3.4 课时2 圆周角课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定理、推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形对角互补等核心知识点，通过“直径所对圆周角是否为直角”等思考问题导入，从定理到推论再到性质，构建“定理—推论—应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以问题链驱动探究，如“90°圆周角所对弦是否为直径”培养推理意识，结合证明矩形、求角度等例题发展几何直观与应用意识。小结系统归纳知识点，学生能提升逻辑推理和解决问题能力，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

3.4 课时2 圆周角 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. 圆周角定理 如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？ · O A C B 能不能直接运用圆周角定理解答？ 解：∵AB是直径，点O是圆心， ∴∠AOB=180°. ∵∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB= ∠AOB=90°. 圆周角定理的推论 A C B O 反过来，如图已知∠ACB=90°，弦AB经过圆心O吗？为什么？ 连结OA、OB. 由圆周角∠ACB=90°， 可得∠AOB＝180°， 即A、O、B在一条直线上. 所以若连接AB，则AB过圆心O. 直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理的推论 例1 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形． O A B C D 证明：∵ AC 是直径， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝90°（圆周角定理的推论）． 同理可得∠BAD＝∠BCD＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． 求证：四边形ABCD是矩形． 已知：如图，在⊙O中，AC，BD是直径， 连接 AB，BC，CD，DA． 1．利用三角尺可以确认图中的弦 AB 是圆的直径，为什么？ C A B 解：因为“90°的圆周角所对的弦是直径”，所以，由∠C＝90°，可知弦 AB 是圆的直径． 思考：你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ 利用上述方法，确定出圆的两条直径，交点即为圆心． 2．如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠DCB＝30°．求∠ABD的度数． A B C O D 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∵ ＝，∠DCB＝30°， ∴ ∠DAB＝∠DCB＝30°， ∴ ∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB ＝180°－90°－30° ＝60°． 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 想一想：如何证明你的猜想呢？ 证明：连接OB，OD． ∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α， 则∠A=，∠°， ∠A+=∠)=180°. ∠B+=180°. 归纳总结 性质：圆的内接四边形的对角互补. α β 例2 证明：圆的内接平行四边形是矩形． 已知：如图，▱ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：四边形ABCD是矩形． C O A B D 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C． ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°（圆内接四边形的性质）． ∴ ∠A＝∠C＝90°． 同理可得 ∠B＝∠D＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD 的数量关系． B A C D O 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠BAD＋∠BCD＝180°． ∵ ∠BAD＝∠BOD， ∴ ∠BOD＋∠BCD＝180°． 议一议：圆的内接菱形一定是正方形吗？圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？小组交流讨论，并说出你们最终的讨论结果，阐述理由. C O A B D C O A B D 圆的内接菱形一定是正方形,圆的内接梯形一定是等腰梯形． 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角（2） 1.如图，分别求出图中∠x的大小. 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. (2)连接BF， ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 60° x 30° 20° x A D B E C F 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，则∠ACB=90°. ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°. ∴∠BAD=∠DCB=30°. ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 3.如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． 解：如图，连接OD． 在Rt△ABC中， D C B A O ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵AB是直径， BC===8(cm). D C B A O 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， ∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD. ∴ ∠AOD=∠BOD. ∴∠ACD=∠BCD. AD=BD=AB=. 方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 4.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，∴AB垂直平分CD. ∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据． $