广东省揭阳市榕城区2026-2027学年上学期九年级数学科目期中信息卷

**基本信息** 广东省揭阳市榕城区2026~2027学年九年级数学期中原创信息卷，以一元二次方程、相似三角形、四边形等核心知识为载体，融入杨辉数学文化、建党100周年游客增长等情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相似三角形性质、位似图形坐标、一元二次方程根的判别式|第5题结合杨辉《田亩比类乘除捷法》问题，渗透数学文化| |填空题|5/15|根与系数关系、中点四边形面积规律、积幻方|第15题“积幻方”设计，考查方程思想与创新思维| |解答题|10/75|方程求解、矩形证明、增长率应用、三角板旋转探究、“联络”函数新定义|24题三角板旋转综合实践，25题“联络”函数新定义，体现跨知识整合与创新应用|

广东省揭阳市榕城区2026~2027学年度第一学期初中九年 级数学科目期中原创信息卷 本试卷共10页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。 注意事项；1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 4．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 7．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 8．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 9．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论： ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根； ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根是1或； ④如果，是方程M的两个根，，是方程N的两个根，那么．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 12．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 13．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 14．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 15．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 三、解答题 16．解方程： 17．解方程：． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 21．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 22．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 23．2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 24．综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 25．若关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，则称函数与函数互为“联络”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”)； ①一次函数的“联络”函数为；________ ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上； ③关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点． (2)平面内有一点，将P点向左平移个单位长度，或者将P点向右平移k个单位长度，或者将P点向下平移个单位长度，平移后的三个对应点都在一次函数的“联络”函数的图象上，试求k和a的值； (3)若关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴交于不同两点A，B，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同两点C，D，记以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为S，其中实数．令求w的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 3．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 4．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 6．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长度，再在中利用勾股定理求出，最后根据对角线互相平分得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（   ）． A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 是斜边上的中线， ． 8．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 9．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中点四边形、利用菱形的性质求面积、根据矩形的性质求面积、图形类规律探索 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可。 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ∴， ∴， 当时， ． 10．有两个一元二次方程，，其中，下列四个结论： ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根； ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根是1或； ④如果，是方程M的两个根，，是方程N的两个根，那么．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，逐个验证四个结论即可得到答案. 【详解】① 对于方程，判别式，若有两个相等的实数根，则，方程的判别式，因此也有两个相等的实数根，①正确； ② 设是的一个根，则， ， ，两边同除以得，即是的根，与互为倒数，因此②正确； ③ 设相同根为，则，整理得，当时，两个方程完全相同，所有根都相同，存在相同根不是或，因此③错误； ④ 根据一元二次方程根与系数的关系，方程中，方程中，因此，④正确； 综上，①②④正确. 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 12．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 13．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 14．如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积 【分析】根据矩形的性质得到，，，利用证明，将转化为，最后得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 三、解答题 16．解方程： 【答案】 ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： ，或， 解得：， ． 17．解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 19．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、因式分解法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【分析】（1）由可知，把中的x换成成立，则可求得答案； （2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b的值，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程必有一根为； （2）解：，，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 21．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 22．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）由矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴. 23．2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 【答案】(1)20% (2)依题意：． ∵， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设这两个小时参观人数的平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）． 答：平均增长率为． （2）略 24．综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 【答案】(1) ①；②，理由如下： 解：如图2，作于，作于， ， 由①知，，四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ③ (2)75；50 【知识点】二次根式的乘法、垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）①作于，作于，证明，因此； ②作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； ③作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； （2）结合②以及已知条件写出关于的表达式，根据位置关系判断最值． 【详解】（1）①证明：如图1， 作于，作于， ， ，， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， ； ②略； ③如图2，作于，作于， 由②知，，， ， ， ． （2）解：存在最大值或最小值，理由如下： 且， ， 由②知，， ， 当时，最小， 此时，， ， 当最大时，即， 即时，． 25．若关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，则称函数与函数互为“联络”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”)； ①一次函数的“联络”函数为；________ ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上； ③关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点． (2)平面内有一点，将P点向左平移个单位长度，或者将P点向右平移k个单位长度，或者将P点向下平移个单位长度，平移后的三个对应点都在一次函数的“联络”函数的图象上，试求k和a的值； (3)若关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴交于不同两点A，B，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同两点C，D，记以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为S，其中实数．令求w的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）已知一次函数，则可求得其“联络”函数，根据相关知识即可判断各说法； （2）先求出点P平移后的点的坐标；再求出函数，由抛物线的对称性质求得k的值，进而求得a的值； （3）求出函数，它与x轴的两个交点，再设，求出，根据，利用二次函数的知识即可求解． 【详解】（1）解：关于x的一次函数与二次函数同时满足 ， 则， ∴， ∴，； ①一次函数的“联络”函数为，故说法错误； ②一次函数的“联络”函数， ∵，其顶点为， ∴， ∴顶点在反比例函数的图象上，故说法正确； ③关于x的一次函数的“联络”函数， 当， ， ∴的图象与x轴一定会有公共点，故说法正确． （2）解：将P点向左平移个单位长度得到点；或者将P点向右平移k个单位长度得到点，或者将P点向下平移个单位长度得到点； 由（1）知，一次函数的“联络”函数，且点在函数的图象上，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴， 解得， ∴，； 将上述两点代入得，解得； 即，； （3）解：由（1）知，一次函数的“联络”函数为， 令， 解得， ∴与x轴的两个交点坐标分别为， ∵， ∴， ∴， 设函数与的两个交点为， 令， 整理得， 由题意知，是上述方程的两个不同的解， ∴， ∵， ∴， ∴， 即异号， ∴两点中有一点位于的上方，另一点则位于的下方， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 令，则， ∵， ∴， 对于函数，当时，y随t的增大而增大， 当时，；当时， ∴当时，， ∴． $