精品解析：广东深圳市罗湖区翠园东晓中学2026-2027学年第一学期九年级开学考数学试卷

翠园东晓中学2026－2027学年度上学期开学质量检测（2026.9） 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，除文字以外，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是【 】 A. B. C. D. 3. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（ ） A. 红花、绿花种植面积一定相等 B. 橙花、紫花种植面积一定相等 C. 红花、蓝花种植面积一定相等 D. 蓝花、黄花种植面积一定相等 6. 某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为 A. B. C. D. 7. 把一副三角板如图①放置，其中，斜边，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式： _____________ 10. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和7，则的长为______．  11. 翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 12. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为___________ 13. 如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_______________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解． 15. 习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为， 第一步 所以，即， 第二步 所以方程没有实数根． 第三步 琪琪的解法是：原方程可化为， 第一步 两边都除以，得． 第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 16. 如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． （1）画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； （2）画出将绕点逆时针旋转后的； （3）在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 17. 如图，在钝角中，为钝角，D为上一点，且． （1）请用尺规作图在边上求作一点P，使得点P到的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的面积． 18. 随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．深圳市某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． （1）每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 19. 综合与实践 如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成．某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式，并将其命名为“弦图不等式” （1）以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为a、b， ①大正方形的面积可表示为___________，四个直角三角形的面积和可表示为_________（用含有a和b的字母表示）； ②如图1，当时，则大正方形的面积______四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ③如图2，当时，则大正方形的面积______四个直角三角形面积和（填“”、“”或“”）； ④综上所述，可得到“弦图不等式”． （2）若时，请利用“弦图不等式”，求代数式：的最小值，并求出此时x的值； （3）为保障2026年深圳会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区．如图3，停放区面积为（即长方形的面积），其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则三条边的和的最小值是多少？若一辆纪念款单车长度为，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内． 20. 定义：有一组对角互补的凸四边形称为对补四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对补线． （1）下列三种图形中：①平行四边形，②矩形，③正方形．一定是对补四边形的有________（填写序号）： （2）如图，在凸四边形中，，当时，判断四边形是否为对补四边形，证明你的结论； （3）在中，，以为斜边作等腰，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 翠园东晓中学2026一2027学年度上学期开学质量检测(2026.9) 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是 正确的) 1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，除文字以外，其中是中心对称图形的是( 国低 A OH-CARRON 【答案】B 【解析】 【详解】A,不是中心对称图形： B,是中心对称图形： C,不是中心对称图形： D,不是中心对称图形. 2.不等式2x<10的解集在数轴上表示正确的是【】 0 0 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画；<，≤向左画，在表示解集时“之”，“S要用实 心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示. 【详解】解2x<10得x<5 因此不等式x<5在数轴上表示正确的是D 故选D 第1页/共27页 命学科网命组卷网 3.方程(x-5)=4红-10化为一元二次方程的一般形式是（) A.x-9x+10=0 B.2-x+10=0C￥2+9x-10=0 D.x2-x-10=0 【答案】A 【解析】 【详解】解：x(x-5)=4x-10 :r-5x=4x-10 ,x2-5x-4x+10=0 ,x2-9x+10=0 4.如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图.若 ∠1=125°，∠2=70° ∠3 则的度数为() 人3 图1 图2 A.45o C50 D700 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角性质求解： 【详解】解：由三角形外角性质可得∠1=∠2+∠3， .∠1=125°，∠2=70° .∠3=∠1-∠2=125°-70°=55° 第2页/共27页 6学科网命组卷网 5.某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. AB∥EF∥DC BCIGH I AD 如果有 ,那么下列说法中错误的是() E D 紫 绿 G H 黄 蓝 橙 B A.红花、绿花种植面积一定相等 B.橙花、紫花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得GH,EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，再结合平行四边形的性质解 答即可， 【详解】解：：AB/BF∥DC BCIGHI4D :.GH,EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， ,·一条对角线把一个平行四边形的面积平均分成两部分， :S=Sg,S黄=S发，S0装搬=S蓝橙红，枚ADE确， :S紫=S,故B正确， 红花、蓝花种植面积不一定相等，故C错误. 6.某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也 加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车 间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为 2300,2300 =33 2300.2300 =33 A.X 1.3x B.xx+1.3x 第3页/共27页 6学科网命组卷网 2300.4600 4600.2300 =33 =33 C.X x+1.3x D.xx+1.3x 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为设甲车间每天能加工x个，所以乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系： 甲乙两车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天，根据等量关系可列出方程： 2300,2300 =33 XX+1.3x.故选B. ∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6,CD=8 7.把一副三角板如图①放置，其中 ，斜边 把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D,CE(如图②)，此时AB与CD交于点O,则线段MD 的长度为( D A ☑ B E ① ② 4.2V万 B.5 C.34 D.V38 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查图形旋转的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理.先分析两块三角板的角 度关系，根据等腰直角三角形的特点，利用勾股定理求出直角边AC的长，再根据旋转的性质，计算三角 板DCE绕点C旋转后∠1CD的大小，由此判定AB与CD互相墨直，△10C为等股直角三角形，接者 第4页/共27页 6学科网命组卷网 0,C0的长度，从而求 OD的长，最后在 AOD 利用勾股定理求出1 中利用勾股定理求 AD的长· 【详解】解：△ACB为等腰直角三角形， .∠ACB=90°∠A=45°AC=BC AB2=AC2+BC2=62 由勾股定理， .2AC2=36 .AC=BC=32 .∠DEC=90°∠D=30° .∠DCE=60° ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCE=90°-60°=30° ∠BCE=15°CD=CD=8 由旋转性质可知， ∴.∠ACD=∠ACD+∠BCE=30°+15°=45° .∠CAO=45° ∴.∠A0C=180°-∠CA0-∠ACD=180°-45°-45°=90° .∴△AOC 为等腰直角三角形， ..AO=CO 由勾股定理，AC2=A02+C02=32 .2A02=18 第5页/共27页 6学科网6组卷网 .A0=C0=3 ∴.OD=CD-C0=8-3=5 :在RtaA0D,中，AD=√AO2+0D=V32+5=V34 8.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：(x-5)=14的方程的一个正数解，方法为：如图 1,将四个长为x,宽为(x-5)的长方形纸片（面积均为14拼成一个大正方形ABCD,得到大正方形的 面积为：14×4+25=81，边长AB=9,可依据4AB=x+(x-5)=9求得x=7是方程x-5)=14的 一个正数解.小明按此方法解关于x的方程(x-m)=>0)时，构造出类似的图形，如图2，已知正 方形EGH的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为() A E F G m H H B A.x=V2+2V5 B.x=2+10 Cx=4+10 D.x=5/2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出HE2=r+(x-m=24,m2=8,求出n=8,得出大正方形的面积为 4×8+8=40,即可得出边长为40=210，根据4B=x+(-22)-2W而，求出x的值即可 【详解]解：关于x的方程(x-m）=n(>0）,则AH=x,AE=x-m, :HE2=x+(-m=24,m=8, 第6页/共27页 命学科网命组卷网 .r+2-2mx+8=2x2-2mx+8=24m=V8=2V2 (负值舍去)， 即x(x-m)=8 则n=8, ∴原方程为 xx-2v2)=8 ∴大正方形的面积为4×8+8=40， 边长为V40=210 .AB=x+(x-2V2)=210 :x=V2+V0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） m2-16m= 9.分解因式： 【答案】 m(m-16) 【解析】 【分析】观察原式，两项含有公因式m,提取公因式即可完成分解. 【详解)解：m-l6m=m(m-16) 10.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A,C对应的刻度（单位：Cm)分别为1和7，则BD 的长为Cm 第7页/共27页 6学科网6组卷网 T妙心本T 0 2 4567 8 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等可得BD=AC,利用刻度尺上A、C两点的读数差求出AC的长，即可 得出BD的长. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .BD=AC, ,顶点A,C对应的刻度分别为1和7， .AC=7-1=6, .BD=6 11.翠园东晓中学旧改工程顺利完成.举行竣工典礼时，在高5m,长13m的一段台阶面上铺上地毯，台 阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要 m 13m 【答案】 17 【解析】 【分析】将台阶的竖直部分平移至左侧，水平部分平移至下方，可知地毯的总长度等于直角三角形两直角 边之和；已知斜边和一条直角边，利用勾股定理求出另一条直角边即可求解； 第8页/共27页 命学科网命组卷网 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为m, 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为13m,一条直角边（高度）长为5m, 根据勾股定理得：x=V132-52=V169-25=V44=12 2m 台阶水平方向的总长度为 ,地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为 +12=17(m) 12.如图，函数 y=2x y=ax+4 A(m,3 和 的图象相交于点 ,则不等式2x<m+4 的解集为 3 x< 【答案】 2 【解析】 【分析】先将点A的坐标代入正比例函数解析式求出m的值，确定交点的横坐标，再根据函数图象的位置 关系，找出直线"=2x在直线y=+4 下方时对应的的取值范围. 【详解】解：“函数y=2x的图象过点A(m,3) .2m=3, 、 m= 解得2， 3 .点A的横坐标为2， 第9页/共27页 6学科网 命组卷网 3 x<- 由图象可知，当2时，函数y=2x的图象在函数y=心+4的图象下方， 3 x< ∴.不等式2x<ax+4的解集为2. 13.如图，在矩形 ABCD AB=4BC=5,压是边B B 中， C上一动点，F是对角线BD上一动点，且 BE=DF DE+CF ,则 的最小值为 D B E 【答案】 v57 【解析】 【分析】延长DA到G,使DG=DB,连接FG,CG,证明ADGF≌aBDE(SAS).得出FG=DE】 DE+CF=FG+CF FG+CF CG ,根据两点之间线段最短，得出当G、F、C共线时， 最小，最小值为 根据勾股定理求出最小值即可， 【详解】解：延长DA到G,使DG=DB,连接FG,CG,如图所示： G-1 B E ,四边形ABCD为矩形， ,AD‖BCAD=BC=5DC=AB=4∠BAD=∠GDC=90° 第10页/共27页 6学科网列组卷网 .∠GDF=∠DBE. .DF=BE,DG=BD. :.△DGF≌ABDE(SAS) :FG=DE, .DE+CF=FG+CF, ∴当G、RC共线时，FG+CF最小，最小值为CG, ∴.DE+CF最小值为CG, .∠BAD=90°， :BD=VAB2+AD2=V42+52=V41 在RtGDC中，GD=BD=V④1，∠GDC=90 GC=GD+CD(41)+57 :DE+CF最小值为V57 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1-2x<3(x+2) 14.解不等式组 5+2x≥x-】,把解集在数轴上表示出来并写出满足条件的的所有整数解。 -5-4-3-2-1012345→ 【答案】-1<x≤2， 将解集表示在数轴上如下图： 第11页/共27页 6学科网列组卷网 -5-4-3-2-1012345→ 满足条件的x的所有整数解为0,1,2 【解析】 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在 数轴上表示不等式组的解集，再找到所有整数解即可. 【详解】解：解不等式 1-2x<3(x+2) 去括号，得：1-2x<3x+6」 移项，合并同类项，得：-5x<5, 系数化为1，得：x>-1, 5+2x2x- 1 解不等式5 5, 去分母，得：5+2x≥5x-1, 移项，合并同类项，得：-3x≥-6， 系数化为1，得：x≤2， -1<x≤2 “原不等式组的解集是 将解集表示在数轴上略， ·“满足条件的”的所有整数解为 ,l,2 15习恩课上，老师给了-一道方程：父-5x=x-5 嘉嘉的解法是：原方程可化为t-5x+x=5 ，第一步 所以x-4x+4=-5+4,即+2=-1 第二步 第12页/供27页 6学科网命组卷网 所以方程没有实数根。 第三步 x(x-5)=x-5 琪琪的解法是：原方程可化为 第一步 (x-5) 两边都除以 得x=1 第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误： (2)写出方程正确的解题过程. 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误：琪琪的解法从第二步开始错误. (2)解：嘉嘉的解法： x2-5x=x-5 “原方程可化为r-5x-x=-5 .x2-6x+9=-5+9 (x-3)2=4 .x-3=±2 .x=5x2=1 琪琪的解法： x2-5x=x-5 .x(x-5)=x-5 ∴.x(x-5)-（x-5)=0 :(x-5)(x-1)=0 .x=5x2=1 【解析】 【分析】(1)根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误. (2)嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程. 第13页/供27页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 解：·嘉嘉在解方程移项时，未知数x的符号没有变， ·嘉嘉的解法从第一步就错了， ,琪琪两边都除以了一个带未知数x的整式， 琪琪的第二步解法是错误的. 【小问2详解】 略 16如图，在40AB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3，） (1)画出将△0AB向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的 △04B (2)画出将△0AB绕点0逆时针旋转90后的△04，B, (3)在平面内有一点D,当以O,4,B,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐标： 【答案】(1)如图所示， △O,AB即为所求： 第14页/供27页 6学科网命组卷网 V (2)如图所示， 即为所求： B △OAB2 (3)点的坐标为 或 D (-3,3)(3,5)(3,-3) 【解析】 【分析】（山）按照华标平移规律作出点0、小、B平移后的对应点0Q、承、B,然后顺次连接即可得到 △0AB, (2)结合网粉的直角特性，分别将点4、B绕点0道时针旋转90°，得到点4、B,再顺次选接点4、 B、0,即可得到 OAB2 (3)分别以OB为对角线、以AB为对角线、以及以OA为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形 的性质得到点D的坐标. 【小问1详解】 略： 第15页/共27页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，当以OB为对角线时，作OABD,过点D作DE⊥OB于点E,过点A作AF⊥OB于点F, B .∠DEB=∠AFO=90° OABD 四边形 是平行四边形， ∴.BD=OABD∥OA ∴.∠DBE=∠AOF ·.△DBE≌△AOF(AAS) .DE=AF,BE=OF ~点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3，) DE=AF=x=3 BE=OF=y=1 OB=4 ..XD=-x=-3 yp=OB-BE=4-1=3 第16页/供27页 6学科网组卷网 点D的坐标为(-33) 如图，当以1B为对角线时，作DAD,B ·四边形 OAD B 是平行四边形， OB=AD =4 OBII AD :.n=x4=3y%=y4+OB=1+4=5 ∴点D的坐标为(3,5)， 如图，当以OA为对角线时，作DD,4B 第17页/共27页 命学科网命组卷网 OD,AB ·四边形 是平行四边形， :.OB=AD2=4OB∥AD2 :.xn=xA=3y,=-OB+yA=-4+1=-3 “点D的坐标为(3，-3) 综上所述，点D的坐标为（33)，(3,5)或(3，-3) 17.如图，在钝角△ABC中，∠ABC为钝角，D为AC上一点，且BD⊥BC. (I)请用尺规作图在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.（保留作图痕迹，不写 作法)： (2)若∠C=459,4D=2,PC=2N2,求aABD的面积 【答案】(1)如图，点P就是所求作的点. (2) 2+V2 【解析】 【分析】(1)根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），要使点P到AC的距离等 于BP,点P必须位于∠BDC的角平分线上 (2)利用第(1)问的结论，结合∠C=45°的特殊角，通过解直角三角形求出相关线段长度，从而计算 第18页/供27页 命学科网命组卷网 △ABD的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点P作PE⊥AC,垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F. .∠C=45°，PC=2W2 PE=PC-sin45°=2V2x2 =2 DP ∠BDC PB⊥BD,PE⊥DC 平分 .PB=PE=2. .BC=PB+PC=2+22 :B那=C血45=5x2+2)-2+2 AD=2, 8m7AD-m-x2x2+)=2+5 所以△MBD的面积为2+V2 18.随着科技的飞速发展，人工智能(AI)已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从 医疗诊断到金融分析，A虹正在改变着我们的生活方式和工作模式.深圳市某快递公司为了提高工作效率， 计划购买A,B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨， 且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同. 第19页/共27页 命学科网命组卷网 (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A,B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买 A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨 (2)最多购买A型机器人15台 【解析】 【分析】()设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨， 根据题意 列分式方程求解即可： (2)设购买A型机器人y台，则购买B型机器人(25-）台，根据题意列一元一次不等式，然后解不等 式，结合y为非负整数求解即可. 【小问1详解】 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨。 9001000 根据题意，得xx+10 解得x=90 经检验，x=90是所列方程的解， .x+10=90+10=100 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨： 【小问2详解】 解：设购买A型机器人y台，则购买B型机器人(25-)合， 根据题意，得90y+100(25-)≥2345 y≤15.5 解得 ,y取非负整数， 第20页/供27页 学科网丽组卷网 y的最大值为15， 答：最多购买A型机器人15台. 19.综合与实践 如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图（亦称“勾股圆方图”），该图以直角三角 形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图 构图思想的启发，发现了一个不等式口+b≥2ab 并将其命名为“弦图不等式” D D 6 6 H G B 图1 图2 D 图3 (1)以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考： 设直角三角形的两条直角边分别为a、b, ①大正方形ABCD的面积可表示为. 四个直角三角形的面积和可表示为 (用含有a 和b的字母表示)； ②如图1，当a<b时，则大正方形ABCD的面积 四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“ =”); ③如图2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和（填“>”、“<”或“ =”）; ④综上所述，可得到“弦图不等式”. 第21页/供27页 学科网命组卷网 (2)若a=6b=9 81 时，访利用“张图不等式”，求代数式：+ 2r>0 的最小值，并求出此时x 的值： (3)为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人 .48m2 ABCD 行道设置长方形共享单车停放区.如图3，停放区面积为 (即长方形 的面积)，其中靠马 路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少？若一辆 APEC 1.7m 纪念款单车长度为 ,如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区 内 【答案11)00+，2b:②之：@： (2)最小值为18：x的值为3 (3)7.2m;能将车辆放进停车区内 【解析】 【分析】(1)计算出大正方形的面积、四个直角三角形面积的和，结合图(1)及图(2)即可完成填空： (2)由“弦图不等式”即可求解； (3)设BC=m,由面积可表示出AB、CD,利用“弦图不等式”即可求解： 【小问1详解】 解：①由勾股定理得AD=V日+，则正方形ABCD的面积为AD2=d2+b: 4×÷ab=2ab 四个直角三角形的面积的和为2 时，由图(1)知，正方形的面积大于四个直角三角形面积的和，即4+6>2ab, ②当a<b ③当a=b时，d+h2=20,2ah=2a,即+b=2ab 第22页/共27页 命学科网命组卷网 ④综上， a2+b2≥2ab 【小问2详解】 91 ≥2x.9=18 即t81 x2的最小值为18， 此时x,解得rs, 由于x>0,则x=3: 【小问3详解】 解：设BC=m,则x>0,B=CD=648。 -m :1B+BC+CD=648+x+64812.96, 一+x+ +x(m) xx x>0, +c+n-26+-2+回22x治=72m 即AB、BC、CD三条边的和的最小值是7.2m, -3.6 Vx=- 此时√，即x=3.6: :1B64 =1.8m>1.7m 3.6 此时能将车辆放进停车区内. 20.定义：有一组对角互补的凸四边形称为对补四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对补线. 第23页/共27页 6学科网6组卷网 (1)下列三种图形中：①平行四边形，②矩形，③正方形.一定是对补四边形的有 (填写序 号)： (2)如图，在凸四边形ABCD中.AB=MC,AB LAC,当N2AD+CD=BD时， 判断四边形 ABCD 是否为对补四边形，证明你的结论： (3)在RtEFG中， F=3,GB=5,∠GBF=90°，以GF为斜边作等腰Rt△Gr,连接EH,请直 接写出EH的长， 【答案】(1)②③ (2)解：是对补四边形，证明如下： 过点A作AM⊥AD,且AM=AD,连接MD,CM,则DM=VAM2+AD=V2AD, ∠ADM=∠AMD=45° AB⊥AC,AB=AC, :.∠BAC=∠DAM=90°，∠ABC=∠ACB=45° .∠BAD=∠CAM=90°+∠CAD. 又：AB=AC,AD=AM :△BAD≌△CAM(SMS) .BD=CM, .2AD+CD=BD 第24页/供27页 6学科网 命组卷网 .DM+CD=CM, C,D,M 三点共线， .∠ADC=180°-∠ADM=135°， .∠ABC+∠ADC=180°. .四边形ABCD是对补四边形： M (3) 或 D √24√2 【解析】 【分析】(1)根据新定义结合平行四边形，矩形和正方形的性质，进行判断即可： (2)过点A作MM⊥AD,且AM=AD,连接MD,CM,证明△BMD≌aCMM(SMS) 进而得到 BD=CM C,D,M ∠ADC=180°-∠ADM=135° ,推出 三点共线，求出 进而得到 ∠ABC+∠ADC=180° ,即可得证 (3)分点E和点H在GF的同侧和异侧两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：①平行四边形对角相等，不符合题意： ②矩形四个角都是直角，故对角互补，符合题意： ③正方形四个角都是直角，故对角互补，符合题意： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第25页/供27页 6学科网命组卷网 解：当点E和点H在FG的异侧时，如图，以H为直角项点，构造等腰直角三角形EHM,连接GM, 则EH=HM,∠EHM=90°， M E ,以GF为斜边作等腰Rt△GHF, .∠HG=HF,∠FHG=90°， .∠GHM=∠EHF, 又，EH=HM,HG=HF, :.AGHM≌aFHE(SAS) .GM=EF=3,∠EFH=∠HGM, .∠GEF+∠GHF=90°+90°=180°， .∠EGH+∠EFH=360°-180°=180°. .∠HGM+∠EGH=180°， E,G,M 三点共线， .EM=EG+GM=8. 在RaEM中，由勾股定理，得EM=VEH+HM2=V2EH=8, 第26页/供27页 6学科网6组卷网 :EH=42 当点H和点E在FG的同侧时，如图，以H为直角顶点，构造等腰直角三角形EHN,连接FN,则 HN=EH,∠N=∠NEH=45o G H N E 同理可得： △EHG≌△NHF(SAS) :.FN=GE=5,∠HEG=∠N=45°， .∠GEN=∠NEH+∠HEG=90°， .∠GEN+∠GEF=180°， N,E,F 三点共线 .NE NF-EF =2. EN =VEH2+HN2 =V2EH .EH=2 综上：EH=V2或4W2 第27页/供27页