝AC？ 仍有AB＝AC. 14 B 1. 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，如果∠P＝60°，PA＝2，那么AB的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 课堂练习 15 2. B 如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是(　　) A．18° B．36° C．48° D．72° 3. D 如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为(　　) A．5 B．7 C．8 D．10 4. 3 如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为________． 5. 如图，AC是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠P＝60°，AC＝8，则AB的长度为________． 4 6. 解：如图，连接OF，根据切线长定理， 得BE＝BF，CF＝CG.∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 易得∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°. ∴∠BOC＝90°. 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. 求：(1)∠BOC的度数； (2)BE＋CG的长； (3)⊙O的半径． 7. D 如图，⊙O的直径AB＝12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，若AD＝4，则BC的长为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 8. B 如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD分别相切于点G，F，且DE与⊙O相切于点E.若⊙O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为(　　) 9. 7 如图，⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为________． 25 10. 72° 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为M，N，E，F，连接OA，OB，OC，OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是________． 26 11. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，过点P作⊙O的另一条切线PD，D为切点，连接OP，BD． (1)求证：OP∥BD； 27 证明：连接OD，AD. ∵PA，PD是⊙O的两条切线， ∴PA＝PD. 又∵OA＝OD，∴PO垂直平分AD.∴PO⊥AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD⊥AD. ∴OP∥BD. 45°　 (2)当四边形POBD是平行四边形时，∠APO的度数为________． 29 12. 30 (1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆⊙O(与各边都相切)，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，则四边形ABCD的内切圆的半径r＝____________； 31 【点拨】 (2)理解应用：如图③，在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD各边的切点分别为E，F，G，设⊙O1与⊙O2的半径分别为r1和r2.若∠ADB＝90°，AE＝4，BC＋CD＝10，S△DBC＝9，r2＝1，求r1的值． 33 课堂总结 回顾本节课的内容，我们学习了哪些知识？掌握了哪些作图方法？ 36 解：由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴BC＝＝10 cm. ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm. 解：∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC.∴S△OBC＝OF·BC＝OB·OC，即OF× 10＝×6×8.∴OF＝4.8 cm，即⊙O的半径为4.8 cm. A．5 B．6 C． D． 阅读材料：如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连接OA，OB，OC，△ABC被分为三个小三角形． ∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝(a＋b＋c)r，∴r＝. 如图，连接OA，OB，OC，OD. ∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD ＝ar＋br＋cr＋dr ＝(a＋b＋c＋d)r，∴r＝. 解：∵S△DBC＝9，r2＝1，∴BC＋CD＋BD＝＝18. ∵BC＋CD＝10，∴BD＝8. ∵⊙O1是△ABD的内切圆，AE＝4， ∴AG＝AE＝4，BE＝BF，DF＝DG. ∴DG＋BE＝DF＋BF＝BD＝8. 设DG＝x，则BE＝8－x.∵∠ADB＝90°， ∴AD2＋BD2＝AB2，即(4＋x)2＋82＝(4＋8－x)2， 解得x＝2. ∴AD＝4＋2＝6，AB＝4＋8－2＝10. ∴S△ABD＝AD·BD＝×6×8＝24. 又∵AD＋AB＋BD＝6＋10＋8＝24， ∴r1＝＝＝2. $