3.3 圆的对称性 第1课时 弧、弦、圆心角之间的关系（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“弧、弦、圆心角之间的关系”，通过复习中心对称与轴对称图形概念导入，衔接圆的旋转不变性探究，搭建从图形对称性到圆中量关系的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以动手操作（如叠合旋转等圆扇形）培养几何直观与空间观念，通过“同圆或等圆”条件辨析发展推理意识，结合等边三角形顶点在圆上的例题强化应用意识。学生能主动探究知识联系，教师可高效开展概念教学与能力训练。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.3 圆的对称性 第1课时 弧、弦、圆心角之间的关系 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 问题1：中心对称图形的概念是什么？ 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 问题2：轴对称图形的概念是什么？ 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 2 任务一：探究圆的中心对称性 新知探究 问题1：车轮为什么是圆的？ 因为圆形车轮正中心到车轮边上的距离处处相等，行驶起来更平稳，不容易颠簸. 从旋转的角度来看，轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合.一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合(旋转不变性). 3 新知探究 问题2：在两张透明纸上分别画一个半径相等的⊙O和⊙O′，并将它们分割成圆心角相等的扇形，将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸，有什么发现？ 发现两个圆始终保持重合.特别地，当旋转角为180°时，旋转前后的图形保持重合. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 特别地，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称. 4 任务二：探究弧、弦、圆心角之间的关系 新知探究 探究1：通过上述操作，在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形可以重合吗？这两个扇形对应的弧和弦也都重合吗？ 在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合. 如图，如果∠AOB＝∠A′OB′，那么＝. 5 新知探究 把可以重合的弧叫作等弧. 由于任意两个半径相等的圆都可以重合，得到如下结论： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 6 新知探究 辨析：“在同圆或等圆中”这个条件可以去掉吗？ 如果去掉这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 如图所示，两个圆是同心圆，与对应的圆心角相等， 但≠，AB≠A′B′. 7 新知探究 探究2：在同圆或等圆中， (1)如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？ 在同圆或等圆中，若两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等. (2)如果两个圆心角所对的弦相等呢？ 在同圆或等圆中，若两个圆心角所对的弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 8 新知探究 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 可以用下图表示同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系： 9 任务三：概念延伸 新知探究 将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份. 把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧(如图). n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角. 10 新知探究 结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 圆心角的度数与圆的半径大小无关，圆弧的度数也与圆的半径大小无关. 11 任务四：知识迁移与运用 新知探究 讨论：回顾用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程(如图)，能用圆的性质说明这样作图的道理吗？ 连接CD，C′D′，作图时，CD＝C′D′，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以∠O＝∠O′. 12 新知探究 例 如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，OD⊥AB，垂足为D，连接OA，OB.求证：∠AOD＝∠BOD＝60°. 13 新知探究 证明 如图，连接OC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC(同圆中，相等的弦所对的圆心角相等). ∴∠AOB＝×360°＝120°. ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴OD平分∠AOB. ∴∠AOD＝∠BOD＝60°. 14 B 1. 下列说法中，正确的是(　　) A．相等的弦所对应的弧相等 B．圆是中心对称图形，对称中心是圆心 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．在同圆或等圆中，较长的弧所对应的弦较长 课堂练习 15 2. [江阴期中]如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AC＝BD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　　) A．42° B．44° C．46° D．48° ︵ ︵ D 3. [徐州期末]如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是(　　) A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠AOB＝∠COD D．AD＝BD ︵ ︵ ︵ ︵ D 4. 72° 已知⊙O的一条弦AB把圆的周长分成1：4的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________． 5. [常州期中]已知⊙O半径为3，⊙O上有A，B两点，AB＝3，则弦AB所对劣弧的度数为________． 60° 6. 46° [苏州期中]如图，OA，OB，OC均为⊙O半径，∠BOD＝22°，AO⊥BO，点D为弧AC的中点，则∠BOC＝________． 7. 如图，AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，EC的度数为40°，求∠BOD的度数． ︵ ︵ 8. C 在⊙O中，AB＝2CD，则弦AB与弦CD的大小关系是 (　　) A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD ︵ ︵ 9. C 23 10. 80°　 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，若∠D＝50°，则BE的度数为________． ︵ 24 11. 50° 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的度数为________． ︵ ︵ 25 12. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝6，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是________． ︵ 26 13. 如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点． (1)求证：四边形OACB为菱形； ︵ 证明：如图，连接OC. ∵∠AOB＝120°，C是AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形． ∴OA＝AC.同理OB＝BC.∵OA＝OB， ∴OA＝AC＝BC＝OB. ∴四边形OACB是菱形． ︵ (2)延长OA至点P，使得AP＝OA，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长． 解：∵△OAC是等边三角形，∴∠OCA＝∠OAC＝60°. ∵OA＝AC，AP＝OA，⊙O的半径R＝1， ∴OA＝AP＝AC＝1.∴∠ACP＝∠APC. ∵∠ACP＋∠APC＝∠OAC， 29 14. (1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD． ︵ 证明：如图①，连接AC，BD. ∵C，D是AB的三等分点， ∴AC＝CD＝BD. ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD， AC＝CD＝BD. ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ︵ ︵ ︵ ︵ (2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解：成立，证明如下： 如图②，连接AC，BD. ∵C，D是AB的三等分点， ∴AC＝CD＝BD. ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，AC＝CD＝BD. ︵ ︵ ︵ ︵ 34 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.通过本节课的学习，你还有哪些困惑？ 36 解：连接OE. ∵的度数为40°，∴∠COE＝40°. ∵OC＝OE，∴∠C＝＝70°. ∵CE∥AB，∴∠BOD＝∠C＝70°. 在半径为1的圆中，长度等于的弦所对应的弧的度数为(　　) A．90° B．145° C．90°或270° D．145°或270° 3 ∴∠ACP＝∠APC＝∠OAC＝30°. ∴∠OCP＝∠OCA＋∠ACP＝60°＋30°＝90°. ∴△OPC是直角三角形． ∵OC＝1，OP＝OA＋AP＝2， ∴PC＝＝＝. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°. ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.∴AE＝AC. 同理可得BF＝BD， ∴AE＝BF＝CD. ∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°. ∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°. ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝×(180°－40°)＝70°＝∠AEC. ∴AE＝AC.同理可得BF＝BD， ∴AE＝BF＝CD. $