3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第4课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“过圆外一点作圆的切线”“切线长定义及定理”核心知识点，通过回顾圆上点作切线方法，设问圆外点能否用同法作图，假设切线存在分析∠OAP=90°，引导点A在以OP为直径的圆上，搭建从切线性质到新知的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，作图原理证明（以OP为直径作圆证切线）培养推理能力，讨论交流图形轴对称及相等关系发展几何直观，例题（圆外切四边形对边和相等）强化应用意识。小结梳理辅助线作法，学生提升逻辑推理与解题能力，教师可借清晰流程和实例提高教学效率。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（4） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 掌握过圆外一点作圆两条切线的尺规作图方法，理解作图原理． 理解切线长的定义，掌握切线长定理． 3 能运用切线长定理进行线段相等的证明与计算． 知识回顾 1．圆的切线的性质定理是什么？判定定理呢？ 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．已知圆上一点，如何过该点作圆的切线？ 连接圆心与圆上点得到半径，过该点作半径的垂线就是圆的切线． 问题引入 1．如图，如果点 P 不在圆上，而在圆外，还能用上述方法画切线吗？试一试． 2．假设PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接OA、OP．∠OAP是多少度？ O A 点A在以OP为直径的圆上． 3．点A在怎样的圆上？为什么？ P 新知探究 过圆外一点如何作这个圆的切线？ O 作法： ① 连接 OP． ② 以 OP 为直径作圆，交⊙O于点A，B． A B ③ 连接 PA，PB． PA，PB 即为所求． P 你能说明理由吗？ O′ 新知探究 过圆外一点如何作这个圆的切线？ O A B P 你能说明理由吗？ O′ 证明：连接OA，设OP的中点为O′． ∵ OP是⊙O′的直径， ∴ ∠OAP＝90°，即 OA⊥PA． 又∵ OA是⊙O半径， ∴ PA是⊙O切线（圆的切线判定定理）， 同理，PB是⊙O切线． 新知探究 O A B P 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of the tangent）． 如右图，PA，PB是点P到⊙O的切线长． 注意：切线是一条与圆相切的直线，不可度量． 切线长是切线上一段线段的长,即圆外一点与切点间的距离，可度量． 讨论交流 这个图形是轴对称图形吗？对称轴是哪条直线？ O A B P 是，对称轴为 OP 所在直线． OA＝OB，PA＝PB． 图中有哪些相等的线段？ 你能给出证明过程吗？ 讨论交流 O A B P 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B． 求证：PA＝PB． 证明：连接 OA，OB，OP． ∵ PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴ PA⊥OA，PB⊥OB（圆的切线性质定理）． 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中， ∵ OA＝OB，OP＝OP， ∴△POA≌△POB（HL）． ∴ PA＝PB． 新知归纳 过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等． 于是，我们得到切线长定理： A O P B 符号语言： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ PA＝PB． 证明：连接OD，OE． ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E， ∴ AD＝AE（切线长定理）， AB⊥OD，AC⊥OE． ∵ AB，AC是大圆的弦， ∴ AB＝2AD，AC＝2AE（垂径定理）． ∴ AB＝AC． 例题讲解 例5 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC． A B C D E O 新知探究 图中，如果连接 DE，BC，那么 DE 与 BC 有怎样的位置关系和 数量关系？为什么？ A B C D E O 证明：由例5得D，E分别是AB，AC的中点． ∴ DE 是△ABC 的中位线． ∴ DE∥BC 且 DE＝BC (中位线定理)． 讨论交流 B P O A C D E 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A，B，直线 OP 交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？ 解：① 整个图形是轴对称图形，直线OP是它的对称轴； ②切线的性质包含在图形中； ③ 连接两个切点何半径，可以得到两个等腰三角形， 体现“等腰三角形三线合一”的性质； ④ 射线PD平分∠APB，直线 PD垂直平分线段AB； ⑤ 体现“垂径定理”； ⑥ 连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角 三角形及其斜边上的高. 归纳总结 1．图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP． 2．图中相等的角： ∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE， ∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE． 3．图中所有的相等的线段： PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB． 4．图中所有的全等三角形： △AOP≌△BOP， △AOE≌△BOE， △AEP≌△BEP． 5．图中所有的等腰三角形：△ABP ， △AOB． B P O A C D E 归纳总结 ● O A B P ● O A B P C D E 草帽形 直角三角形 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形． 新知巩固 1．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D． 已知 AB＝5，AC＝3．求 BD 的长． A B C D P ● O 解：∵ AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别 为P，C，D，AC＝3， ∴ AP＝AC＝3，BD＝BP（切线长定理）． ∵ AP ＋BP＝AB＝5， ∴ BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2． 新知巩固 · A B C D O E F G H 证明：∵ AB，BC，CD，DA 与⊙O分别相切 于点E，F，G，H， ∴ AE＝AH，BE＝BF，CG＝CF，DG＝DH． ∴ AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH． ∴ AB＋CD＝AD＋BC． 2．如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H． AB，BC，CD，DA 之间有怎样的数量关系？为什么？ 圆外切四边形：两组对边之和相等，即 AB＋CD＝AD＋BC． 能力提升 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．设PA＝10．(1) 求△PDE的周长． A B P ● D E C O 解：(1)∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E． ∴ PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC， ∴ △PDE的周长＝PD＋DE＋PE ＝(PD＋DC)＋(PE＋EC) ＝(PD＋DA)＋(PE＋EB) ＝PA＋PB＝2PA． ∵ PA＝10， ∴ △PDE的周长＝2×10＝20． 能力提升 (2) 连接OD、OE，若∠P＝α，求∠DOE的度数． A B P ● D E C O (2) 连接OA、OC、OB． 由切线的性质得： OA⊥PA，OB⊥PB ，OC⊥DE． ∵ OA＝OC＝OB， 易证Rt△AOD≌Rt△COD(HL)，Rt△COE≌Rt△BOE(HL)． ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD ＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB． ∵∠P＝α ，OA⊥PA，OB⊥PB ， ∴∠AOB＝180°－α ， ∴∠COD＝90°－α ． 重要结论： △PDE的周长＝2PA； ∠DOE＝90°－∠P． 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（4） 过圆外一点作圆的切线：连线段→作辅助圆→画切线 切线长的定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点 之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等． 常作的辅助线：(1)连接圆心和切点；(2)连接两切点； (3)连接圆心和两切线的交点． 感谢聆听！ $