3.5 点与圆、直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦点与圆、直线与圆的位置关系，核心涵盖直线与圆位置关系判定、切线的判定与性质定理及切线长定理。通过问题导入结合表格梳理位置关系，以“思考1”抽象切线判定条件，搭建从位置关系到切线性质再到切线长的递进式学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“过圆外一点作切线”引导动手对折猜测结论，培养几何直观与创新意识。通过表格对比定理条件结论，规范符号语言，例题总结“连半径证垂直”等辅助线策略，提升推理能力与应用意识，助力学生构建知识体系，便于教师高效教学。

课时3 点与圆、直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 图形 相 交 相 切 相 离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离 d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 思考1：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线 l 与⊙O有什么位置关系？ 即圆心O到直线 l的距离就是 ⊙O的半径. A l o ①距离为半径OA的长度 ②直线l与⊙O相切. 你能得到切线的又一个判定方法吗？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ OA为⊙O的半径，l⊥OA于A， ∴ l为⊙O的切线. 切线的判定定理： 符号语言: 温馨提示：“过半径的外端”“垂直于半径”缺一不可！ A l O 反过来，已知直线 l 是⊙O的切线，切点为 A， OA和直线 l 有什么位置关系？ O A l r 直线 l 与⊙O相切，则OA＝r，而A为圆心 O 到直线 l 的距离，所以 OA⊥l． 由此可得圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． O A l r ∵ 直线 l 与⊙O相切于点 A， ∴ OA⊥直线 l ． 符号语言： 定理类型 已知条件 推导结论 用途 判定定理 性质定理 半径＋垂直（过半径外端点） 该直线是圆的切线 证明“相切” 直线是圆的切线 半径⊥切线(过切点) 得到“直角” 圆的切线的判定定理和性质定理的条件和结论有什么不同？用途是什么？ 例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径， ∴ AB是⊙O的切线. 有交点，连半径，证垂直 例2 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙D 的切线． B C D A E 证明：如图，过D作DE ⊥AC于E. ∵∠ABC =90°，∴DB ⊥ AB. 又∵AD平分∠BAC，DE ⊥AC， ∴DE=DB=r. ∵DE ⊥AC， ∴AC 是⊙D 的切线. 无交点，作垂直，证半径 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AD 平分∠BAC，过点 D 的切线交AC 于点 E． 求证：DE⊥AC． ● O B A D C E 解：连接OD． ∵ DE是⊙O的切线，∴ DE⊥OD (圆的切线性质定理)， 即∠ODE＝90°． ∵ OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD． ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD． ∴ ∠ODA＝∠CAD． ∴ OD∥AC． ∴ ∠ODE＋∠AED＝180°． ∵∠ODE＝90°，∴ ∠AED＝90°． ∴ DE⊥AC． 见切线，连半径，得垂直 说一说： 1.判定切线有几种判定方法？ 2.证切线时常用的辅助线是什么？ 3.用切线时常用的辅助线是什么？ 本节课你有哪些收获？ 1.如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于(　　) A.50°　　　B.40°　　 C.60°　　D.70° 2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径， ∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠AD的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° P O D A B C C A 练一练 3.判断下列命题是否正确. (1)经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） (2)垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3)圆的切线垂直于过切点半径。 （ ） (4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (5)过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） × × √ √ √ 证明：如图，连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 4.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. O A B C E P 5.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO与⊙O交于B、C两点， ∠P＝30°，连接AO、AB、AC.求证：△ACB≌△APO. O A B P C 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP＝90°． 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°． 又OA＝OC，∴∠C＝60°÷2＝30° ∴∠C＝∠P．∴AC=AP． 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°=∠OAP． 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AC＝AP，∠C＝∠P, ∴△ACB≌△APO． 课时4 点与圆、直线与圆的位置关系 我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B P 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ B P O A 在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是☉O 的两条切线，A、B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？ （利用图形轴对称性解释） PA = PB，∠APO = ∠BPO. B P O A 我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，连接 OA，OB. ∵ PA，PB 与☉O 相切，点 A，B 是切点， ∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，即 ∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP (HL)， ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB. B P O A 下面我们来证明上述猜测是真的. 切线长定理: 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB 分别切☉O 于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB B P O A 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 证明：连接OD，OE． ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E， ∴ AD＝AE（切线长定理）， AB⊥OD，AC⊥OE． ∵ AB，AC是大圆的弦， ∴ AB＝2AD，AC＝2AE（垂径定理）． ∴ AB＝AC． 例1 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC． A B C D E O 图中，如果连接 DE，BC，那么 DE 与 BC 有怎样的位置关系和 数量关系？为什么？ A B C D E O 证明：由例1得D，E分别是AB，AC的中点． ∴ DE 是△ABC 的中位线． ∴ DE∥BC 且 DE＝BC (中位线定理)． B P O A C D E 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A，B，直线 OP 交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？ 解：① 整个图形是轴对称图形，直线OP是它的对称轴； ②切线的性质包含在图形中； ③ 连接两个切点何半径，可以得到两个等腰三角形， 体现“等腰三角形三线合一”的性质； ④ 射线PD平分∠APB，直线 PD垂直平分线段AB； ⑤ 体现“垂径定理”； ⑥ 连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角 三角形及其斜边上的高. 1．图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP． 2．图中相等的角： ∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE， ∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE． 3．图中所有的相等的线段： PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB． 4．图中所有的全等三角形： △AOP≌△BOP， △AOE≌△BOE， △AEP≌△BEP． 5．图中所有的等腰三角形：△ABP ， △AOB． B P O A C D E 1．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D． 已知 AB＝5，AC＝3．求 BD 的长． A B C D P ● O 解：∵ AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别 为P，C，D，AC＝3， ∴ AP＝AC＝3，BD＝BP（切线长定理）． ∵ AP ＋BP＝AB＝5， ∴ BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2． 切线长 切线长定理 作用 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 内容 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长. 1.如图， 为 外一点， ， 分别切 于点 ， .若 ，则 的长为( ) . B A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图， ， 是 的两条切线， ， 是 切点．若 ，则 的度数为 ． <m></m> 练一练 3.如图，已知 ， 分别切 于点 ， ， 连接 与 相交于点 ，连接 ， . 求证： . 证明： ， 是 的切线， ， . 又 ， ． . 4.如图，已知 ， 是 的切线，切点分别 是 ， ， ， ， 为 上 一点，过点 作 的切线，分别交 ， 于 点 ， . （1）求 的周长. 解： ， ， 是 的切线， ， ， 的周长 . （2）求 的度数． ， ， 是 的切线， ， ， ， ， ， . 又 ， . . $