精品解析：广东深圳市南山区第二外国语学校(集团)海德学校初中部2026-2027学年第一学期九年级开学检测数学试题

海德学校2026—2027学年第一学期九年级开学检测 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 2. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 3. 小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 5. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 6. 若x为任意实数，则代数式的最小值是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，依据题意得，，再由对于任意实数，，从而可得，进而可以判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式进行变形是关键． 【详解】解：由题意得，． 对于任意实数，， ． 的最小值是． 故选：D． 7. 中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实际问题列一元二次方程． 【详解】解：∵共有个队伍参加比赛，单循环赛制中每个队伍需要和除自身外的个队伍各比赛一场， 又∵每场比赛由2个队伍共同参与，直接计算会重复计算每一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可得方程． 8. 如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作于点，于点，证明，利用四边形的面积等于正方形的面积求解． 【详解】解：过作于点，于点， ∵四边形是正方形，边长为a， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得，解得． 11. 若一元二次方程的两个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个根为， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为300米，则___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质． 利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴， ∴米． 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（共9小题，满分61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程， ， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：方程， 移项得， 提取公因式得， 化简得， 得或， 解得． 15. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，进而得出，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可； （2）先根据矩形的性质说明是等边三角形，进而求出，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 16. 小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 【答案】（1） 解：如图1，点P为所求（答案不唯一，正确即可） （2） 解：如图2，线段为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点A、B，连接交于点P，根据矩形的对角线互相平分，即可得出点P为的中点； （2）取格点G、E、H，连接、，交于点F，连接，交于点D，根据勾股定理可得，从而得出，根据矩形性质得出点F为中点，根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应降低3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“户太八号”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 18. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）方程的解为______； （2）已知，求的值； （3）请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】（1）， （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解； （2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解； （3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为，即， 解得，（舍去）， 当时， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 又∵， ； 【小问3详解】 解：设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴原方程的解为，，，． 19. 【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 （1）请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． （2）【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据提示画图即可； （2）连接、交于点，连接并延长交于点G，作的垂直平分线，分别交，于点H，F，顺次连接，，，，则四边形是菱形；根据矩形的性质可得，根据作图可得可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． （1）请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． （2）如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． （3）如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】（1）矩形 （2） 四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3） 四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 四边形是中母菱形. 【解析】 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【小问1详解】 解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海德学校2026—2027学年第一学期九年级开学检测 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 3. 小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 4. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若x为任意实数，则代数式的最小值是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 已知，那么________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 11. 若一元二次方程的两个根为，则的值为______． 12. 如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使．若小吴测得的长为300米，则___________米． 13. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题（共9小题，满分61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，则的长为 ． 16. 小明研究了网格作图后发现：可以在网格中构造等腰三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等几何图形，并利用它们的性质，找到所求作点或线的位置．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图1，点，都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求：保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分线用实线表示，其他线用虚线表示．） 17. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 18. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）方程的解为______； （2）已知，求的值； （3）请仿照材料中的方法，解方程：． 19. 【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 （1）请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． （2）【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 20. 如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． （1）请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． （2）如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． （3）如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $