14.3 角的平分线（第2课时 角平分线的判定） 课时同步练习- 2026‑2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练通过基础、中档、提高三层设计，以“概念理解→性质应用→综合证明”路径巩固角平分线判定，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角平分线判定、距离相等点性质|直接应用定理（如选择1-3判断距离相等点）| |中档|内角和、外角平分线综合|两步推理（如填空12直尺摆放求角度）| |提高|全等、四边形跨章节综合|多步证明（如解答23纠错与复杂推理）|

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时 角平分线的判定 1、 选择题 1．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 2．如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 【答案】B． 【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，然后根据三角形内角和定理解决问题． 【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上． 5．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 6．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 7．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识．由角平分线的定义，即三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义和平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可判定④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为、、， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，②③④正确； 故选：A． 2、 填空题 9.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°， 则∠PCA= ． 【答案】55°． 【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°，由外角可求解． 【详解】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵PA=PB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°， ∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键． 10．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有 处． 【答案】4． 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到△ABC的三边的距离相等， ∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 11．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 12．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 【详解】解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点， 则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 【答案】18 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 14.如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论： ①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 　 　（填序号）． 【答案】②③④． 【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G， ∵点O是△ABC的两外角平分线的交点， ∴OE＝OG，OF＝OG， ∴OE＝OF＝OG， ∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确， 只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误， 综上所述，结论正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键． 3、 解答题 15．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 16．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 17．已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 18．如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 19．已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明结论即可； （2）作于，作于．由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）如图，作于，作于． 由， ，， ， ， 点在平分线上， 平分，即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型． 20．如图，已知∠B=∠C，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证： (1)AD是∠BAC的平分线； (2)AE=AF． 【答案】(1) 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在△BDE与△CDF中， ∠B=∠C，BE=CF，∠DEB=∠DFC， ∴△BDE≌△CDF(ASA)， ∴BD=CD， ∴AD是的中线， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC， ∴AD是∠BAC的平分线； (2) 证明：∵∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵BE=CF， ∴AB-BE=AC-CF，即AE=AF． 【分析】（1）首先证明△BDE≌△CDF，即可证明BD=CD，在借助等腰三角形的性质“三线合一”即可证明AD是∠BAC的平分线； （2）由∠B=∠C可知AB=AC，再由AB-BE=AC-CF，即可证明AE=AF． 【详解】（1）略． （2）略． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 22．老师在黑板上出了这样一道练习题：如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分．小明的证明过程如下： 证明：，， ． ． ， ．…第1步 在和中，，…第2步 ． ． 平分．…第3步 (1)小明的证明过程中，第______步出现错误； (2)请完整地写出正确的证明过程． 【答案】(1)2 (2)正确的证明过程如下： ，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ，，与相交于点， 平分． 【分析】（1）由题中证明两个三角形全等的判定定理验证即可； （2）先由题中条件得到相关角度相等，进而由两个三角形全等的判定定理证得，最后由角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：∵没有“边边角”这种判定方法， ∴小明的证明过程中，第步出现错误； （2）略 23．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； (3)4 【分析】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时 角平分线的判定 1、 选择题 1．下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A．B．C．D． 2．如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．60° C．45° D．70° 5．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 6．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 2、 填空题 9.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°， 则∠PCA= ． 10．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有 处． 11．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 12．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 13．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 14.如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论： ①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 　 　（填序号）． 3、 解答题 15．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 16．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 17．已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 18．如图，平分，平分，求证：平分． 19．已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 20．如图，已知∠B=∠C，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证： (1)AD是∠BAC的平分线； (2)AE=AF． 21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； 22．老师在黑板上出了这样一道练习题：如图，点，分别在线段，上，，，，相交于点，，连接．求证：平分．小明的证明过程如下： 证明：，， ． ． ， ．…第1步 在和中，，…第2步 ． ． 平分．…第3步 (1)小明的证明过程中，第______步出现错误； (2)请完整地写出正确的证明过程． 23．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $