1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦直角三角形斜边上中线性质，分层设计从基础应用到综合探究，助力知识深化与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质直接应用|第1题通过刻度测量培养量感，强化斜边上中线等于斜边一半的核心认知| |中档|性质与角度计算、动态问题结合|第3题梯子滑动情境发展几何直观，第8题结合垂直关系提升推理能力| |提高|综合证明与新定义探究|第17题“线垂三角形”阅读题培养创新意识，第15题四边形背景综合应用模型观念|

1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 1．（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026春•太和县期末）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝20°，D为AB的中点，则∠ACD等于（　　） A．20° B．40° C．60° D．70° 3．（2026春•盐山县期末）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．变小； B．不变； C．变大； D．先变小再变大 第1题 第3题 4．（2026•榆树市二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　） A．8° B．10° C．15° D．20°第5题 第4题 5．（2026•德州一模改编）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD，，AC＝10，E，F分别是AC，BD的中点，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 6．（2026•嵊州市二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点（不与点A，B重合），连结CD，得到以下三个结论： ①若BD＝CD，则D为斜边AB的中点． ②若，则D为斜边AB的中点． ③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点． 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（2025春•娄底期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 8．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °．第9题 第8题 第7题 9．（2025秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD＝BE，∠B＝40°，那么∠BCE＝　 　 度． 10．（2025秋•南京期末）如图，以线段AB为斜边向同侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD，BC交于点O，P是线段AB的中点，连接PC，PD．若∠CPD＝76°，则∠AOB＝　 　 °． 11．（2025秋•天门期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 　 　 度．第12题 第11题 第10题 12．（2025秋•姜堰区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝5，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　 　 ． 13．（2025秋•扬州期中）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且CD⊥BC，点E是BD的中点，∠A＝∠CEA，求证：AC＝BE． 14．（2025秋•姜堰区月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若∠A＝72°，求∠EMF的度数． 15．（2025秋•邗江区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BED＝90°，求∠BCD的度数． 16．（2025秋•宁波校级期中）如图，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝30°，BD＝8，求AC的长． 17．（2025秋•右玉县期中）阅读与思考 下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务． 【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，AE⊥BD，垂足为F． 【问题解决】问题1：写出△ABC中小明同学所发现的结论：　 　 ． 证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵AE⊥BD， ∴∠BFA＝∠BFE＝90°， ∴∠ABD+∠BAF＝∠CBD+∠BEF＝90°， ∴∠BAF＝∠BEF， ∴BA＝BE（依据）， … 问题2：在图中，若“线垂”三角形ABC是直角三角形，求∠DBC的度数． 任务： （1）问题1中的结论为　 　 ，问题1中的依据是　 　 ； （2）请你完成问题2的解答． 1.5 等腰三角形(4)---直角三角形的性质 参考答案与试题解析 1．（2026•城中区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A，B对应的刻度分别为0，6，则CD的长为（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026春•太和县期末）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝20°，D为AB的中点，则∠ACD等于（　D　） A．20° B．40° C．60° D．70° 3．（2026春•盐山县期末）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　B　） A．变小； B．不变； C．变大； D．先变小再变大 第1题 第3题 4．（2026•榆树市二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　B　） A．8° B．10° C．15° D．20°第5题 第4题 5．（2026•德州一模改编）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD，，AC＝10，E，F分别是AC，BD的中点，则EF的长为（　B　） A．4 B．5 C．6 D．10 6．（2026•嵊州市二模）学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上一点（不与点A，B重合），连结CD，得到以下三个结论： ①若BD＝CD，则D为斜边AB的中点． ②若，则D为斜边AB的中点． ③若△ACD和△BCD均为等腰三角形，则D为斜边AB的中点． 其中一定正确的是（　C　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．（2025春•娄底期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　60°　 ． 8．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　45　 °．第9题 第8题 第7题 9．（2025秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD＝BE，∠B＝40°，那么∠BCE＝　 20　 度． 10．（2025秋•南京期末）如图，以线段AB为斜边向同侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD，BC交于点O，P是线段AB的中点，连接PC，PD．若∠CPD＝76°，则∠AOB＝　128　 °． 11．（2025秋•天门期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 34 度．第12题 第11题 第10题 12.（2025秋•姜堰区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝5，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 　 ． 13．（2025秋•扬州期中）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且CD⊥BC，点E是BD的中点，∠A＝∠CEA，求证：AC＝BE． 证明：∵CD⊥BC， ∴∠DCB＝90°， ∴△DCB是直角三角形， 又∵DE＝BE， ∴， ∵∠A＝∠CEA， ∴CE＝AC， ∴AC＝BE． 14．（2025秋•姜堰区月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若∠A＝72°，求∠EMF的度数． （1）证明：∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点， ∴，， ∴EM＝FM， ∴△MEF是等腰三角形； （2）解：由条件可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝108°， ∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点， ∴MF＝MB，ME＝MC， ∴∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC， ∴∠BMF+∠EMC＝180°﹣2∠ACB+180°﹣2∠ABC＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝144°， ∴∠FME＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝36°． 15．（2025秋•邗江区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BED＝90°，求∠BCD的度数． （1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴△ABC和△ADC都是直角三角形， ∵点E是AC的中点， ∴DE是Rt△ABC斜边AC上的中线，BE是Rt△ADC斜边AC上的中线， ∴DE＝AE＝CEAC，BE＝AE＝CEAC， ∴DE＝BE， ∴△EBD是等腰三角形， ∵点F是BD的中点， ∴EF是等腰△EBD底边BD上的中线， ∴EF⊥BD； （2）解：∵DE＝AE＝CE，BE＝AE＝CE， ∴∠EDC＝∠ECD＝α，∠EBC＝∠ECB＝β， ∴∠BCD＝∠ECD+∠ECB＝α+β， 在四边形DEBC中，∠EDC+∠BCD+∠EBC+∠BED＝360°， ∵∠BED＝90°， ∴α+α+β+β+90°＝360°， ∴α+β＝135°， ∴∠BCD＝α+β＝135°． 16．（2025秋•宁波校级期中）如图，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝30°，BD＝8，求AC的长． （1）证明：如图，连接AE，CE， 由题意可得： ，， ∴AE＝CE， ∵F是对角线AC的中点， ∴EF⊥AC． （2）解：∵BD＝8， ∴， ∴∠ADE＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD， ∵∠ADE+∠EAD＝∠BEA，∠EDC+∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEA＝2∠ADE，∠BEC＝2∠EDC， ∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝2∠ADE+2∠CDE， 又∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADC＝30°， ∴∠AEC＝2∠ADC＝60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC＝EA＝4． 17．（2025秋•右玉县期中）阅读与思考 下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务． 【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，AE⊥BD，垂足为F． 【问题解决】问题1：写出△ABC中小明同学所发现的结论：　 　 ． 证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵AE⊥BD， ∴∠BFA＝∠BFE＝90°， ∴∠ABD+∠BAF＝∠CBD+∠BEF＝90°， ∴∠BAF＝∠BEF， ∴BA＝BE（依据）， … 问题2：在图中，若“线垂”三角形ABC是直角三角形，求∠DBC的度数． 任务： （1）问题1中的结论为　 　 ，问题1中的依据是　 等角对等边 ； （2）请你完成问题2的解答． （2）可以，理由如下： 当∠BAC＝90°时，如图： 由条件可知， 在“线垂”三角形ABC中，， 故AB＝AE＝BE， ∴△ABE是等边三角形， 故∠ABC＝60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴； 当∠ABC＝90°时，如图： 由条件可知； 当∠ACB＝90°时，AB＞BC， 与“线垂”三角形ABC中，相矛盾，故舍去； 综上，∠DBC的度数为30°或45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $