3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第5课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内切圆、内心及外心概念，通过“剪最大面积的圆”问题导入，以“圆心到三边距离相等—角平分线交点”的问题链为支架，衔接直线与圆位置关系，引导学生构建知识脉络。 其亮点在于以实践问题驱动探究，通过剪圆抽象出内切圆概念培养数学眼光，对比内心外心表格强化推理意识，结合《九章算术》勾股容圆问题及变式例题，用公式表达半径发展数学语言。助力学生提升几何直观与创新意识，教师可高效备课，优化教学效果。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念． 掌握用尺规作三角形内切圆的方法． 3 掌握三角形内心的性质：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等． 问题引入 要从一张三角形纸片中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？请你试一试． ● ● ● 当这个圆与三角形的各边都相切时，剪得的圆面积最大. 新知探究 1．当圆与三角形的各边都相切时，圆心有什么特点？ ● 圆心到三条边的距离相等（都等于半径）． 2．到一个角两边距离相等的点，在哪条线上？ 在这个角的平分线上． 3．如何找一个点，使它到三角形三边的距离相等？ 三角形两条内角平分线的交点． 新知探究 已知：△ABC（如图）． 求作：和△ABC的各边都相切的圆． C A B 要作出这个圆，我们首先需要确定哪两个要素？圆心应该定在哪儿？半径又该怎样选取？ M O N D ┛ 作法: ① 分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM， CN，BM与CN的交点为O． ② 过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D． ③ 以点 O 为圆心，OD 长为半径作⊙O． ⊙O 就是所求的圆． 这样的圆能作几个？ 三角形三条角平分线必定交于唯一一点，所以 这样的圆有且只有一个． 概念引入 ● O C A B 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形． 如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形． 注意：三角形的边与圆的位置关系称为切．而“内”、“外”是相对的. 任意三角形都有内切圆吗？ 新知巩固 C A B O C A B O C A B O ┛ 分别画出下图各个三角形的内切圆． 想一想内心有什么性质？内心和外心有什么区别？ 任意三角形都有内切圆 新知归纳 图形 圆的名称 三角形名称 圆心名称 确定圆心的方法 圆心的性质 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆的外切三角形 圆的内接三角形 三角形的内心 (一定在三角形内部) 三角形的外心(不一定在三角形内部) 三角形的三条 角平分线的交点 三角形的三边 垂直分线的交点 到三角形的 三边距离相等 到三角形的三个顶点距离相等 三角形的内心与外心对比 方法点拨：要求内切圆上切点构成的圆周角，先找内心，连半径，利用切线的性质定理与四边形内角和360°求圆心角，再用圆周角定理计算． 例题讲解 例6 如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小． C O A B F E D 解：连接OE、OF． 在△ABC中， ∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋70°)＝50°． ∵⊙O是△ABC 的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥AB． 在四边形AFOE中， ∵∠EOF＝360°－(∠AEO＋∠AFO＋∠A) ＝ 360°－( 90°＋90°＋50°)＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF ＝× 130° ＝65°． 思考：∠EDF与∠A之间有什么关系？ 重要结论：∠EDF＝90°－∠A 例题讲解 变式 当☉O 上有一点P（不与点E、F 重合）， ∠EPF 的度数与∠A之间有什么关系？ C O A B F E D P P 当点P与点D在E，F的异侧时， ∠EPF＝180°－∠EDF ＝180°－(90°－∠A) ＝90°＋∠A． 解：当点P与点D在E，F的同侧时， ∠EPF＝∠EDF＝90°－∠A． 归纳总结 三角形内切圆和外接圆中的有关角 基本图形 角之间的关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠EDF＝90°－ ∠A ∠BOC＝2∠A 新知巩固 1．△ABC的周长为 C，面积为 S，求它的内切圆的半径（用含 C，S 的代数式表示）． C A B E F D ● O 解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r， 切点分别为D、E、F． 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC． ∴S＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝ AB·OE＋BC·OF＋AC·OD ＝ r (AB＋BC＋AC)＝ C r． 重要公式：三角形内切半径r＝． 解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，内切圆⊙O分别与边AB、 BC、CA相切于点D、E、F，设内切圆⊙O的半径为r．连接OE、OF． 由勾股定理，得 AB＝＝＝17． ∵⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F，∴ OE⊥BC，OF⊥AC， ∵∠C＝90º，∴四边形OECF是矩形． ∵ OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． ∴ CE＝CF＝OE＝OF＝r． 则 BE＝BC－CE＝15－r，AF＝AC－CF＝8－r． ∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， ∴AD＝AF＝8－r，BD＝BE＝15－r， ∵BD＋AD＝AB，∴15－r＋8－r＝17，解得r＝3．2r＝6． 答：内切圆的直径为6． 新知巩固 2.《九章算术》中有一道“勾股容圆”问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”实际上就是解决下列问题：已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，求其内切圆的直径．请你解决这个问题． A C B O ● E F D 知识延伸 若 BC、AC、AB的长分别为 a、b、c，内切圆⊙O的半径长是多少？ A C B O ● E F D 解：设内切圆半径为r， 易得 b－r＋a－r＝c， c b a 解得． 直角三角形内切圆半径 ． 新知巩固 3．如图，点C、 D分别在射线OA、OB上，用直尺和圆规作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切． O B A D C P1 P2 解：如图，满足条件的⊙P有2个. 能力提升 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D. (1) BD与ID相等吗？为什么？ B A D C ● I 解：(1)连接BI． ∵ I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， 又∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD． ∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠DBI＝∠CBI＋∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝ID． 能力提升 (2) 连接BI、CI，求证：点D是的外心． (2) 证明：如图，连接DC， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴ BD＝CD． ∵ ID＝BD， ∴ BD＝CD＝ID， ∴点D是△BIC的外心． B A D C ● I 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5） 概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形． 作图：两步角平分线找圆心，作垂线段取半径画内切圆． 应用：角度计算：切线上半径+四边形内角和+圆周角定理 公式：三角形内切半径 r＝ ； 直角三角形内切圆半径 ． 感谢聆听！ $