3.4 圆周角 第1课时 圆周角的概念与圆周角定理 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角的概念与定理，通过足球射门张角问题导入，观察图形特征对比圆心角，建立新旧知识联系，形成认知支架帮助学生理解新知。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过分类讨论圆心与圆周角位置关系，用转化思想推导定理发展推理能力。练习涵盖中考题与拓展应用，助力学生用数学语言表达关系提升应用意识，教师可依托此实现分层教学提高效率。

授课老师： 授课时间：202X.X 第3章　圆 3.4 圆周角 第1课时 圆周角的概念与圆周角定理 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 问题1：在足球比赛中，当运动员分别在圆上的A1，A2两处射门时，两个射门点对球门BC的张角∠BA1C和∠BA2C大小相同，如图1，这是为什么？ 2 导入新课 问题2：观察图2中的∠BA1C和∠BA2C，它们的顶点和边分别有什么特点？与之前学过的圆心角有什么区别？ 这些角的顶点在圆上，两边都与圆相交，与圆心角的顶点在圆心不同. 像∠BA1C和∠BA2C这样的角叫作圆周角. 3 任务一：认识圆周角 新知探究 问题1：结合刚才的观察，能给圆周角下一个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角. 问题2：判断下列图形中的角是不是圆周角？为什么？ 4 任务二：探究圆周角定理 新知探究 探究：如图，点A，B，C在一个以点O为圆心的圆形轨道上，其中点A可以运动，让动点A在上运动，圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么关系？ 5 新知探究 问题1：动点A在上运动，观察圆心O与圆周角∠BAC的位置关系，有几种不同的情况？ 有三种情况，分别为圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部(如下图). 6 新知探究 问题2：如图，当圆心O在圆周角∠BAC的边AC上时，圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么数量关系？ 因为OA＝OB，所以△AOB是等腰三角形，∠OAB＝∠OBA，再根据三角形的外角性质，得出∠BOC＝∠OAB＋∠OBA＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC. 7 新知探究 问题3：如图，当圆心O在圆周角∠BAC内部时，圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么数量关系？ 如图，作直径AD，将∠BAC分成∠BAD和∠CAD，此时圆心O在AD上，转化为上面的特殊情况，进而推导，∠BOD＝2∠BAD，∠COD＝2∠CAD，所以∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝2∠BAD＋2∠CAD＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC. 8 新知探究 问题4：如图，当圆心O在圆周角∠BAC外部时，仿照刚才的方法，能证明∠BAC＝∠BOC？ 如图，作直径AD，将∠BAC转化为∠BAD与∠CAD的差，推导得出∠BOD＝2∠BAD，∠COD＝2∠CAD，所以∠BOC＝∠BOD－∠COD＝2∠BAD－2∠CAD＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC. 9 新知探究 通过三种情况的证明，得到了圆周角和它所对弧上的圆心角之间的关系. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 因为圆心角的度数与它所对弧的度数相等，所以圆周角的度数也等于它所对弧的度数的一半.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 10 任务三：应用与巩固 新知探究 例 如图1，∠E的两边与⊙O分别相交于点A，B和点C，D，，的度数分别为150°，70°.求∠E的大小. 解 如图2，连接BD. ∵，的度数分别为150，70°， ∴∠ABD＝75°，∠BDC＝35°(圆周角定理). ∵∠ABD＝∠E＋∠BDC， ∴∠E＝∠ABD－∠BDC＝75°－35°＝40°. 11 新知探究 能把例题的结论推广到一般情形吗？ 若∠E是圆外角，两边分别交圆于点A，B和点D，C，所夹大弧为，小弧为，则∠E＝(的度数－的度数). 总结：顶点在圆外，角的两边和圆相交，这个角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半. 12 C 1. [湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．135° 课堂练习 13 2. B 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是(　　) A．105° B．110° C．115° D．120° 3. B 4. 48° 如图，在⊙O中，A是BC的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是________． ︵ 5. 90° [连云港中考]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________． 6. [无锡期中]如图，在⊙O中，弦AB＝BC＝CD，BA和CD的延长线交于点P，且∠P＝40°，求∠ACD的度数． 解：连接BD. ∵AB＝BC＝CD，∴AB＝BC＝CD. ∴∠CBD＝∠ACB＝∠BDC＝∠BAC＝ ∠P＋∠ACD＝40°＋∠ACD. 又∵∠CBD＋∠ACB＋∠ACD＋∠BDC＝180°， ∴3∠CBD＋∠ACD＝180°. ∴3(40°＋∠ACD)＋∠ACD＝180°，解得∠ACD＝15°. ︵ ︵ ︵ 7. B 如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且AB＝BC＝CD，点P在CD上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(　　) A．105° B．100° C．90° D．70° ︵ ︵ ︵ ︵ 8. D 如图，一弓形暗礁区所含的圆周角∠C＝65°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，船到两个灯塔A，B的张角∠ASB应满足的条件是(　　) A．∠ASB＞32.5° B．∠ASB＞65° C．∠ASB＜32.5° D．∠ASB＜65° 9. ABD ︵ ︵ 22 10. 30° 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE， 则∠BED的度数是________． 23 11. [无锡期中]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝4，点C在半径OA上，将△BOC沿BC所在直线翻折，点O的对称点D恰好落在AB上，再将AD沿CD所在直线翻折至A1D(点A1是点A的对称点)，那么OA1的长为________． ︵ ︵ ︵ 24 12. 证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°. ∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G.∴AC＝CG. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． (1)求证：AC＝CG； 25 解：连接OC，设⊙O的半径为r. ∵AC＝CG，CD⊥AB，CD＝EG＝8， ∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4.∴OE＝AE－OA＝8－r. 在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋EC2， 即r2＝(8－r)2＋42，解得r＝5. ∴⊙O的半径为5. (2)若CD＝EG＝8，求⊙O的半径． 26 13. 等边三角形 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)△ABC的形状是______________． 解：CP＝BP＋AP.证明如下： 在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图①. ∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形． ∴AD＝AP，∠ADP＝60°.∴∠ADC＝120°. 又∵∠APB＝∠APC＋∠CPB＝120°，∴∠ADC＝∠APB. (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 28 (3)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． ︵ 30 ︵ 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 圆周角的定义、圆周角定理. 2.在推导圆周角定理时，我们运用了哪些数学思想方法？ 分类讨论、转化. 3.运用圆周角定理解决问题的关键是什么？ 找到圆周角所对的弧或圆心角. 总结：圆周角定理是圆的重要性质，它建立了圆周角与圆心角、弧之间的联系，为解决几何问题提供了新的思路. 32 [常州期末]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝，∠C＝45°，则⊙O的半径OA的长为(　　) A． B．1 C． D．2 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是(　　) A．＝ B．AB＝OE C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形 4－4 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD. ∵CP＝CD＋PD，∴CP＝BP＋AP. 解：如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点C作CF⊥AB，垂足为点F. ∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF， S四边形APBC＝S△APB＋S△ABC，∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)． 当点P位于的中点时，点P，O，C在一条直线上，即PC为⊙O的直径，PE＋CF＝PC，此时四边形APBC的面积最大．由⊙O的半径为1，易得AB＝， ∴四边形APBC的最大面积＝×2×1×＝. $