精品解析：宁夏回族自治区银川市第二中学2025-2026学年第二学期高三考前自测数学试题

银川二中2025-2026学年第二学期高三年级模拟三试题 数学 注意事项： 1.本试卷共19小题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 5. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 已知，则下列结论中正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 10. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 11. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与x轴交于点P，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则的面积为9 D. 若，则的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 13. 设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 14. 正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 16. 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 17. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：存在轴上的一点，使得为定值. 18. 如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2025-2026学年第二学期高三年级模拟三试题 数学 注意事项： 1.本试卷共19小题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以将代入分别得， 则满足， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 4. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 5. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：，  根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 7. 已知，则下列结论中正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解.对于①，令即可求解；对于②，令即可求解；对于③，令，与时的式子作差即可求解；对于④，令，结合①即可求解. 【详解】令，得，故①正确； 令，得（i），故②错误； 令，得（ii）， 由（i）-（ii）化简得，故③正确； 令，得， 则， 得，故④正确. 8. 椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义得，再结合成等比数列得，再用坐标表示焦半径并结合可得. 【详解】设椭圆半焦距为，，左右焦点. 由椭圆的定义得：，因为成等比数列， 故，即，得： . 对两边平方：代入 整理得：①，由，得. 所以②， 联立①②得：，，即，因此，. 所以椭圆的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得 ， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由 ，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由 ，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D. 【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时，，当，， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时，， 当，，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与x轴交于点P，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则的面积为9 D. 若，则的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，得到一个一元二次方程，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解A即可；根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、反比例型函数的单调性进行求解B即可，根据点到直线距离公式、三角形面积公式，平面向量垂直的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系以及抛物线的对称性进行求解C即可；根据抛物线的定义，结合C的结论进行求解D即可. 【详解】对于A，在中，令，得，所以点P坐标为. 由， 由题意可得，或， 设，则有， ，所以本选项不正确； 对于B，抛物线关于横轴对称，且直线过定点， 不妨设A，B两点在第一象限内，此时， 而， ， 因为，所以， 可得， 即， 则的取值范围为，所以本选项说法正确； 对于C，当时，， 则有 ， 抛物线关于横轴对称，不妨设A，B两点在第一象限内， 且，此时，所以有 而， 点到直线的距离为， 所以的面积为 ，所以本选项正确； 对于D，由弦长公式得 ， 且 ， 所以的周长为，因此本选项说法正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 13. 设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得. 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 14. 正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形求出外接球的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. （1）求智能语音客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析，3， 【解析】 【分析】（1）设出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求解即可. （2）结合题意得到，再求出对应取值的概率，进而得到分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 16. 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换可先将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得； （2）由正弦函数性质可得所有的正零点，则可得数列的奇数项及偶数项的通项公式，再利用等差数列求和公式分组计算即可得. 【小问1详解】 因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以， 所以， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，令，得， 所以或，， 即或，， 所以所有的正零点为或，， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 17. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【小问1详解】 解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 18. 如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，所以三角形是直角三角形，且； 【小问2详解】 当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】（1）答案见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有 ，即 ，此时 ， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $