3.6 正多边形与圆（课件）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“正多边形与圆”，涵盖作图方法、核心概念及公式应用。通过回顾圆的基本性质导入，搭建新旧知识桥梁，以学习支架形式引导学生从圆的对称性过渡到正多边形的探究。 其亮点在于注重动手操作与逻辑推理，通过尺规作正多边形培养几何直观，以问题链推导中心角、边心距公式发展推理能力，结合中考题与实际情境（如苯分子结构）强化模型意识。学生能提升空间观念与应用能力，教师可高效开展探究式教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.6 正多边形与圆 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 本章已经学习了圆的相关概念，确定圆的条件，圆的对称性，圆周角，点与圆、直线与圆的位置关系，请回顾一下圆的基本性质. 2 任务一：探究作圆的内接正五边形、内接正六边形 新知探究 问题1：如何利用直尺和圆规作一个圆的内接正方形？ 作圆的两条互相垂直的直径，依次连接与圆的四个交点，即为圆内接正方形. 问题2：如何作圆的内接正五边形？ 正五边形的内角为108°，利用尺规不易作出这个角度的图形.因为正五边形的各边相等，所以各边所对的圆心角也相等，都等于72°，故可以借助量角器作图. 3 新知探究 如图，在⊙O内作一个72°的圆心角∠AOB，连接AB，从点B开始，用圆规取AB的长，依次在⊙O上截取得到点C，D，E，连接BC，CD，DE，EA，得到五边形ABCDE. 4 新知探究 问题3：如何证明这个五边形为正五边形？ ∵＝＝＝＝，所以 AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝72°. 根据圆周角定理可得， ∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，故这个图形五条边相等，五个内角相等，是正五边形. 5 新知探究 问题4：如何作圆的内接正n边形？ 利用尺规或量角器把圆n等分，顺次连接各分点，就得到圆的内接正n边形. 6 新知探究 问题5：能用不同的方法作圆的内接正六边形吗？ 1.类似圆的内接正五边形的作法，可以先作一个圆和60°的圆心角，然后在圆上确定顶点的位置. 2.圆的内接正六边形的边长与半径相等，从圆上的任意一点开始， 用圆规取半径的长，依次在圆上确定其他顶点的位置(如图). 7 任务二：认识基本概念 新知探究 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形中还有哪些与圆相关的概念？ 如图，正多边形的外接圆的圆心到正多边形边的垂线段的长为正多边形的边心距， 正多边形的中心和任一条边两个端点所连线构成的角为正多边形的中心角. 8 任务三：拓展探究正多边形的有关计算公式 新知探究 问题1：正n边形的中心角怎么求？ 正n边形的中心角＝. 9 新知探究 问题2：正n边形中，已知半径R，边长a，如何求边心距r？ 如图，在由半径、边长一半和边心距构成的直角三角形中，利用勾股定理即可求解. r＝＝. 10 任务四：典型例题精讲 新知探究 例 如图，正六边形ABCDEF的半径为4.求这个正六边形的周长和面积. 分析 (1)正六边形的中心角等于多少度？ (2)判断OC与AB的数量关系. (3)△OAB是什么三角形？ (4)圆内接正六边形的面积是△OAB面积的多少倍？ 11 新知探究 解 如图，连接OA，OB. 由题意，得∠AOB＝60°. ∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，AB＝OA＝4. ∴正六边形的周长l＝4×6＝24. 过点O作OG⊥AB，垂足为G. 在Rt△OAG中，∵OA＝4，AG＝AB＝2， 12 新知探究 ∴OG＝＝＝2. ∴正六边形的面积S＝×4×2×6＝24. 13 C 1. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为(　　) 课堂练习 14 2. D 正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝(　　) A．60° B．54° C．48° D．36° 3. D 如图，将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个点，分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点，连接OG，则OG的长是 (　　) 4. 10 镇江中考如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________． 5. AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE＝________°. 67.5 6. 10 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________． 7. 解：如图，正六边形 ABCDEF为所求作． 如图，已知⊙O与⊙O上的一点A． (1)求作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹) (2)连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 解：四边形BCEF为矩形．理由如下： 如图，连接BE. ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA. ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF. ∴BC＋CD＋DE＝EF＋AF＋AB. ∴BCE＝BAE.∴易得BE为⊙O的直径． ∴∠BFE＝∠BCE＝90°. 同理可得∠FBC＝∠CEF＝90°. ∴四边形BCEF为矩形． ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 21 8. B 如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为(　　) A．26° B．27° C．28° D．30° 9. B 青岛中考为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是(　　) A．90° B．99° C．108° D．135° 23 10. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为________． 120° 24 11. 上海中考已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是____________． 36°或108° 25 12. 如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB于点E. (1)求证：PA＝PD； 26 (2)当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE＝EP. ︵ ︵ 28 连接PO并延长交AD于点H，连接OD. ∵PA＝PD，OA＝OD，∴PH⊥AD.∴∠PHD＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠PHD.∴AB∥PH. ∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°.∴ AE＝EP. ︵ ︵ 13. 【给出问题】已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上(除A，B外)，试求∠APB的度数． 【分析问题】画出示意图，并在此基础上进一步探索发现．请你帮助解答以下问题： 解：如图①所示． (1)①尺规作图，在⊙O中作出内接正方形ABCD(保留痕迹，不写作法)； ②原题中∠APB＝________． 45°或135° 31 【深入思考】 (2)【问题】如图①，若四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接PA，PB，PC，PD，请探究PD，PA，PC三者之间及PD，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明； 32 ︵ ︵ (3)【拓展】如图②，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，则PA，PB，PC三者之间的数量关系为______________； 35 【点拨】 如图③，过点B作BM⊥AP于点M， 在AP上截取AQ＝PC，连接BQ， 易知∠BAP＝∠BCP，AB＝BC. (4)【应用】如图③，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，∠APB＝45°，PD＝2，PC＝4，试求矩形ABCD的面积． 38 解：如图④，以AB为边，作正方形AEFB， 作正方形AEFB的外接圆⊙O，连接PF，AF， 则AF为⊙O的直径， AE＝EF＝CD＝PD＋PC＝2＋4＝6， ∴易得AF＝6. 根据(1)可得P在⊙O上，则∠APF＝90°. 设DE＝x，则CF＝DE＝x，AD＝6＋x， 课堂总结 1.通过本节课的学习你有哪些收获？ 2.本节课用到了哪些数学思想？ 41 A．2 B． C．1 D． A．r B．(1＋)r C．(1＋)r D．r 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD. ∵点P是边BC的中点，∴PB＝PC. 在△ABP与△DCP中， ∴△ABP≌△DCP(SAS)．∴PA＝PD. 证明：如图，连接OE，OA. ∵AE是以点O为中心的正六边形的一边， ∴∠AOE＝＝60°. 又∵OA＝OE，∴△AOE是等边三角形． ∴∠AEO＝60°. PB＝PC＋PD，PA＝PD＋PC. 证明如下： 如图②，过点C作CE⊥PC交PB于E，即∠PCE＝90°. ∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°. ∵∠BCE＋∠DCE＝∠DCE＋∠DCP＝90°，∴∠BCE＝∠DCP. ∵＝，∴∠PDC＝∠EBC. 又∵CD＝BC，∴△PDC≌△EBC(ASA)． ∴PD＝BE，PC＝CE，∴△PCE是等腰直角三角形． ∴易得PE＝PC.∴PB＝PE＋EB＝PC＋PD. 过点D作DF⊥DP交PA于F. 同理可得PC＝AF，△PDF是等腰直角三角形， ∴易得PF＝PD，∴PA＝PF＋AF＝PD＋PC. 综上，PB＝PC＋PD，PA＝PD＋PC. PA＝PC＋PB 在△ABQ和△CBP中， ∴△ABQ≌△CBP(SAS)．∴BQ＝BP.∴MP＝QM. 易知∠APB＝30°，∴BM＝PB，∴易得PM＝PB. ∴PQ＝PB.∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋PB. 由题意得，在Rt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝(6＋x)2＋22， 在Rt△PFC中，PF2＝PC2＋CF2＝42＋x2， 在Rt△APF中，AP2＋PF2＝AF2＝(6)2， ∴(6＋x)2＋22＋42＋x2＝(6)2， 解得x＝－3(负值已舍去)，∴AD＝＋3. ∴矩形ABCD的面积为CD·AD＝6×(＋3)＝6＋18. $