1.5等腰三角形（分层作业，15大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高，覆盖等腰三角形定义、性质、判定及等边三角形、直角三角形性质全知识点，适配新授课差异化教学，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解）|等腰三角形定义、等边对等角、三线合一，等边三角形性质与判定，直角三角形斜边中线|以选择、填空、基础解答为主，如定义辨析、角度计算，夯实概念理解| |B组（掌握）|等腰三角形与格点问题、个数探究、性质判定综合，等边三角形综合，含30°直角三角形|结合情境（格点、折叠），题型含作图与多结论证明，提升推理能力| |C组（运用）|等腰三角形动态综合问题|压轴题设计，涉及旋转、动态几何，培养创新意识与综合应用能力|

分层作业 1.5 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的性质——等腰三角形的定义 题型02 等腰三角形的性质——等边对等角 题型03 等腰三角形的性质——三线合一的性质 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定 题型05 等边三角形——等边三角形的性质 题型06 等边三角形——等边三角形的判定 题型07 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线 题型08 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题 B组 能力进阶 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题 题型02 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数 题型03 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题 题型05 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题 题型06 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形 C组 思维拔高 题型 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题 等腰三角形的性质——等腰三角形的定义题型01 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 2．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级·河南信阳·期中）用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少． (1)用含的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断； （1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形； 【详解】（1）解：第二条边长为， 第三条边长为； （2）解：当时，，故三角形的三条边长为，，， 由，得，，不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为， 由，得不能组成三角形； 当时，，故三角形的三条边长为，由，得可组成等腰三角形， 等腰三角形的三边长为． 5．（24-25八年级上·山西侯马·期中）如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为，两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板（），点B，C，E在水平地面上，点A和点D分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于多少? 【答案】BC＝15 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ∴，， ． 等腰三角形的性质——等边对等角题型02 1．如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质与三角形外角的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，，再根据，得到，利用等边对等角与外角的性质得出结论即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得，． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴； 故选：C． 2．等腰三角形中的一个角为，则其一个底角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 因为已知给出的角是顶角还是底角不明确，所以根据等腰三角形的性质分两种情况讨论来求底角的度数． 【详解】解：分两种情况： （1）当角是底角时，底角就是； （2）当角是顶角时，底角=． 因此，底角为或． 故选：C． 3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．    【答案】40° 【详解】解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，，平分，为中点．证明：． 【答案】 证明：， ， 为的角平分线， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ． 【分析】由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，于是可得，进而可得，由线段中点的有关计算可得，最后利用ASA即可得出结论． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，线段中点的有关计算，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（25-26八年级上·北京·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 【答案】(1) 解：补全图形，如图所示． (2)，，等边对等角， 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：证明：连接． 在和中， ． ． ， （等边对等角）． ． ． 故答案为：，，等边对等角， 等腰三角形的性质——三线合一的性质题型03 1．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了三角板中角度计算，等腰三角形的性质等知识点，根据三角板的特征知，是等腰直角三角形，，，结合，根据等腰三角形的性质得，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意知，是等腰直角三角形，，， 又∵， ∴平分， ∴． ∵， ∴， 故选：B． 2．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案. 【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即， 由图①可得：， ∴；故甲作图痕迹正确；    根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键. 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为_________ 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，，， (1)求证：≌； (2)试说明与的数量关系． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ≌； (2) 解：，理由如下： ≌， ，， ， ， ， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， （1）直接根据“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，得，，再根据等腰三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由． 【答案】，，；①；②有，或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；利用已知点为，代入抛物线解析式进而得出的值，即可得出的值； ①根据题意得出抛物线必过，进而代入求出答案； ②根据的对称轴上时，为直角，进而得出答案． 【详解】解：与的关系是：， 如图， 是等腰直角三角形，且为的中点， ∵抛物线对应的准蝶形必经过， ， 解得：或（不合题意舍去）， 当则， 解得：，则； ①由已知，抛物线对称轴为轴， ∵抛物线对应的碟宽在轴上，且 ∴抛物线必过，代入，得 解得：， ∴抛物线的解析式是：； ②由①知，如图，的对称轴上，点的坐标为或时，为直角 ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点，使得为锐角，的取值范围是或． 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定题型04 1．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠DCA， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠B=∠CFE， ∠2+∠DCA=∠FEC， ∴∠CFE=∠FEC， ∴CF=CE， ∴△CEF是等腰三角形. 故选A 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（   ） A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和与轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题的关键，根据三角形内角和是且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵②，④图形一个角是， ∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形， ∵⑤，③图形一个角是， ∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形， ∵，①图形一个角是， ∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形． 故选：B． 3．在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地CB、C两地相距_________m．    