精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，是分式方程，不符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，为一元二次方程，故符合题意； D. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 3. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，牢记判定方法是解答本题的关键． 【详解】解：．∵， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故结论正确，不符合题意； ．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意； 故选：． 4. 某村2022年粮食产量为8000吨，2024年达9800吨，设年增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率方面的应用，关键在于理解“年增长率”需按复利计算，即每年增长后的基数为前一年的产量．根据平均增长率公式进行判断即可． 【详解】解：2022年粮食产量为8000吨，2023年的产量为吨，2024年的产量为吨，根据题意，2024年产量为9800吨， 故方程为：， 故选：A． 5. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可． 【详解】解： ， 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为： 10. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图像的性质，解决此题的关键是灵活的运用各个知识点；先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图形性质即可得到结果； 【详解】解：∵关于x方程的两根为1和5， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 11. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 12. 如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积． 故答案为：42． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴分解因式，得， ∴， ∴． 16. 已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1），四边形是菱形，边长 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； 【小问3详解】 解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 17. 如图，在中，E为对角线上的中点，连接，且，垂足为E．延长至F，使，连接，且交于点G． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明： E为对角线上的中点，且， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，30度角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）作于点H，由等边对等角得，设， 根据，，可得，，再根据30度角直角三角形的性质和勾股定理计算出，的边上高线的长度等于，由此可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点H， ，， ， 设， ， ， ， ， 解得， ， 又， ， E为对角线上的中点， ， ， ， 是菱形， ， 的边上高线的长度等于， ． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 19. 【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程， 如：解方程． 解：原方程可变形，得． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ， 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“②”表示的数分别为 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　． （2）【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． （3）【问题解决】请用“平均数法”解方程： 【答案】（1）4，2，， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （3）先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ∴上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2．，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 20. 点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是_________； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当OEF=30°，AE=1，CF=3时，求线段OE的长. 【答案】（1）OE＝OF； （2）图形见解析；结论仍然成立，证明见解析； （3）4 【解析】 【分析】（1）由“AAS”证明△AEO≌△CFO，可得OE＝OF； （2）由题意补全图形，由“ASA”可证△AOE≌△COG，可得OE＝OG，由直角三角形斜边中线的性质可得OE＝OF； （3）延长EO交FC的延长线于点H，同（2）可证△AOE≌△COH（ASA），由全等三角形的性质可得AE＝CH，OE＝OH，由含30°直角三角形的性质可得HF＝EH＝OE，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， 又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF， 故答案为：OE＝OF； 【小问2详解】 补全图形如图所示， 结论仍然成立， 证明：延长EO交CF于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AECF， ∴∠EAO＝∠GCO， ∵点O为AC的中点， ∴AO＝CO， 又∵∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴OE＝OG， ∵∠GFE＝90°， ∴OE＝OF； 【小问3详解】 如图，延长EO交FC的延长线于点H， 同（2）可得：△AOE≌△COH（ASA）， ∴AE＝CH，OE＝OH， 又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， ∴HF＝EH＝OE， ∴OE＝CF＋CH＝CF＋AE＝3＋1＝4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 3. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 4. 某村2022年粮食产量为8000吨，2024年达9800吨，设年增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_______． 10. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 11. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 12. 如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 求代数式的值，其中． 15. 解方程： （1） （2） 16. 已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 17. 如图，在中，E为对角线上的中点，连接，且，垂足为E．延长至F，使，连接，且交于点G． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 19. 【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程， 如：解方程． 解：原方程可变形，得． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ， 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“□”，“○”，“☆”，“②”表示的数分别为 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　． （2）【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． （3）【问题解决】请用“平均数法”解方程： 20. 点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是_________； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当OEF=30°，AE=1，CF=3时，求线段OE的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $