精品解析：江西九江市浔阳区九江外国语学校2026-2027学年度上学期第一次综合练习 九年级数学

九江外国语学校2026-2027学年度上学期第一次综合练习 九年级数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程， 选项A：含未知数x和y，不符合①； 选项B：方程 中未知数次数为1，不符合②； 选项C：化简 ，得 ，即 ，满足①②③； 选项D：方程 为分式方程，不符合③， 故选：C． 2. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握菱形和矩形性质的相同点和不同点是解题的关键． 根据菱形和矩形的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意； C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故选项符合题意； D. 邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意； 故选：． 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 5. 如图，点是边延长线上一点，连接，，，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质根据，，结合，得出，根据一组对边平行且相等，即可判断A，平行四边形的性质得到，，可得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故不符合题意；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形为平行四边形，故不符合题意，由不能得出四边形为平行四边形 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 若， ∴ ∴四边形为平行四边形，故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故C不符合题意； 由，不能判断为平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：． 故答案为：． 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；根据一元二次方程有实数根的条件，需判别式且二次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 9. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5）， ∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6， 即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3． 故答案为：x＞3 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10. 糖糖用如图①中的一副七巧板拼成如图②所示的“花束图”，若正方形的边长为，则图②中花束的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】花束高看作三条线段之和，这三段相当于图①中的，求出即得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ， ∴， 如图花束高分为三部分，为等腰直角三角形的直角边， 为等腰直角三角形的直角边，为等腰直角三角形斜边上的高， ∴花束高 ． 11. 如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形的性质证明，得出，结合菱形的性质得出，从而将转化为，根据两点之间线段最短可知当，，三点共线时和最小，即为对角线的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，此时点与点重合，， ∵， ∴，即点与点重合，符合题意； 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 12. 在中，，，点在上，．若点是边上异于点的另一个点，且，则的值为______． 【答案】24或36或 【解析】 【分析】情况1：连接EP交AC于点H，依据先证明是菱形，再根据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据EP=2EH=2sin60°•EC求解即可． 情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2．此时，=24 情况3：如图2：过点P′作P′F⊥BC．通过解直角三角形可以解得FC ，EF，再在Rt△P′EF中，利用勾股定理可以求得. 【详解】解：情况1：如图所示：连接EP交AC于点H． ∵在中， ∴是菱形 ∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°． 在△ECH和△PCH中 ， ∴△ECH≌△PCH． ∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH． ∴EP=2EH=2sin60°•EC=2××2=6． ∴=36 情况2：如图2所示：△ECP为等腰直角三角形，则=EC=2． ∴=24 情况3：如图2：过点P′作P′F⊥BC． ∵P′C=2，BC=4，∠B=60°， ∴P′C⊥AB． ∴∠BCP′=30°． ∴FC=×2=3，P′F=，EF=2-3． ∴=， 故答案为24或36或． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，是综合性题目，难度较大． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴ 或 ， 解得，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 展开整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 14. 解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取公共部分得到不等式组解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解不等式①：， ， ， ； 解不等式②：， ， ， ， ， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示：在数轴上，在处画空心圆圈，在处画实心圆点，连接两点之间的线段． 15. 已知：是的角平分线，，垂足分别是，，求证：． 【答案】 证明：∵是的角平分线，， ， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由角平分线的性质定理得出，证明，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 16. 如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形； （2）在图（2）中，以为边作． 【答案】（1） 在图1中，延长DC和AE交于点F，即为所作． （2） 在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为所作． 【解析】 【分析】（1）延长DC和AE交于点F，即为一个以AD为腰的等腰三角形； （2）连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图．涉及平行四边形的性质和判定，以及等腰三角形的性质和判定． 17. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：在方程中， ，，. . ∵ 无论取何值，， ∴ . ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； （2） 的周长为． 【解析】 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得：   解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． 19. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 【答案】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB=AD，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF， ∴∠EAG=∠FAG， ∵FG∥AE， ∴∠EAG=∠FGA， ∴∠FAG=∠FGA， ∴FG=AF=AE， ∵FG∥AE， ∴四边形AEGF是平行四边形， 又∵AF=AE， ∴四边形AEGF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠B+∠BAD=180°， ∵∠B=∠BAE=30°， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠BAD=180°-∠B=150°， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°， ∵四边形AEGF是菱形， ∴四边形AEGF是正方形． 【解析】 【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG=∠FGA，从而得到FG=AF=AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形，进而得到其为菱形； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF=90°，由正方形的判定可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球，用于学校球类训练比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的倍少元；用元购买篮球和用元购买足球的个数相同． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）每个足球元，每个篮球元 （2）最多购进篮球个 【解析】 【分析】（1）设每个足球元，每个篮球元， 根据题意列出分式方程，解方程即可求解． （2）设买篮球个，则买足球个， 根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每个足球元，每个篮球元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是方程的根 答：每个足球元，每个篮球元 【小问2详解】 解：设买篮球个，则买足球个， 由题意得：， 解得． 为正整数， ∴ 答：最多购进篮球个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式与方程是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． （1）如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； （2）在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； （3）如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）168 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； 【小问3详解】 如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】（1）弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； 【小问2详解】 解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）证明：如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形和折叠的性质可得，则可证明得到，据此可得； （2）由折叠和全等三角形的性质得到，则可求出，由折叠的性质可得； （3）可证明，由折叠的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，即可证明； （4）如图所示，延长到Q，使得，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，由勾股定理可得，则． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠的性质可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得； （3）略 （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江外国语学校2026-2027学年度上学期第一次综合练习 九年级数学 考试时间：120分钟满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 2. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 4. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是边延长线上一点，连接，，，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 9. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 10. 糖糖用如图①中的一副七巧板拼成如图②所示的“花束图”，若正方形的边长为，则图②中花束的高为________． 11. 如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 12. 在中，，，点在上，．若点是边上异于点的另一个点，且，则的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）解一元二次方程：； （2）解分式方程：． 14. 解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来． 15. 已知：是的角平分线，，垂足分别是，，求证：． 16. 如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形； （2）在图（2）中，以为边作． 17. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球，用于学校球类训练比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的倍少元；用元购买篮球和用元购买足球的个数相同． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． （1）如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； （2）在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； （3）如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 22. 【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． （2）当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $