第3章 圆（复习课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的基本概念、对称性、圆周角定理、切线性质与判定、正多边形及相关计算等核心知识，通过知识图谱将概念、定理、计算模块串联，构建“概念-定理-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”分层模式，如垂径定理结合拱桥问题培养应用意识，切线证明分类讨论发展推理意识，不同难度题型满足个性化需求，助力学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

第三章 圆 复习课件 苏科版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解圆及相关概念，识别弧、弦、圆心角、圆周角、直径、半径、切线，掌握点与圆、直线与圆的位置关系定义。 02 工具掌握 熟练运用垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论进行计算与证明；掌握切线的判定与性质；会求弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积。 深化理解 能综合运用圆的相关定理解决几何计算与证明问题，体会转化、分类讨论的数学思想，能结合图形分析条件、推导结论。 思想与应用 梳理本章知识体系，归纳常见易错点，提升几何识图、逻辑推理能力，培养几何直观，增强几何解题的严谨性。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.定理综合：垂径定理、圆周角定理的综合证明与计算，辅助线的构造。 2.分类讨论：点、弦、圆周角的多解问题；无图圆类题型分类分析。 3.几何综合：切线证明，圆与三角形结合的综合计算与推理。 1.核心概念：圆、弧、弦、圆心角、圆周角、切线相关概念；点与圆、直线与圆的位置关系。 2.定理体系：垂径定理及其推论；圆心角、弧、弦之间关系；圆周角定理及推论；切线的判定与性质。 3.拓展计算：弧长、扇形面积计算；圆锥侧面积与全面积计算。 4 知识图谱 圆的基本概念 圆 圆、圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 圆的对称性 垂径定理 圆周角 切线的性质与判定 正多边形与圆 点与圆的位置关系 点直线与圆的位置关系 圆心角、弧、弦关系 圆周角定理 推论 圆的相关计算 弧长 扇形面积 圆锥：侧面积、全面积 5 考点串讲 ——1：圆的基本相关概念 圆的定义：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 相关元素：弦、直径、弧（优弧、劣弧）、圆心角、圆周角 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心 【注意】 直径是最长的弦，但弦不一定是直径。 6 考点串讲 ——2：圆的对称性与垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 【注意】 推论中被平分的弦不能是直径，题目无图时弦要考虑双解情况。 7 考点串讲 ——3：圆周角定理及其推论 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 推论1：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论2：圆内接四边形对角互补，任意一个外角等于它的内对角 【注意】 定理成立前提是同圆或等圆，不要忽略条件。 8 考点串讲 ——4：点与圆的位置关系 三种位置关系： ⊙O半径为r，点P到圆心距离d 点P在圆外 d>r 点P在圆上 d=r 点P在圆内 d<r 9 考点串讲 ——5：直线与圆的位置关系 三种位置关系： 设圆半径r，圆心到直线距离d 相离 d>r，无公共点； 相切 d=r，1个公共点； 相交 d<r，2个公共点 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 10 考点串讲 ——5：直线与圆的位置关系 切线判定：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 三角形内切圆、内心：内心是三角形三条角平分线交点，到三角形三边距离相等 辅助线思路：证切线，有交点连半径证垂直；无交点作垂直证半径 【注意】 证明切线两种辅助线不要混用，看清题目条件。 11 考点串讲 ——6：正多边形与圆 相关概念：正多边形的中心、半径、边心距、中心角 核心关系：正多边形半径、边心距、边长一半构成直角三角形 【注意】 计算时把正多边形问题转化解直角三角形求解。 12 考点串讲 ——7：圆的有关计算 弧长公式： 扇形面积公式： 圆锥相关计算：圆锥母线对应扇形半径，圆锥底面周长等于扇形弧长；会求侧面积（）、全面积 【注意】 圆锥计算区分底面圆半径和母线长，二者不要混淆。 13 题型全解 题型01 圆的基本概念辨析 例（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 B 【解析】∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误．故选：B． 14 题型全解 题型01 圆的基本概念辨析 方法总结 方法1：定义甄别法 熟记圆相关概念定义，逐项核对选项，区分等弧、切线、弦、圆周角等概念的成立条件。 方法2：反例排除法 举出反例，直接推翻错误说法，快速选出正确选项。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）以下说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．同一条弦所对的圆周角相等 C．同圆中直径是最长的弦 D．度数相等的弧是等弧 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）下列说法中正确的说法有（　　）个． ①平面上三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． A．1 B．2 C．3 D．4 C B A 题型全解 题型02 三角形外接圆的概念辨析 例 （25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．△ACD的外心 B．△ACD的内心 C．△ABC的重心 D．△ABC的外心 【解析】由勾股定理可知：OA=OD=OC==， 所以点O是△ACD的外心， 故选：A． C 17 题型全解 题型02 三角形外接圆的概念辨析 方法总结 分类1：外心定义 外心是三角形三边垂直平分线交点，到三角形三个顶点距离相等。 分类2：位置判断 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。 针对训练 1．（2026·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2026九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的 是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 A D C 题型全解 题型03 求三角形外心坐标 例 （25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，B(2,1)，C(2,−3)，则△ABC的外心坐标是（    ） A．(−2,−2 ) B．(−2,−1) C．(−1,−2) D．(−1,−1） B 【解析】：如图， 由图可知：△ABC的外心坐标是（−2,−1）；故选B． 20 题型全解 题型03 求三角形外心坐标 方法总结 方法1：垂直平分线作图法 作出三角形两条边的垂直平分线，交点坐标即为外心坐标。 方法2：列方程求解法 设外心坐标，利用到三个顶点距离相等列方程，解方程组求出坐标。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则△ABC的外心坐标为（   ） A．(0,0) B．（−1,1） C．（−2,−1） D．（−2,1） D 针对训练 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）过三点A(2,2)，B(6,2)，C(2,4)的圆的圆心坐标为（    ） A．(4,5) B．(4,3) C．(5,4) D．(5,3) 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A(0,−2),B(2,0),C(2,2)，则△ABC的外心坐标为________ B (-1,1) 题型全解 题型04 求特殊三角形外接圆半径 例 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm A 【解析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，利用等边三角形的性质和垂径定理得到BD=CD=1/2BC，∠DOB=1/2∠BOC=60°，在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求得OB的长． 24 题型全解 题型04 求特殊三角形外接圆半径 方法总结 方法1：直角三角形结论 直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 方法2：勾股计算法 普通、等边三角形，连接圆心与顶点，作垂线构造直角三角形，勾股定理求半径。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则△ABC的外接圆的半径为______． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为__________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）方程x2−9x+20=0的两个根是直角三角形的两直角边的边长，则这个直角三角形的外接圆半径为________． 5 2.5 题型全解 题型05 尺规作图 例 （25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知△ABC． (1)尺规作图：求作⊙O，使⊙O经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺在⊙O上找一点D，使∠BCD=90°，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法） 27 题型全解 题型05 尺规作图 【解析】(1)如图，⊙O即为所求． (2)如图，点D即为所求． 28 题型全解 题型05 尺规作图 方法总结 方法1：垂直平分线作图 作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心；利用直径所对圆周角为直角找点。 方法2：几何性质作图 依据切线、外接圆相关几何性质，按步骤保留作图痕迹完成画图。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且PB=PD． (1)用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：PA=PC． 针对训练 (1)点O即为所求． (2)证明：由圆周角定理可得，∠ABC=∠ADC， ∴∠PBC=∠PDA． ∵∠APD=∠CPB，PB=PD， 在△ADP与△CBP中， ∠APD=∠CPB,PB=PD,∠PBC=∠PDA， ∴△ADP≌△CBP(ASA)，∴PA=PC． 针对训练 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 针对训练 (1)解：如图，点O即为所求； （2）解：连接OA交BC于点D．连接OB． ∵AB=AC，∴AB=AC， ∴OA⊥BC，∴BD=CD=1/2BC=1/2×16=8cm， ∵AB=AC=10cm,∴AD==6cm， 在Rt△OBD中，R2=(R−6)2+82，解得R=25/3． 针对训练 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）（1）如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； （2）如图2，点P在圆O外，用圆规直尺作出过点P的圆的一条切线． 针对训练 （1）如图1所示， AD即为圆的切线， （2）如图所示，PQ即为所求⊙O的切线 题型全解 题型06 弧、弦、圆心角的关系 例 （2026·江苏南京·一模）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，连接OC，AC，BC，∠ACB=132°．若∠BOC=2∠AOC，则的度数为（  ） A．16° B．24° C．32° D．36° C 【解析】∵AO=OC,OC=OB，∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC， ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB=360°，∴∠AOB+2∠ACB=360°， ∴∠AOB=360°−2∠ACB=96°， ∵∠BOC=2∠AOC，∴∠AOC=1/3∠AOB=32°．故选C. 36 题型全解 题型06 弧、弦、圆心角的关系 方法总结 方法1：等量转化 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量一组相等，则其余两组对应相等。 方法2：角度计算法 利用圆心角之间倍数、和差关系，计算出所求角度大小。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画AE分别交AC，BC于点D，E，若CD=AB,∠B=87°，则的度数为（　） A．30° B．31° C．32° D．33° B 针对训练 2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知⊙O的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若弦CD=6，则弦AB的长为______． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，∠AOC=150°,∠P=40°， 则的度数为________°． 8 70 题型全解 题型07 利用垂径定理求解 例 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙O的直径AB=8，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:3，则CD的长（   ） A． B． C． D． D 【解析】连接OC，∵⊙O的直径AB=8，∴OB=OC=1/2AB=4， ∵BP:AP=1:3，∴BP=1/4AB=1/4×8=2，∴OP=OB−BP=4−2=2， ∵CD⊥AB，∴CD=2PC， 在Rt△OPC中，OC=4，OP=2， ∴PC=，∴CD=2PC=2×=．故选∶D． 40 题型全解 题型07 利用垂径定理求解 方法总结 方法1：作垂线构造Rt△ 过圆心作弦的垂线，平分弦，连接半径，构造直角三角形。 方法2：勾股方程法 设半径或者弦长，在直角三角形中利用勾股定理列方程计算线段长度。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙O的直径AB=8，弦CD⊥AB于点P，若BP=2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． C 针对训练 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接AC，AD，则下列结论一定正确的是（   ） A．AC=BC B．BC=BD C．OE=BE D．∠CAD=∠CDA 3．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在⊙O上，OC⊥AB，AB=8，CD=2，则⊙O的直径AE为 ． B 10 题型全解 题型08 垂径定理的实际应用 例 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为5dm的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽AB=8dm，则水的最大深度为_______dm． 2 【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， ∵AB=8dm，∴BD=1/2AB=4dm， ∵⊙O的半径为5dm，∴OB=OC=5dm， 在Rt△OBD中，OD==3dm， ∴CD=OC−OD=5−3=2dm．故答案为：2． 44 题型全解 题型08 垂径定理的实际应用 方法总结 方法1：建模转化 把实际物体（水管、拱桥）抽象为圆，水面、拱宽当作圆的弦。 方法2：方程计算 作垂直弦的半径，设未知数，借助勾股定理列方程求解半径、深度。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m． （1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求圆弧所在圆的半径． （1）如图，圆心O即为所求； 针对训练 （2）设圆弧拱桥最高点为C，连接OA、OC交AB于D， 则OC⊥AB，CD=5m，AD=1/2AB=10m， 设OD=xm，则OA=OC=(x+5)m， 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即(x+5)2=x2+102， 解得:x=7.5， ∴OA=7.5+5=12.5(m)， ∴圆半径为12.5m． 题型全解 题型09 同弧或等弧所对的圆周角相等 例 （25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，若AB是⊙O直径，CD为是⊙O的弦，∠ABD=52°，则∠BCD的度数为（   ）    A．36° B．37 C．38° D．39° C 【解析】 连接AD，   ∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°, ∵∠ABD=52°，∴∠DAB=90°−∠ABD=38°， ∵=，∴∠BCD=∠DAB=38°， 故选：C． 48 题型全解 题型09 同弧或等弧所对的圆周角相等 方法总结 方法1：同弧转移角 找同一段弧，实现圆周角之间角度等量代换。 方法2:圆内接四边形性质 利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行角度换算。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在⊙O上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若∠B+∠D=160°，则的度数为（   ） A．20° B．40° C．60° D．80° 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且∠ABC=32°，则∠BDC度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° B A 针对训练 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（    ） A．80° B．130° C．50° D．50°或130° B 题型全解 题型10 圆周角定理 例 （2026·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数为（     ） A．60° B．50° C．40° D．30° D 【解析】∵∠AOB=60°， ∴∠ACB=1/2∠AOB=30°． 52 题型全解 题型10 圆周角定理 方法总结 方法1：倍数关系 同弧所对圆周角等于圆心角的一半，直接进行角度换算。 方法2：弧对应角度法 看角所对的同一段弧，借助弧来间接求未知角。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD=（    ） A．110° B．55° C．65° D．70° B 针对训练 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，则∠BOD的度数为（  ） A．80° B．90° C．100° D．110° 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，小温将三角板30°角的顶点P落在圆上，量出另两个交点的距离AB=6cm，则⊙O的半径为（   ） A．4cm B．6cm C．8cm D．23cm C B 题型全解 题型11 半圆（直径）所对的圆周角是直角 例 （25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，若∠A=35°，则∠B的度数是（　　） A．60° B．55° C．75° D．65° B 【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A=35°，∴∠B=55°， 故选：B． 56 题型全解 题型11 半圆（直径）所对的圆周角是直角 方法总结 方法1：直径构直角法 看见直径，连接弦，直接得到90° 圆周角，构造直角三角形。 方法2：逆向判定法 若圆周角为90°，则它所对的弦就是圆的直径。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏·寒假作业）如图，AB是⊙O的直径，若∠D=60°，AC=2，则BC的长为（　　） A．4 B．6 C．23 D．43 2．（25-26九年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D=120°，则∠CAB=（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° C A 针对训练 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，AB为直径，CD平分∠ACB，要想求出四边形ADBC的面积，只要知道（   ） A．AC的长 B．AB的长 C．CD的长 D．tan∠ABC的值 C 【分析】先结合AB为直径，得出∠ACB=∠ADB=90°，根据CD平分∠ACB，得DN=DM，∠ACD=∠BCD=1/2×90°=45°，AD=DB，然后证明△AND≌△BMD，故S四边形NCMD=S四边形ADBC，再证明四边形NCMD是矩形，又因为DN=DM，则四边形NCMD是正方形，得出四边形NCMD的面积=1/2×CD×MN，即可作答． 题型全解 题型12 切线的性质定理 例 （25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于（   ） A．60° B．65° C．70° D．75° C 【解析】如图，连接OB，∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°， ∵∠APO=∠BPC=70°，∴∠A=90°−70°=20°， ∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=20°， ∵点C在过点B的切线上，∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=90°−20°=70°．故选C． 60 题型全解 题型12 切线的性质定理 方法总结 方法1：连半径法 题目已知切线，连接切点与圆心，得到半径垂直切线，得到直角。 方法2：角度推导法 利用垂直得到90°角，结合等腰三角形、三角形内角和推导角度。 针对训练 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB=AD．若∠C=20°，则∠OAB等于（   ） A．20° B．30° C．40° D．50° C 针对训练 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，已知∠PAB=20°，则∠P的度数是________． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，AB是⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，连结AC，若∠ACD=40°，则∠BAC的度数为______． 50° 50° 题型全解 题型13 切线长定理 例 （25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P的度数为（    ） A．45° B．50° C．55° D．60° B 【分析】∵ PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径， ∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA， ∵ ∠BAC=25°，∴∠PAB=∠CAP− ∠BAC =65°， ∴ ∠P =180°−65°−65°=50°．故选B． 64 题型全解 题型13 切线长定理 方法总结 方法1：切线长等量法 圆外一点引圆两条切线，两条切线长度相等，实现线段等量替换。 方法2：内切圆转化法 三角形内切圆，切线长相等，建立周长与边长之间的关系计算。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=3，△ABC的周长为24，则BC的长为________． C 9 题型全解 题型14 圆的综合问题 例 （25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，C为半圆弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP，且与AP交于点D，连接BD．若AB=2，则BD的最小值为（    ） A．−1 B．+1 C．−2 D．+2 A 【解析】由CD⊥CP，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的圆弧AC， 利用BQ和AQ是定值，即可求得BD的最小值. 67 题型全解 题型14 圆的综合问题 方法总结 方法1：辅助线构造法 根据条件连半径、作垂线、构造直径所对直角，转化边角条件。 方法2：轨迹最值法 识别动点轨迹是圆弧，利用两点之间线段最短求解线段最值。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A(0,23)，动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为______． 【分析】如图所示，根据题意画出图形，并作矩形OGEF，先证Rt△AOB≌Rt△BEA，再证△BEF是含有30°角的三角形，从而求出BF与EF的长，最后在Rt△AGE中利用勾股定理建立含t的方程，解方程即可得出答案． 题型全解 题型15 正多边形与圆 例（25-26九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 D 【解析】∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°， ∴这个正多边形的边数=360°/30°=12． 故选：D． 70 题型全解 题型15 正多边形与圆 方法总结 方法1：中心角公式法 正多边形中心角 =360°÷边数，已知中心角求边数：边数=360°÷中心角。 方法2：解直角三角形法 半径、边心距、边长一半构成直角三角形，勾股定理求边长、边心距。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 B D 针对训练 3．（2026·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用n个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则n的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为140°，再根据圆周角与360°是否成整数倍来判断，即可得边数． 题型全解 题型16 求弧长 例（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，⊙O的半径为3，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=52°，∠ACD=32°，则的长为（    ） A．π B．π C．2π D．4π A 【解析】在⊙O中，∠B=52°， ∴∠ADC=180°−∠B=128°， ∴∠DAC==180°−32°−128°=20°， 连接OC,OD，则∠DOC=2∠DAC=2×20°=40°， ∵⊙O的半径为3，∴的长为(40π×3)/180=2π/3．故选：A． 74 题型全解 题型16 求弧长 方法总结 方法1：公式直接代入法 套用弧长公式，代入圆心角n、半径R直接计算。 方法2：轨迹路径分析法 旋转类题型，找准旋转半径与旋转圆心角，再代入弧长公式。 针对训练 1．（2026·江苏泰州·三模）在半径为5的⊙O中，弦AB所对的圆心角为60°，则弦AB所对的弧长为___________． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，折扇骨柄长OA为30cm，小鸣完全张开折扇时∠AOB的度数为135°，此时弧AB的长是____cm． 3．（2026·江苏盐城·三模）Rt△AOB中，∠ABO=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△A′OB′，若点A的坐标为（−3,4），则点A经过的路径长为_________． 题型全解 题型17 求扇形、弓形面积 例（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形ABCDEO的边长为3，⊙O经过点A、E，则阴影部分的面积为________． 3π 【解析】∵多边形ABCDEO 是正六边形，边长为3， ∴ ∠AOE=（6−2）×180°/6=120°，且OA=OE=3， ∵⊙O经过点A、E， ∴⊙O的半径R=OA=3， ∴S阴影=(120π×32)/360=3π． 77 题型全解 题型17 求扇形、弓形面积 方法总结 方法1：扇形公式 扇形面积，代入圆心角、半径求扇形面积。 方法2：割补求弓形 弓形面积=扇形面积减去（或加上）对应三角形面积。 针对训练 1．（2026·江苏苏州·一模）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形AOB的面积．已知OA=3cm，∠AOB=150°，则该银杏叶的面积约为_________cm2．（结果保留π） 2．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为30 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为10 cm，则该扇形纸板的面积为__________cm2． 针对训练 3．（2026·江苏无锡·二模）如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是________． 题型全解 题型18 求不规则图形面积 例（2026·江苏苏州·三模）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B，过点A、B的两条切线交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为α．若这段圆弧的半径OA=6m，α=60°，则图中危险区（阴影部分）面积为__________m2． 12 【解析】连接OC，先求出圆心角，进而求出扇形AOB的面积，再求出∠AOC=∠BOC=30°，根据三角函数得到AC=BC=2m，然后求出四边形OACB面积，由四边形面积减去扇形AOB面积即可求解． 81 题型全解 题型18 求不规则图形面积 方法总结 方法1：割补转化法 把不规则阴影拆分、拼接，转化成扇形、三角形、规则图形的和或者差。 方法2：面积相减法 大图形面积减去小图形面积，得到阴影部分面积。 针对训练 1．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若∠BOD=60°，AB=6dm，BD=2πdm，则花窗（阴影部分）的面积为__________dm2． 18π 【分析】根据弧长公式求出扇形OBD的半径，再分别求出扇形OAC面积和扇形OBD的面积，最后用扇形OAC的面积减去扇形OBD面积即可求得阴影部分的面积． 针对训练 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上（点C不与点E，F重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为_______． 4π-8 【分析】连接CD，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，证明△DGM≌△DNH（ASA），四边形DMCN为正方形，得出S△DMG=S△DNH，CM=DM=2，进而可得S四边形DGCH=S正方形DMCN=8，再由S阴影=S扇形DEF−S四边形DGCH计算即可得解． 题型全解 题型19 圆锥的侧面积、全面积 例（2026·江苏南通·模拟预测）已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A．21πcm2 B．60πcm2 C．24πcm2 D．12πcm+ A 【解析】由圆锥底面直径为6cm可得底面半径r=3cm，则底面积为πr2=9πcm2， 圆锥侧面积公式为S侧=πrl，则S侧=π×3×4=12πcm2， 则圆锥的全面积为S全=S侧+S底=21πcm2， A选项符合题意． 85 题型全解 题型19 圆锥的侧面积、全面积 方法总结 方法1：公式代入法 圆锥侧面积：S侧=，全面积：S全=+，r底面半径，l母线长。 方法2：对应关系法 圆锥侧面展开扇形的半径=圆锥母线，扇形弧长=圆锥底面圆周长。 针对训练 1．（2026·江苏扬州·二模）若圆锥的高是4cm，底圆半径是3cm，则圆锥的全面积是___________cm2． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积=______． 3．（2026·江苏扬州·三模）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 24 180 24 单元总结/易错复盘 ·分类规则 求线段、角度用垂径定理、圆周角定理；证明切线两种思路：连半径证垂直、作垂直证半径；弧长扇形圆锥套用对应公式；遇弦、直径常作辅助线构造直角三角形。 ·核心概念 圆的相关元素；不在同一直线上三点确定一个圆；垂径定理及推论；圆周角定理及推论；切线的性质与判定；弧长l=nπR/180，扇形面积S=nπR2/360；圆锥母线与扇形半径对应关系。 ·答题注意事项 弦的问题警惕双解，注意分类讨论；使用圆周角定理看清是否为同弧或等弧；切线证明分清两种辅助线作法；圆锥计算区分底面圆半径与母线长；无图题型要考虑多种情况。 88 苏科版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $