3.7 扇形 第1课时 弧长及扇形面积（课件）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“弧长及扇形面积”，从生活中扇形实例（如折扇）导入，联系圆的周长与面积知识，通过合作探究、类比迁移推导公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用类比迁移发展推理意识，如将扇形面积类比三角形面积。结合中考题与实际应用（如定滑轮、“轮动发石车”），学生能理解公式本质，教师可高效开展探究式教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.7 扇形 第1课时 弧长及扇形面积 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 问题1：生活中，经常看到下面这些图形，从中能抽象出什么几何图形？ 扇形. 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形. 2 导入新课 问题2：如果要制作一把折扇，需要知道哪些量？ 扇骨的长度、扇面的大小、扇子打开的角度…… 那么，这些量在数学中对应什么？怎样计算扇面的大小？ 3 任务一：合作探究，探究弧长公式 新知探究 弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.如图，当圆的半径R确定时，扇形的弧长随圆心角度数n°的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系？ 1.当圆的半径R确定时，扇形的弧长随圆心角度数n°的变大而变大. 2.扇形类似等腰三角形，半径是腰，弧长是底边，半径一定，顶角越大，底边越大. 4 新知探究 半径为R的圆中，圆的周长为2πR.而圆的周长可以看作是360°的圆心角所对的弧长，那么90°的圆心角所对的弧长是多少？60°的圆心角所对的弧长呢？ 90°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即×2πR；60°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即×2πR. 5 新知探究 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为圆周长的多少？由此能得出什么结论？ 1.n°的圆心角所对的弧长l为圆周长的，即×2πR.由此可得 l＝×2πR＝. 2.根据n°的圆心角所对的弧长l为圆周长的可以得到， ＝，所以l＝×2πR＝. 6 新知探究 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，即为弧长公式. 注意：公式中n不带单位，180也不带单位. 7 新知探究 弧长的大小由哪些量决定？ 弧长的大小与圆心角的度数和圆的半径有关.当圆的半径一定时，圆心角越大，弧长越大；当圆心角的度数一定时，圆的半径越大，弧长越大. 8 任务二：类比迁移，推导扇形面积公式 新知探究 问题1：用圆心角占周角的比例推导出了弧长公式，能否用同样的方法推导扇形面积公式？ 90°圆心角所在扇形的面积等于圆面积的多少？n°圆心角所在扇形的面积呢？ 90°圆心角所在扇形的面积等于圆面积的，n°圆心角所在扇形的面积等于圆面积的. 9 新知探究 由此能求出当圆的半径R确定时，n°圆心角所在扇形的面积S扇形吗？ S扇形＝×πR2＝. 当圆的半径R确定时，n°圆心角所在扇形的面积S扇形＝，即扇形面积公式. 10 新知探究 问题2：比较扇形面积公式S扇形＝和弧长公式l＝，能用弧长表示扇形面积吗？ 观察两个公式，发现扇形面积公式S扇形＝中，右边分子含有因式nπR，则分子nπR²可以写成nπR·R；分母360可以写成180×2.所以可以用弧长来表示扇形面积，S扇形＝＝·＝lR. 11 新知探究 扇形的这个面积公式与三角形面积公式类似，只要把扇形看作曲边三角形，把弧长l看成是底，半径R看成是高就可以了. 12 任务三：典例精讲，巩固应用 新知探究 例1 如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°.已知⊙O的半径为2.求的长. 要求弧长，需要知道哪些条件？相应的圆心角是哪个？怎么求？ 13 新知探究 解 如图2，连接OB，OC，则∠BOC为所对的圆心角. ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. ∴的长l＝＝π. 14 新知探究 例2 如图，折扇打开后，OA，OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm.求图中阴影部分的面积S. 图中阴影部分的面积怎么转化为规则图形的面积？ 解：根据题意，得S＝S扇形OAB－． ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S＝300π－ (cm2)． 15 任务四：知识迁移与运用 新知探究 探究：如图1，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点.求弦CD与围成的阴影部分的面积. 要求图中阴影部分的面积，没有直接的公式，需要进行转化. 连接OC，OD，从而将图中阴影部分的面积转化为扇形OCD与△OCD的面积的差，问题得到解决. 16 A B C D O 解：连接OC，OD．r＝×40＝20． ∵ C，D是半圆的三等分点， ∴ ∠COD＝＝60°． ∴ π·202＝π． ×20×＝100． ∴ ． 弓形的面积＝扇形面积－三角形面积 新知探究 C 1. 如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则AB的长为(　　) A．30π B．25π C．20π D．10π ︵ 课堂练习 18 2. D 如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形OAC(阴影部分)的面积为(　　) 3. C 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　　) A．π cm B．2π cm C．4π cm D．6π cm 4. (1)若90°的圆心角所对的弧长是3π cm，则此弧所在圆的半径是________； (2)南京期中已知扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为________； (3)一个扇形的半径为2 cm，弧长为3π cm，则此扇形的面积为________． 6 cm 3π cm2　 5. [镇江中考]如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则BE的长l＝_____(结果保留π)． ︵ 6. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以D为圆心，BD的长为半径作⊙D，BC与⊙D交于点E，AC与⊙D相切于点A． (1)求证：AC＝AB； 证明：连接AD. ∵AC与⊙D相切于点A，∴∠DAC＝90°. ∵DA＝DB，∠B＝30°，∴∠DAB＝∠B＝30°. ∴∠BAC＝∠DAC＋∠DAB＝120°. ∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°.∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC. (2)若⊙D的半径为1，求阴影部分的面积． 25 C 8. 108 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型，图②是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝________． 9. [资阳中考]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为________． ︵ 28 10. 南通中考如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB. (1)连接OB，求证：OB⊥PB； 29 31 11. 如图，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形PDE，过点E作EM⊥PE交AB于点M，连接PM，与DE交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N. (1)求证：△PEM≌△PDN； ︵ 32 ︵ ︵ 34 ②计算图中阴影部分的面积(结果保留π)． 35 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.本节课用到了哪些数学思想？请畅所欲言. 3.结合以往经验，在学习了这两个公式以后，还要学习关于它的哪些知识和技能？ 36 A．π B．π C．π D．2π π 解：∵⊙D的半径为1，∴AD＝1. ∵∠CAD＝90°，∠C＝30°， ∴∠ADC＝90°－∠C＝60°，CD＝2.易得AC＝. ∴S阴影＝S△ADC－S扇形DAE＝×1×－＝－. 7．镇江中考如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1，l2于点A，B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2，l1于直线m同侧的点C，D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于(　　) A．5 π B．4 π C. π D. π ＋π 证明：如图，连接OP.∵PA与⊙O相切，∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°，在△AOP和△BOP中， ∴△AOP≌△BOP， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB. 解：如图，连接BC.∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°，∴∠COB＝60°.∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠OCB＝60°.由(1)可知△AOP≌△BOP，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴易得OA＝2，∠AOP＝∠OCB，∴OP∥BC，∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影＝S扇形OCB＝＝. (2)若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 证明：∵EM⊥PE，PD⊥BC，∴∠PEM＝∠PDN＝90°. ∵PM⊥PN，∠EPD＝90°，∴∠EPD＝∠MPN＝90°， ∴∠EPD－∠MPD＝∠MPN－∠MPD，即∠EPM＝∠DPN. 在△PEM和△PDN中， ∴△PEM≌△PDN(ASA)． 解：∵EM＝，△PEM≌△PDN， ∴DN＝EM＝.∴PN＝＝2≈3.46. ∴PN＝2DN.∴∠DPN＝30°.∴∠DPF＝90°－30°＝60°. ∴DF的长＝＝π≈3.14. ∵3.46＞3.14，∴线段PN的长度更长． (2)已知PD＝3，EM＝. ①通过计算比较线段PN和DF哪个长度更长； 解：由(1)知∠EPM＝∠DPN，∵∠DPN＝30°，∴∠EPM＝30°.∵△PEM≌△PDN，∴PE＝PD＝3.又∵EM＝，∴S阴影＝S△PEM－S扇形PEF＝×3×－＝－π. $