3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 第5课时 三角形的内切圆（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，通过工厂裁剪圆形桌面的实际问题导入，衔接直线与圆位置关系，引导学生从“圆与三边相切”出发，经作图探究、性质分析建立内心概念，构建从现实到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过尺规作图与角平分线交点推理发展数学思维，结合例题中切线性质及面积公式应用强化数学语言。如工厂问题抽象出数学对象，作图过程发展几何直观，帮助学生提升探究能力，为教师提供完整教学链条。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 第5课时 三角形的内切圆 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 如图，工厂车间里有一块三角形铁皮余料，工人师傅想从这块余料中裁剪出一个圆形的桌面，要使裁出的圆的面积尽可能大.请帮他想想，这个圆该如何确定？ 通过比较发现圆与三角形的边接触越多，圆的面积越大. 怎样才算“接触多”？ 与三条边都相切. 2 任务一：作图与概念建立 新知探究 问题1：假设需要的圆已经作出来了(如图)，它和△ABC的三条边相切.请大家观察，圆心的位置有什么特点？圆心的位置与哪些线有关？ 圆心是三个角的平分线的交点，圆心的位置与三条角平分线有关. 问题2：能用尺规作图的方法，把这个圆作出来吗？ 3 新知探究 问题3：圆心到三边的距离为什么相等？为什么圆心在角平分线的交点处？ 根据切线的性质，圆心到三边距离都相等，都等于半径. 如果一个圆与三角形的两边相切，圆心到这两边的距离相等，则圆心在这两条边夹角的平分线上；同理，圆心还必须在另外两个角的平分线上，因此圆心是三条角平分线的交点. 4 新知探究 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心，它是三条角平分线的交点. 圆的外切三角形：如果一个三角形的三边都和同一个圆相切，那么这个三角形就叫作这个圆的外切三角形. 5 任务二：拓展探究 新知探究 问题：如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF.观察图形，能从图中发现哪些结论？ (1)OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC； (2)OD＝OE＝OF＝内切圆半径r； (3)AO，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB； (4)AD＝AF，BE＝BD，CF＝CE. 6 任务三：例题剖析 新知探究 例 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°.求∠EDF的大小. ∠EDF是什么角？有什么相关性质吗？ 解 如图，连接OE，OF. 在△ABC中， ∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(60°＋70°)＝50° 7 新知探究 ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AB⊥OF，AC⊥OE. 在四边形AFOE中， ∵∠EOF＝360°－(∠A＋∠AFO＋∠AEO) ＝360°－(50°＋90°＋90°) ＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF＝65°. 8 C 1. ⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点　 C．三条角平分线的交点　 D．三条高的交点 课堂练习 9 2. B 如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是劣弧DF上一点，则∠EPF的度数是(　　) A．65° B．60° C．58° D．50° 3. A 已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为(　　) 4. 131° 如图，在△ABC中，∠A＝82°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为______． 5. 2.4 如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则该菱形的内切圆的半径r＝________． 6. 4 如图，点I为△ABC的三个内角的角平分线的交点， AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为________． 7. 解：如图，⊙O即为所求． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°. (1)画出△ABC的内切圆，圆心为O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径． 16 8. C 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 (　　) A．15° B．17.5° C．20° D．25° 9. D 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是(　　) 18 10. 135° 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为点D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________． 19 11. [无锡期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，I为△ABC的内心，则IM＝________． 20 12. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过点A作AB⊥OP于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB． 求证：(1)PB是⊙O的切线； 证明：连接OB.∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°. ∴AB⊥BC.又∵AB⊥OP，∴OP∥BC. ∴∠AOP＝∠C，∠BOP＝∠OBC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠BOP. 21 证明：连接AE.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.由(1)得△BOP≌△AOP，∴∠BPO＝∠APO.∴PE平分∠APB，∴E为△PAB的内心． (2)E为△PAB的内心． 23 13. 如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝7 cm.动点P从点A出发，以 1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1 cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ.过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC． 设运动时间为t s，其中0<t<7. 解：由题意可得OP＝(7－t)cm，OQ＝t cm， ∴OP＋OQ＝7－t＋t＝7(cm)． (1)求OP＋OQ的值； 1 cm (2)当t＝3时，△OPQ的内切圆的半径为________； 25 【点拨】 26 又∵OI＝OI，IE＝IF， ∴Rt△IOE≌Rt△IOF. ∴OE＝OF.同理可证QE＝QH，PH＝PF. ∴OE＋OF＝OQ＋OP－PQ＝2 cm. ∴OE＝1 cm.易知四边形OEIF为正方形， ∴IF＝OE＝1 cm，即当t＝3时， △OPQ的内切圆的半径为1 cm. 解：∵∠POQ＝90°， ∴PQ是△POQ的外接圆的直径． ∴∠PCQ＝90°.∴CQ2＋CP2＝PQ2. ∵OT是∠MON的平分线， ∴∠QOC＝∠POC＝45°.∴CQ＝CP. ∴△PCQ是等腰直角三角形． (3)求四边形OPCQ的面积． 28 课堂总结 1.本节课你学习了哪些新概念？它们之间有什么联系？ 2.作一个三角形的内切圆，关键步骤是哪两步？ 3.你还能回忆起三角形的外接圆吗？内切圆和外接圆在圆心、半径的确定上有什么不同？ 4.你在本节课的学习中还产生了哪些疑问？请记录下来. 30 A．rl B．πrl C．rl D．πrl 解：∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10. 设⊙O的半径为r.∵△ABC的面积为×6×8＝24， ∴易知(AB＋AC＋BC)·r＝24， 即×(6＋8＋10)×r＝24，解得r＝2. ∴⊙O的半径为2. A．5 B．2 C．5或2 D．2或－1 2 在△BOP和△AOP中， ∴△BOP≌△AOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP. ∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°. 又∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线． 当t＝3时，OP＝7－t＝4(cm)，OQ＝3 cm. ∵∠MON＝90°， ∴PQ＝＝5(cm)． 如图，作△OPQ的内切圆，记内切圆的圆心为I，切点分别为E，F，H，连接IE，IF，则IE⊥OQ，IF⊥OP， ∴∠IEO＝∠IFO＝90°. ∴易得CQ＝CP＝PQ. ∴S△PCQ＝CP·CQ＝×PQ·PQ＝PQ2(cm2)． 在Rt△POQ中，PQ2＝OP2＋OQ2＝(7－t)2＋t2， ∴四边形OPCQ的面积＝S△POQ＋S△PCQ＝OP·OQ＋PQ2＝t(7－t)＋＝t－t2＋－t＋t2＝(cm2)． $