14.3 角的平分线（第1课时 角平分线的性质）课时同步练习2026‑2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦角平分线性质，分层设计从基础应用到综合证明，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角平分线性质直接应用|选择1-3题考查点到两边距离，填空11题结合三角形面积，强化概念理解| |中档|性质与面积、作图综合|选择4-7题涉及角平分线作图与面积计算，填空12-13题融合中线等知识，发展空间观念| |提升|多知识点综合证明|解答21-24题需结合全等、中线等进行逻辑推理，如23题证角度关系，培养推理能力与模型意识|

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 1、 选择题 1．如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 4．如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，且，， ∴． 5．如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为， ∴ 即， 解得：． 6．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图，先根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式得到•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC，即10×OD6×OD8×OD6×8，然后解方程求出OD即可． 【详解】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图， ∵点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC， ∴•AB•ODAC•OEBC•OFAC•BC， 即10×OD6×OD8×OD6×8， 解得OD＝2， 即点O到边AB的距离为2cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 8．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可． 【详解】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点， ∴点O到AB、BC、AC的距离相等， ∵O到边AC的距离为4， ∴O到边AB、BC的距离都为4， ∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36， ∴AB+AC+BC＝18， 即△ABC的周长为18． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 10．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2、 填空题 11．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为________． 【答案】15 【分析】过D作于K，利用角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过D作于K， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积为． 12．如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【答案】 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为， 13．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使．连接BE，若AC＝2BC，△BDE的面积为2，则△ABC的面积是 　 ． 【答案】12． 【分析】由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解． 【详解】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H， ∵DECD，△BDE的面积为2， ∴S△BCD＝2S△BDE＝4， ∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC， ∴DG＝DH， ∵AC＝2BC，，， ∴S△ACD＝2S△BCD， ∴S△ACD＝8， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝8+4＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 14．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 【答案】7.5． 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G， ∵AD是角平分线， ∴DF＝DG， 设DF＝DG＝h， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC， ∴24AB•DFAC•DG， ∴5h+3h＝48， 解得h＝6， ∴S△ABD5×6＝15， ∵BE是△ABD中的中线， ∴S△ABE＝S△BDES△ABD＝7.5． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 16．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据给出条件，无法得出，故②错误； ③∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴，故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确选项为①③④． 3、 解答题 17．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【答案】证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴． 【分析】先证明，得出，说明平分，根据角平分线性质得出即可． 【详解】略 18．如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 【答案】 【分析】过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 20．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F （1）求证：PE=PF； （2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数. 【答案】 （1）证明：作PD⊥BC于点D， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PD=PE，PD=PF， ∴PE=PF； （2）30°. 【分析】（1）作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质知PD=PE，PD=PF，从而证明PE=PF即可； （2）∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则AP平分∠BAC，即可求出∠EAP的度数. 【详解】（1）略 （2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P， ∴AP平分∠BAC， ∵∠BAC=60°， ∴∠EAP=30°. 【点睛】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键. 22．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF． （1）求证：∠DPF＝∠EPF； （2）比较DF与EF的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）DF＝EF． 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE，利用“HL”证明Rt△OPD和Rt△OPE全等即可解决问题； （2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝OE，再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE， 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）， ∴∠OPD＝∠OPE， ∴∠DPF＝∠EPF， （2）结论：DF＝EF． 理由：∵Rt△OPD≌Rt△OPE（HL） ∴OD＝OE， 在△ODF和△OEF中， ， ∴△ODF≌△OEF（SAS）， ∴DF＝EF． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于二次证明三角形全等． 23．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC． （1）求证：∠PCB+∠BAP＝180°． （2）写出BA+BC与BF之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）2BF＝AB+BC 【分析】（1）过点P作PE⊥BA于E，由角平分线的性质可得PE＝PF，由“HL”可证Rt△PEA≌Rt△PFC，可得∠PAE＝∠PCB，即可得结论； （2）由Rt△PAE≌Rt△PCF可得出AE＝CF，结合PB＝PB即可证出Rt△PBE≌Rt△PBF，进而得出BE＝BF，再根据边与边之间的关系即可得出2BF＝AB+AC． 【解答】解：（1）作PE⊥BA于E， ∵∠1＝∠2，PF⊥BC， ∴PE＝PF， 在Rt△APE和Rt△CPF中， AP＝PC，PE＝PF， ∴Rt△APE≌Rt△CPF（HL）， ∴∠EAP＝∠PCF， ∵∠EAP+∠BAP＝180°， ∴∠PCF+∠BAP＝180°， ∴∠PCB+∠BAP＝180°， （2）∵∠1＝∠2，BP＝BP，∠BEP＝∠BFP， ∴△BPE≌△BPF（AAS）， ∴BF＝BE， ∴BF＝BE， ＝AB+AE ＝AB+FC ＝AB+BC﹣BF， ∴2BF＝AB+BC， 【点评】本题考查了全等三角形的判定于性质、角平分线的性质以及邻补角，解题的关键是：（1）利用HL证明Rt△PAE≌Rt△PCF；（2）利用HL证明Rt△PBE≌Rt△PBF． 24．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 1、 选择题 1．如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 3．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 8．如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 2、 填空题 11．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为________． 12．如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 13．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，延长CD至点E，使．连接BE，若AC＝2BC，△BDE的面积为2，则△ABC的面积是 　 ． 14．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 15．如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 16．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 3、 解答题 17．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 18．如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 19．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 20．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F （1）求证：PE=PF； （2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数. 22．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF． （1）求证：∠DPF＝∠EPF； （2）比较DF与EF的大小关系，并说明理由． 23．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC． （1）求证：∠PCB+∠BAP＝180°． （2）写出BA+BC与BF之间的等量关系，并说明理由． 24．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $