第一章 二次函数 知识点总结 与 常考题型 2026～2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九上数学第一章二次函数单元卷，整合6大核心知识点与8种常考题型，通过基础辨析、性质应用及综合探究题，培养数学抽象、推理及模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|1题|二次函数定义|基础巩固，强化概念理解| |图像性质判断|1题|开口方向、对称轴|推理意识，辨析参数关系| |图像平移|1题|平移规律|几何直观，应用“左加右减”规则| |待定系数法求解析式|1题|三种表达式|运算能力，方程思想| |最值问题|1题|增减性、顶点|数学思维，结合自变量范围| |与方程综合|1题|判别式、交点|逻辑推理，关联函数与方程| |实际应用（利润）|1题|实际建模|模型意识，解决生活问题| |动点综合题|1题|图像与几何|创新意识，综合空间观念|

浙教版 九上数学 第一章 二次函数 单元知识点总结 与 常考题型 一、核心知识点总结 知识点1：二次函数的定义 一般地，形如（其中 a, b, c 是常数，且）的函数，叫做二次函数。 其中 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项。 注意关键点： 自变量的最高次数必须是2； 二次项系数 a 不能为0，否则函数退化为一次函数或常数函数； 函数的右边必须是关于自变量的整式形式。 知识点2：二次函数的三种表达式 1. 一般式： 适用于已知函数图像经过任意三个普通点的坐标，代入列三元一次方程组求解参数。 2. 顶点式： 其中抛物线的顶点坐标为 (h, k) ，对称轴为直线 x = h 。适用于已知顶点、对称轴或函数最值的场景，求解参数更为简便。 3. 交点式： 其中是抛物线与x轴交点的横坐标，也就是对应一元二次方程的两个实数根。仅当抛物线与x轴有交点（即判别式）时，才能使用该形式。 知识点3：二次函数的图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性都由参数决定： 1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a < 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。|a| 的大小决定抛物线的开口宽窄， |a| 越大，开口越窄。 2. 对称轴：直线。对称轴的位置由 a 和 b 共同决定，遵循“左同右异”规律：当对称轴在y轴左侧时， a 与 b 同号；当对称轴在y轴右侧时， a 与 b 异号。 3. 顶点坐标：，顶点是抛物线的最高点或最低点。 4. 增减性： 若 a>0 ，当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大。 若 a<0 ，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小。 5. 与坐标轴的交点： 与y轴的交点坐标为 (0, c) ，交点位置仅由常数项 c 决定。 与x轴的交点：令 y=0 ，解一元二次方程，根的个数由判别式决定： · ：抛物线与x轴有2个不同交点； · ：抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴上）； · ：抛物线与x轴没有交点。 知识点4：二次函数的图像平移规律 对于顶点式，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则： 向左平移 m 个单位：函数变为 向右平移 m 个单位：函数变为 向上平移 n 个单位：函数变为 向下平移 n 个单位： 函数变为 注意：平移仅改变h和k的值，二次项系数a保持不变，平移前后抛物线的形状和开口方向完全一致。 知识点5：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根。 2. 解不等式（或 <0 ），本质是寻找抛物线在x轴上方（或下方）部分对应的自变量x的取值范围，可以结合图像直观求解。 知识点6：二次函数的实际应用 利用二次函数求解实际场景中的最值问题，步骤一般为：先建立合适的平面直角坐标系，列出对应的二次函数表达式，再结合自变量的实际取值范围，最终求出函数的最大值或最小值，常用于利润问题、面积问题、运动轨迹问题等场景。 二、常考题型汇总 题型1：二次函数的定义辨析 例题1：下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. ( y = 3x - 1 ) B. .. 题型2：二次函数的图像性质综合判断 例题2：已知二次函数的图像开口向下，且经过点（），对称轴为直线 x=2 ，则下列结论： ① a > 0 ；② 4a + b = 0 ；③ 当 x=1 时，y > 0 ；④ c < 0 ，其中正确的有______个。 题型3：二次函数的图像平移 例题3：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A.. .. 题型4：待定系数法求二次函数解析式 例题4：已知二次函数的图像经过点(0, 1)、(1, 3)、三点，求该二次函数的解析式。 题型5：二次函数的最值问题 例题5：已知二次函数，当自变量x的取值范围为时，求函数的最大值和最小值。 题型6：二次函数与一元二次方程的综合 例题6：求证：二次函数的图像与x轴没有交点。 题型7：二次函数的实际应用——利润问题 例题7：某商店销售一款商品，每件成本为40元，当售价为每件50元时，每月可以卖出500件。市场调研表明：该商品的售价每上涨1元，每月的销量就会减少10件。设每件商品的售价为x元（），每月的销售总利润为y元。 (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 请问售价定为多少元时，每月获得的总利润最大？最大利润是多少？ 题型8：二次函数的动点综合题 例题8：已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当m取何值时，的面积最大？ 二、常考题型汇总参考答案 1、解析：A是一次函数，C化简后为 y=2x+1 属于一次函数，D自变量最高次数为3，只有B符合二次函数的定义，答案选B。 2、解析：开口向下说明 a<0 ，①错误；对称轴，变形可得 b=-4a ，即 4a+b=0 ，②正确；结合抛物线的对称性，点 关于x=2的对称点为(5,0)，且开口向下，在内函数值均大于0，因此x=1时y>0，③正确；抛物线与y轴的交点在正半轴，故c>0，④错误。最终正确的有2个。 3、解析：根据“左加右减、上加下减”的规则，向右平移3个单位替换x为x-3，向上平移4个单位在整体末尾加4，得到，答案选B。 4、解析：设函数一般式为，将三个点的坐标分别代入： 代入(0,1)得 c=1 代入(1,3)得 a + b + 1 = 3 ，即 a + b = 2 代入得 a - b + 1 = 1 ，即 a - b = 0 联立解得 ，因此函数解析式为。 5、解析：将函数配方为顶点式：，可知抛物线开口向上，顶点坐标为(2,1)。在给定区间内，当x=2时，函数取得最小值1；再比较区间端点的函数值，x=0时y=5，x=3时y=2，因此x=0时函数取得最大值5。 6、解析：计算对应一元二次方程的判别式，说明该方程没有实数根，因此对应的二次函数图像与x轴没有交点。 7、解析： (1) 每件商品的利润为 (x-40) 元，对应的月销量为 500 - 10(x-50) = 1000 - 10x 件，因此总利润。 同时由销量非负可知，结合，自变量取值范围为。 (2) 将函数配方得，由于 ( a=-10 < 0 )，开口向下，在x=70时，函数取得最大值9000。即售价定为70元时，月利润最大，最大利润为9000元。 8、解析：先求出各定点坐标：令y=0解得A、B(3,0)；令x=0解得C(0,3)。设直线BC的解析式为 y = kx + 3 ，代入B点坐标解得 k=-1 ，即直线BC为 y = -x + 3 。 过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，则P点坐标为，Q点坐标为 ( )，因此PQ的长度为。 三角形PBC的面积。当时， PBC 的面积取得最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $