第一章 二次函数【填空题专项卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，通过60道填空题系统覆盖概念、性质及应用，知识逻辑层层递进，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|约20题|解析式、顶点坐标等|从定义到系数意义，构建概念体系| |图像性质|约25题|对称轴、最值、平移等|性质推导与图像特征关联，强化几何直观| |综合应用|约15题|几何结合、实际问题|知识迁移与模型应用，培养应用意识|

第一章 二次函数【填空题专项卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 一、填空题（本大题共 60 道小题） 1. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设经过点的二次函数解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设经过点的二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴满足题意的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题的关键． 2. 【答案】根据题意，令x＝0，解y，即可得抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标． 解：根据题意， 令x＝0，即y＝﹣5， ∴抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为：（0，﹣5）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征． 3. 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得顶点坐标是解题的关键．根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为 当x分别取时，函数值相等， 对称轴 当时，函数值为3， 故答案为：3 4. 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为，然后问题可求解 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 又∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为； 故答案为． 5. 【答案】把点（c，c2+c）代入解析式即可求得c＝2． 解：∵抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c）， ∴c2+c＝c2+2， ∴c＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 6. 【答案】 【解析】解：把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为． 根据轴上点的坐标特征，求自变量为时的函数值即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令或即可． 7. 【答案】 【解析】解：依题意，令得， 得， 解得舍去或， 即小球从飞出到落地所用的时间为． 故答案为． 根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单． 8. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，根据，顶点坐标是，可得答案． 解：的顶点坐标为（，）， 故答案为：． 9. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，解题的关键是掌握：抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入解析式可求交点的纵坐标． 将代入抛物线解析式，计算出对应的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：将代入解析式： 所以，抛物线与轴的交点坐标是． 10. 【答案】y＝2x2+1（答案不唯一） 【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为：y＝2x2+1（答案不唯一）， 故答案为：y＝2x2+1（答案不唯一）． 11. 【答案】把x＝0代入求出y，即可得出答案． 解：当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）． 故答案为：（0，﹣3）． 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，明确y轴上点的横坐标为0是解题关键． 12. 【答案】0 【解答】解：把（1，2）代入y＝x2+x+m得1+1+m＝2， 解得m＝0． 故答案为0． 13. 【答案】根据对称轴公式即可解答． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3， ∴x＝﹣＝3， ∴b＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键． 14. 【答案】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝2，再把2m2﹣6m+2变形为2（m2﹣3m）+2，然后利用整体代入的方法计算． 解：∵m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根． ∴m2﹣3m﹣2＝0， 即m2﹣3m＝2， ∴2m2﹣6m+2＝2（m2﹣3m）+2＝2×2+2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 【答案】﹣2或﹣1或0或1 【解答】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1＝0即m＝﹣1， 此时y＝﹣2x，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠﹣1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y0，即m＝0， 此时y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为（2，0）； 当抛物线不经过原点时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（m+1）m＝0， 解得：m＝﹣2或1． 综上，m＝﹣1或0或﹣2或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：﹣2或﹣1或0或1． 16. 【答案】 【解析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值． 解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)， ∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)， ∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后， ∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)， ∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方， ∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上， 把(-2+m，0)代入，得 -2=0， 解得m=2； 把(-2+m，-2)代入，得 -2=-2， 解得m=1或3； ∴的值为1，2，3， 故答案为1，2，3． 此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式． 17. 【答案】 【解析】解：如图，连接， 四边形是边长为的正方形， ，， 过点作轴于， 与轴正半轴的夹角为， ， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 解得． 故答案为：． 连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与轴的夹角为，然后求出点的坐标是解题的关键． 18. 【答案】把函数解析式化为一般式，再求出对称轴即可；求出平移后的解析，再根据对于任意的x都有y＞0可得Δ＜0，求出k的取值范围． 解：∵y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣2mx+m2﹣x+m＝x2﹣（2m+1）x+m2+m， ∴对称轴直线为x＝﹣＝m+， ∴n＝m+； 若把函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）向上平移k个单位，则平移后的函数解析式为y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m+k， ∵对于任意的x都有y＞0， ∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+k）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m﹣4k＜0， 解得k＞． 故答案为：n＝m+；k＞． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键掌握判别式Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点；Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 19. 【答案】一次项系数是-2 20. 【答案】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解． 【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， 因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）， 所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4， 对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5， 所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5． 故答案为x1＝﹣2，x2＝5． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 21. 【答案】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABOC是正方形， ∴点B的坐标为（﹣，﹣）． ∵抛物线y＝ax2过点B， ∴﹣＝a（﹣）2， 解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键． 22. 【答案】根据抛物线的“特征三角形”是等边三角形建立方程求解即可． 解：设抛物线y＝x2+bx与x轴的交点坐标为O，A，顶点B， ∴O（0，0），A（﹣b，0），B（﹣，﹣）， ∵抛物线y＝x2+bx对应的“特征三角形”是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB， ∴OA2＝OB2，即（）2＝（）2+（）2； 解得：b＝±， ∵b＞0， ∴b＝， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等边三角形建立等量关系． 23. 【答案】将x＝0代入解析式求解． 【解答】解：将x＝0代y＝﹣2x2+3x+4得y＝4， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4）， 故答案为：（0，4）． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 24. 【答案】由a＝﹣1＜0可得抛物线开口向下，进而当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，再由t＜x＜5时，y随x的增大而减小可得t的范围． 解：抛物线的对称轴为直线x＝1， 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线开口向下， 所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， 因为t＜x＜5时，y随x的增大而减小， 所以1≤t＜5． 故答案为：1≤t＜5． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 25. 【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且经过点， 当或时的值相等， 当时，， 故答案为：． 根据抛物线的对称轴为直线，于是得到当或时的值相等，于是得到结论． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26. 【答案】由题意，抛物线的形状与y＝x2相同，它的顶点坐标是（﹣2，3），即可得抛物线的解析式． 解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3）， ∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3． 当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3． 故答案为：y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3． 【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力． 27. 【答案】 【解析】解：二次函数图象与轴有两个交点， 判别式， ， 故结论正确； 二次函数图象得开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ， ， 二次函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故结论不正确； ， ， ，， ，， ， ， 故结论不正确； 设二次函数图象于的交点横坐标分别为，， 二次函数的对称轴为，且， ， 当时，， 故结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故答案为：． 根据二次函数与轴的交点可对结论进行判定；根据二次函数的开口方向、对称轴及与轴的交点可对，，的符号进行判定，进而可对结论进行判定；根据二次函数的对称轴及二次函数图象与轴交点的坐标可对结论进行判断；根据二次函数的对称轴及与轴交点的情况可判断当时，，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解答此题的关键． 28. 【答案】方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个，2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个，2个交点，由此即可解决问题． 解：①方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个交点， 因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4）， 观察图象可知，两个函数图象有3个交点时，m＝4． 故答案为：m＝4． ②方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有2个交点， 因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4）， 观察图象可知，两个函数图象有2个交点时，m＞4或m＝0． 故答案为：m＞4或m＝0． 【点评】本题考查二次函数的图象、根的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 29. 【答案】 【分析】先根据顶点坐标得到二次函数解析式为，再根据平移的性质可得，由此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象可以由平移得到， ∴， ∴二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移前后二次项系数不变是解题的关键． 30. 【答案】 【解析】解： ， 故二次函数的最小值为：． 故答案为：． 首先去括号，进而利用配方法求出二次函数最值即可． 此题主要考查了二次函数的最值，正确利用配方法是解题关键． 31. 【答案】根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当x＝2时，y最小值＝﹣10，当x＝﹣3时，y最大值＝15，从而求得结论． 解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10， ∴该抛物线的对称轴为x＝2，且a＝1＞0， ∴当x＝2时，二次函数有最小值﹣10， ∵|﹣3﹣2|＞|2﹣4|， ∴当x＝﹣3时，二次函数有最大值为：（﹣3﹣2）2﹣10＝15， ∴函数的最大值与最小值的差为15﹣（﹣10）＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 32. 【答案】 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 33. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 34. 【答案】(1) (2) （1）根据二次函数的概念，二次项的系数不为0，自变量的最高次数为2，求解即可； （2）根据一次函数的概念，一次项系数不为0，二次项的系数为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵y是x的二次函数， ∴， 解得：， ∴当时，y是x的二次函数． （2）解：y是x的一次函数， ∴，且 由得：， 由得：，， ∴， ∴当时，y是x的一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，列出关于m的方程或不等式． 35. 【答案】﹣6． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3， ∴该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵1≤x≤5， ∴当x＝5时，y取得最小值﹣（5﹣2）2+3＝﹣6， 故答案为：﹣6． 36. 【答案】﹣4≤y≤5 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝4时，y＝（x﹣1）2﹣4＝5， ∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 37. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 38. 【答案】 即 （）。 【点睛】四周都镶宽 x 的纸边，所以挂画长为 、宽为 ，面积相乘展开即可。 39. 【答案】（由 得 ，又 即 ，故 ） 40. 【答案】 【分析】直接利用抛物线与x轴的交点的横坐标与相对应的一元二次方程的解的关系可得答案． 【详解】解： 抛物线经过点、两点， 关于x的一元二次方程的解是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握“二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标是关于x的一元二次方程的解”是解本题的关键． 41. 【答案】根据点A、B的坐标确定出对称轴，再求出点C的对称点的坐标，然后写出即可． 【解答】解：∵A（﹣2，0）、B（6，0）， ∴对称轴为直线x＝＝2， ∴点C的对称点的坐标为（4，﹣3）， ∴﹣3＜ax2+bx+c≤0的解集为﹣2≤x＜0或4＜x≤6． 故答案为：﹣2≤x＜0或4＜x≤6． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键在于求出对称轴并得到C点的对称点的坐标． 42. 【答案】先用a表示b，可将代数式中的b替换掉，使其仅含有a，再根据b的取值范围，得出a的取值范围便可解决问题． 【解答】解：因为b﹣a＝1， 所以b＝a+1， 则a2﹣4b+11＝a2﹣4（a+1）+11＝（a﹣2）2+3． 又b≥4， 则a+1≥4， 解得a≥3． 又当a＞2时，代数式（a﹣2）2+3的值随a的增大而增大， 则当a＝3时， 代数式a2﹣4b+11取得最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的最值，能用a表示b，并将含有a的代数式配成完全平方与一个常数和的形式是解题的关键． 43. 【答案】先根据二次函数顶点式求出二次函数最小值，进而判断出函数y＝的最小值． 【解答】解：∵y＝（x+2）2+4有最小值为4， ∴函数y＝的最小值为2， 故答案为：小，2． 【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是再转化为二次根式来解答． 44. 【答案】直线 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：直线． 45. 【答案】4 【解析】先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x的取值范围，从而得到m的最小值． 解：函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x=4， 函数y2＝﹣（x﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x=3， 当函数值都随着x的增大而减小， 则x≥4，即m的最小值为4， 故答案为：4． 本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质． 46. 【答案】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝4． 【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣2x+1上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣， ∴x1+x2＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键． 47. 【答案】分两种情况：m＞0和m＜0分别求y的最大值即可 解：y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1． 当m＞0时， 当x＝2时，y有最大值， ∴4m+4m+1＝4， ∴m＝； 当m＜0时， 当x＝﹣1时，y有最大值， ∴m﹣2m+1＝4， ∴m＝﹣3， 综上所述：m的值为或﹣3． 故答案为：或﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解． 48. 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 49. 【答案】或 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 50. 【答案】根据二次函数的顶点式即可求解． 解：∵y＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣2）2+14， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值为14， ∴水珠的最大离地高度是14米， 故答案为：14． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 51. 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值．代入点，得到，化简并配方，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：把代入二次函数中得， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 52. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键；把二次函数的一般式化为顶点式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 53. 【答案】依据题意，抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是﹣2，由A（m﹣2，n）和B（m+4，n），可得抛物线的对称轴和AB的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形AMNB的周长． 解：由题意，∵抛物线经过点A（m﹣2，n）和点B（m+4，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣． 又抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点， ∴抛物线的顶点在直线y＝﹣2上． ∴， 即c＝＝2m2+4m． ∴n＝2（m﹣2）2﹣4（m+1）（m﹣2）+2m2+4m＝16． ∴AM＝BN＝16． 又∵A（m﹣2，n），B（m+4，n）， ∴AB＝（m+4）﹣（m﹣2）＝6． ∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA＝16+6+16+6＝44． 故答案为：44． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 54. 【答案】（2，0）． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4， ∴该抛物线的对称轴是直线，点D的坐标为（0，4）， ∴OD＝4， ∵抛物线y＝x﹣5x+4经过点C、D，菱形ABCD中CD∥AB， ∴， ∴AB＝AD＝CD＝5， ∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5， ∴， ∵AB＝5， ∴OB＝5﹣3＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 55. 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 56. 【答案】 【分析】将函数解析式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， ∴当时，函数取最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，将二次函数解析式整理为的形式是解题关键． 57. 【答案】 【解析】解：因为，， 所以，两点关于抛物线的对称轴对称． 又由二次函数的表达式可知， 抛物线的对称轴是直线， 所以． 故答案为：． 将点坐标代入函数表达式得， ， 又， 所以， 又， 则， 解得． 故答案为：． 根据，两点的纵坐标相等，可用表示出抛物线的对称轴，进而解决问题． 用表示出，再根据的取值范围即可解决问题． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能由，两点的纵坐标相等，进而发现与的关系是解题的关键． 58. 【答案】点A（2，4）代入抛物线中求出解析式为，再设CD＝2x，进而求得E点坐标为（x，4﹣2x），代入中即可求解． 解：将点A（3，4）代入抛物线y＝ax2中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与y轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD＝2x，则CM＝x＝NE，NO＝MO﹣MN＝4﹣2x， 此时E点坐标为（x，4﹣2x），代入抛物线中， 得到：， 解得，x2＝﹣6（负值舍去）， ∴CD＝2x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 59. 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 60. 【答案】 【分析】（1）根据A、C两点的函数值相同可得二次函数的对称轴，根据二次函数对称轴公式即可得到答案； （2）把点B坐标代入二次函数解析式求出n的值，再根据n的取值范围求出t的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵点都在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， 故答案为：； （2）∵在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据二次函数的对称性求出对称轴，从而得到m与t的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【填空题专项卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 一、填空题（本大题共 60 道小题） 1. 写出一个经过点的二次函数的解析式：_______． 2. 抛物线y＝x2﹣4x﹣5与y轴交点坐标为 ． 3. 已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为__________． 4. 如图，抛物线的对称轴为直线，当时，x的取值范围是______．    5. 抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），则c的值是 ． 6. 抛物线与轴的交点坐标是______． 7. 如图，若被击打的小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的关系为，则小球从飞出到落地所用时间为______ 8. 抛物线的顶点坐标为 ． 9. 抛物线与轴的交点坐标是__________． 10. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式 ． 11. 二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是 ． 12. 已知二次函数y＝x2+x+m的图象过点（1，2），则m＝ ． 13. 二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3，则b＝ ． 14. 如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么2m2﹣6m+2的值是 ． 15. 若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ． 16. 已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________. 17. 如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 18. 已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）的对称轴为直线x＝n，则n，m满足的关系式是 ，若把该函数向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，则k的取值范围是 ． 19. 二次函数的一次项系数是 ． 20. 抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 ． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是 ． 22. 如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．如图，已知y＝x2+bx（b＞0）的“特征三角形”是等边△AOB，那么b的值为 ． 23. 二次函数y＝﹣2x2+3x+4的图象与y轴的交点坐标是 ． 24. 已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 ． 25. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时， ______ ． 26. 抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 ． 27. 二次函数图象如图，下列结论中：；；；正确的有______ 填序号 28. 已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数） ①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． ②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 29. 已知二次函数的图象可以由抛物线平移得到，且其顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ． 30. 二次函数的最小值为______ ． 31. 已知二次函数y＝x2﹣4x﹣6，当﹣3≤x≤4时，该函数的最大值与最小值的差为 ． 32. 二次函数的一般式为 ． 33. 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 34. 如果函数y=（k-2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 ． 35. 二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，当1≤x≤5时，y的最小值为 ． 36. 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 ． 37. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 38. 如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 39. 若是二次函数，则的是 ． 40. 抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是______． 41. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c分别交坐标轴于A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣3），则﹣3＜ax2+bx+c≤0的解是 ． 42. 已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是 ． 43. 当x＝2时，函数y＝有最 值，是 ． 44. 已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 45. 当x≥m时，两个函数y1＝﹣（x﹣4）2＋2和y2＝﹣（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为_____． 46. 已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣2x+1上，那么x1+x2＝ ． 47. 已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为 ． 48. 已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 49. 学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 50. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是 米． 51. 点在二次函数的图象上，则的最小值是 ． 52. 二次函数的顶点坐标为 ． 53. 已知抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为 ． 54. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，点D在y轴上，抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D两点，则点B的坐标为 ． 55. 如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 56. 设二次函数（是实数），则函数的最小值等于 ． 57. 设二次函数点，，都在这个二次函数的图象上，且，则 ______ 用的代数式表示； 的取值范围为______ ． 58. 如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点，当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 59. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有 ．（填番号）． 60. 设二次函数．点都在这个二次函数的图象上，且，则（1） ．（用t的代数式表示）；（2）t的取值范围为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $