第3章 3.6 正多边形与圆-课时1 正多边形-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“正多边形与圆”核心内容，通过正五边形环状排列问题导入，衔接圆的中心角、圆周角等知识，以例题解析、关键点拨为学习支架，帮助学生构建从基础计算到综合应用的知识脉络。 其特色在于融合几何直观、推理意识与应用意识，如割圆术探究圆周率培养数学眼光，正六边形旋转中全等证明发展推理能力，彩铅纸盒设计强化应用意识。采用分层练习与易错警示，学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第3章 圆 4 3.6 正多边形与圆 课时1 正多边形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 正多边形的计算 （第1题图） 1.如图，用若干个相同正五边形排成环状.图中已经排好前3个正五 边形，完成这一圆环还需正五边形的个数为( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如图，延长正五边形的两边，交点即为圆心. 正五边形的一个外角等于 ， 延长正五边形的两边围成的角的度数为 ， 完成这一圆环需要10个正五边形， 故完成这一圆环还需正五边形的个数为7.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 刷有所得 满足①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第2题图） 2.【2025江苏南京调研】如图，在扇形中，是弧 上一点， 且,分别是 的内接正六边形、内接正五边形的边，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，如图.,分别是 的内接正六边形、内 接正五边形的边， ， ， ， ， ， 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （第3题图） 3.如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的边长是4， 则它的内切圆圆心 的坐标是( ) A A. B. C. D. 【解析】如图所示，作，的垂直平分线交于点，则点 即 为内切圆圆心，连接，,设的垂直平分线交于点 . 正六边形的边长是4，， , 为等边三角形， ， ， 点的坐标为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 关键点拨 作， 的垂直平分线，其交点即为正六边形的内切圆圆心.根据正六边形的性 质及等边三角形的性质得出 ，再结合勾股定理进行计算即可得出结果. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （第4题图） 4.【2026江苏扬州调研】如图， 是正九边形两条对角线的夹角， 则 的度数是____. 【解析】设正九边形的外接圆圆心为点 ，作出正九边形的外接圆 ，如图所示.根据题意，得 正九边形的一个内角为 ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5. 传统文化【2026浙江湖州调研】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术 注》中提出了著名的“割圆术”.所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去 无限逼近圆面积，并以此求取圆周率 的方法.刘徽指出“割之弥细，所失弥少. 割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”例如，如图（1）， 的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计 的面积，因为易得 ，所以的面积近似为，由此可得 的估计 值为.若用圆内接正十二边形估计的面积，如图（2），则可得 的估计值 为___. 3 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设 的 半径是2，连接,，过点作于点 .在正十二边形中， ， 在中， ， ， 正十二边形的面积为 ， 的面积近似为12， ，解得， 的估计值为3.故 答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 6.【2025江苏苏州调研】某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支彩铅的形状、 大小均相同，底面均为正六边形，且边长为 ，目前厂家提供了圆形和等边三 角形两种作为纸盒底面的设计方案，以6支彩铅为例，如图，则底面积更小的是方 案____（填“一”或“二”），两种方案底面积差为________________ （结果保留根号）. 二 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】如图（1），取圆心 正六边形的边长为, 易得 的半径为 ， 方案一中底面积为.如图（2），取等边三角形的中心，连接 ， 过点作,垂足为.易得， ， ，， 易得 ,即等边三角形的边长为 ，由勾股定理易得等边三角 形的高为， 方案二中底面积为 ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 底面积更小的是方案二，两种方案底面积差为 .故答案为二， . 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 刷易错 易错点 忽视分类讨论致错 7.已知是正方形的外接圆，点为圆上一点（与点， 不重合），则 的度数为___________. 或 【解析】连接，，如图.当点在优弧上时, 四边形 是 的内接正方形， .由圆周角定理，得 ;当点在劣弧 上时， .综上，的度数为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 易错警示 圆上的点位置不确定时,要注意分点 在劣弧和优弧上两种情况来讨论,避免漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 提升 1.【2026福建漳州期中，中】如图，将两个全等的正六边形 一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为 ， 其中一个正六边形的外接圆与交于点，若 ， 则四边形 的面积是( ) D A.4 B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 【解析】如图，令与交于点, , ,和 均为等边三角形， , 四边形 为菱形， .在中，易得,, 四边形 的面积是 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 2. 传统文化 【2026浙江杭州调研，中】如图（1），司南是中国发明的广 泛应用于古代军事、航海的指南仪器.如图（2），用正八边形的八个顶点 代 表八个方位，直线与交于点，则点位于点 的( ) D 图（1） 图（2） A.南偏西 方向 B.北偏东 方向 C.南偏西 方向 D.北偏东 方向 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 【解析】如图，设正八边形的中心为点 ， 连接,,,, 正八边形 的中心 角为 ， ， ， ， ， ，， 点位于点 的 北偏东 方向.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 3.【2026江西上饶期末，中】如图，六边形为正六边形，点 为对角线的 交点， 的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（不用写作法，保 留作图痕迹）. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 （1）在图（1）中作出一个面积等于4的矩形； 【解】如图（1），矩形即为所求.（答案不唯一） 六边形 为正六 边形，，，，，， 是全等的等边三角 形，， 四边形是矩形.易得 , ， . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 （2）在图（2）中作出一个面积等于4的菱形. 图（2） 【解】如图（2），菱形即为所求.（答案不唯一）延长 ， 交于点，连接并延长交于点，交于点 ，顺次连接 点,,, 六边形为正六边形，， ， ，，，是全等的等边三角形， 易得 , 也是等边三角形， , 四边形 是菱形， ,,.易得 ，又 , 四边形是菱形.设 ，则 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 ， ， ， ， ， 即四边形 是面积为4的菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 4.【2026广西南宁期末，较难】 图（1） 图（2） 图（3） 【阅读理解】如图（1），为等边的中心角，将绕点 逆时针旋 转一个角度，的两边与三角形的边,分别交于点, . 设等边的面积为，通过证明可得 ，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 【类比探究】 如图（2），为正方形的中心角，将绕点 逆时针 旋转一个角度，的两边与正方形的边,分别交于点 , .若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形 的面积 （写出具体探究过程）. 【解】为正方形的中心角，， , ,绕点 逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边, 分别交 于点,，,， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 【拓展应用】 如图（3），为正六边形的中心角，将绕点 逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边, 分别 交于点,.若四边形的面积为，请直接写出正六边形 的面积. 【解】正六边形的面积为 . 为正六边形的中心角， ， 绕点逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边,分别交于点,, , ， ， 四 边形的面积为， 正六边形的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 关键点拨 本题属于综合题，考查了正 边形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决 问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 33 $