【答案】200 【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°， ∴∠ACB=∠BAC， ∴BC=AB=200． 4．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 【答案】 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC． ∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD． 【分析】根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论． 【详解】略 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 【答案】(1) 证明：如图1， 令， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) (3) 【分析】（1）设，结合的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，分别表示出和，通过角度和差化简，证得，再由“等角对等边”得到，从而证明为等腰三角形； （2）先由动点运动规律得，过作，利用平行线的内错角相等，结合已知，用证，得到，再复用第(1)问的结论，推得，得到，最终推出； （3）先由等腰三角形，证得为等边三角形，再通过三角形内角和推导角的等量关系，构造垂直平分线证等边三角形，结合、多次证明三角形全等，完成边的等量转化；然后利用含直角三角形的性质设参，结合已知化简求得；最后根据点坐标得到的长度，算出，复用第(2)问的结论，得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为， ∴， 如图2，过点作，交于， 则，， 在和中， ， ∴， ∴，由(1)知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， 过作，交延长线于点，延长到，使，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 过作，交于点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴． 【点睛】几何证等角、推边关系，优先用设参导角，把抽象的角度关系转化为代数式化简，规避复杂的角度推导，逻辑清晰不易错；遇到“线段中点（）+ 对顶角” 的结构，过端点作平行线构造“八字型”全等（第（2）问作），是此类题型的固定破题辅助线，可快速完成边的等量转化；本题三小问层层递进，前一问的结论可直接复用至后一问，无需重复推导，是几何综合题的核心解题逻辑，能大幅简化步骤． 等边三角形——等边三角形的性质题型05 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【详解】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C 2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(    ) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 【答案】C 【分析】（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【详解】A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确； B、有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知，有一外角为120°的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确； C、有两个角相等的等腰三角形有可能还是等腰三角形；故本选项错误； D、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确； 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质．在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 3．如图，在等边中，，，则的长为___． 【答案】##2.5 【分析】根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得DC的长度． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，且， ∴D为BC的中点（三线合一），且BC=AB=5， ∴ 故答为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 5．【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）； （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）略 （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 等边三角形——等边三角形的判定题型06 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列命题的逆命题成立的是 （    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判断，逆命题． 判断各选项的逆命题是否为真．逆命题是将原命题的条件和结论互换，需逐一验证其正确性． 【详解】解：A．原命题：“两直线平行，同位角相等”．逆命题：“同位角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，逆命题成立，故本选项符合题意； B．原命题：“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．逆命题：“绝对值相等的两个实数相等”．反例：但，逆命题不成立，故本选项不符合题意； C．原命题：“全等三角形的对应角相等”．逆命题：“对应角相等的两个三角形全等”．对应角相等不一定全等，逆命题不成立，故本选项不符合题意； D．原命题：“等边三角形是锐角三角形”．逆命题：“锐角三角形是等边三角形”．锐角三角形只需三个角均小于90°，未必等边，逆命题不成立，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(      ) A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【答案】B 【详解】试题分析：连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，则AC=80海里. 考点：等边三角形的性质 3．已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是____ 三角形. 【答案】等边 【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状． 【详解】∵(a-b)2+|b-c|=0 ∴(a-b)2=0，|b-c|=0 ∴a=b，b=c ∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形． 【点睛】本题考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定． 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.    【答案】 证明: 证法一： ∵  CD∥AB， ∴  ∠A＝∠ACD＝60°． ∵  ∠B＝60°， 在△ABC中， ∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°． ∴  ∠A＝∠B＝∠ACB．      ∴  △ABC是等边三角形. 证法二： ∵  CD∥AB， ∴  ∠B＋∠BCD＝180°． ∵  ∠B＝60°， ∴  ∠BCD＝120°． ∴  ∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°． 在△ABC中， ∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°． ∴ ∠A＝∠B＝∠ACB． ∴ △ABC是等边三角形. 【分析】证法一：根据平行线的性质可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形. 证法二：根据平行线的性质可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可证明△ABC是等边三角形. 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的性质和等边三角形的判定. 5．（25-26八年级上·北京·期中）小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（    ） ____________ 为等边三角形． 【答案】 如下图即为所求作； ，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定，先按要求完成作图，再根据线段垂直平分线的性质进行证明即可． 【详解】略 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线题型07 1．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB=______．    【答案】8 【详解】∵AB=AC， AF⊥BC，∴∠AFB=90°，BF=CF，又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠BEA=90°，∴EF= BC=3，又∵D为AB中点，∴DE=DF= AB，∵DE+DF+EF=11，∴DE+DF=8，∴AB=8. 3．若直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键． 【详解】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 直角三角形斜边长． 4．已知的两条高分别为，，点为的中点，求证：． 【答案】 解：如图， ∵，分别是的两条高， ∴和是直角三角形， 又点为的中点， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】略 5．【问题情境】如图，在平面直角坐标系内，点为正比例函数图象在第一象限内的任意一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和，点为线段上一动点，连接，作的垂直平分线，分别交，，，于点，，，，过点作的垂线，交轴于点． 【初步探究】 (1)求证：； (2)在点的运动过程中，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【数学建模】 (3)若，设动点的横坐标为，四边形的面积为，求关于的函数解析式． 【答案】(1) 证明：过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和， 四边形为矩形， 又点为正比例函数图象在第一象限内的任意一点， ， 四边形为正方形， 过点作于点，如图， 则，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． (2) ，理由： 连接，，过点作于，于点，如图所示： 点为正比例函数图象在第一象限内的任意一点， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 是的垂直平分线，在上， ，， ． ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据题意易证四边形为正方形，过点作于点，则，，然后根据垂直平分，可推出，得到，从而证明，得证； （2）连接，，过点作于，于点，先证明四边形是正方形，结合线段垂直平分线，得到，推出，得到是等腰直角三角形，通过斜边上的中线等于斜边的一半，推出，从而得到，最后得证； （3）先通过正方形的性质以及勾股定理，推出，表示出，设， ，推出，得到，接着证明为等腰直角三角形，得到，推出，接着通过，以及表示出这两个部分的面积，最后借助表示出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）可知，四边形为正方形，， ，， ， ， 设，由（2）可知，四边形是正方形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了等腰直角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形三线合一，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题题型08 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．由得，求出，进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题； 其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题； 其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④． 故选：B． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将直尺和三角板如图放置，，求________． 【答案】 【分析】，． 【详解】解：如图，由直尺得，， ， 由三角板得，， ． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，，则等于多少度    【答案】68° 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又∵， ， ． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了三角形的内角和问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论； （2）①分两种情况讨论：当点Q落在上时，利用折叠的性质和三角形内角和定理计算即可．当点Q落在上时，利用折叠的性质和平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．②分两种情形：当点Q在平行线，之间时．当点Q在下方时，结合平行线的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴，     ∴； （2）解：①当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∴． 当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或， 故答案为：或． ②当点Q在平行线之间时． 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在下方时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题题型01 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 2．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．    (1)求作等腰直角三角形，其中． (2)计算的面积． 【答案】(1) 解：如图，即为所求．    (2)10 【分析】（1）以点A为直角顶点画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）略 （2）． 【点睛】本题考查了等腰三角形，利用网格求面积，解题的关键是掌握等腰直角三角形的定义，同时掌握割补法的应用． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】 如图所示：即为所求锐角三角形；即为所求直角三角形；即为所求钝角三角形    【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，找到的矩形的对角线即可完成作图． 【详解】略 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 【答案】(1)如图， (2)如图； (3)3 【分析】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【详解】（1）解：由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）解：由题意，连，交直线m于点D，连，点即为所求； 理由：由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数题型02 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 2．等腰三角形的定义是：有____________相等的三角形叫等腰三角形； 【答案】两条边相等 【分析】有两条边相等的三角形叫等腰三角形. 【详解】有两条边相等的三角形叫等腰三角形. 【点睛】熟记等腰三角形的概念是解题的关键. 3．（25-26八年级上·河北邢台·质检）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 4．6个点如图所示那样放置，相邻两点的距离相等．把这些点作为三角形的顶点，可以画多少个正三角形？ 【答案】5 【详解】解：如图 等边三角形有，共5个． 5．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】 解：①如图， ②如图， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】①，， ∴，都是等腰三角形． ②，， ∴，是等腰三角形． 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明题型03 1．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 2．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是（   ） A．有两个内角分别为和的三角形 B．有两个内角分别为和的三角形 C．有一个外角为，一个内角为的三角形 D．有一个外角为，一个内角为的三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等的三角形是等腰三角形，利用三角形内角和为以及邻补角的性质，分别求出每个选项中三角形的三个内角度数，判断是否存在相等内角即可. 【详解】解：∵三角形内角和为，邻补角和为，等腰三角形需满足有两个内角相等， ∴对各选项逐一推导： A、两个内角为,，第三个内角为，存在两个相等内角，是等腰三角形，不符合要求； B、两个内角为，第三个内角为，三个内角为，没有相等内角，不可能是等腰三角形，符合要求； C、根据三角形外角性质，外角等于不相邻的两个内角之和。已知一个外角为，一个内角为，则另一个不相邻的内角为，该三角形有两个角相等，是等腰三角形，不符合要求； D、分情况讨论，①若已知内角是外角的相邻内角，则另两个内角之和为，可能是等腰三角形（如两角均为）；②若已知内角是不相邻内角，则另一个不相邻内角为，第三个角为，是等腰三角形，综上，该三角形可能是等腰三角形，不符合题意. 故选：B. 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，的边，均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长为______． 【答案】8 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ． ，，， ． ． 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再得出对应相等的两边即可． 【详解】略 5．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    【答案】该建筑物的高度约为米 【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 米， 在中，米， 米， 答：该建筑物BC的高度约为米．    【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题题型04 1．中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度． 本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【详解】且， ， ， 且， ． 故选C． 2．图中三角形是等腰三角形．已知．点在点的( )方向上，点在点的东偏北( )方向上． 【答案】 正西 ##80度 【分析】本题考查了等腰三角形性质、三角形内角外角的性质及方向判定．解题关键在于利用等腰三角形两底角相等的性质计算未知角度，并结合直角坐标系的方向判断规则，准确确定点的位置方向．根据上北下南、左西右东判断方向即可；根据三角形的内角和及平角定义，求出的角度即可求解． 【详解】解：点B在点C的正西方向上； ， ， 点A在点C的东偏北80度方向上。 故答案为：正西； 3．如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．    【答案】 证明：如图，    ∵，，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即D为的中点． 【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质； 根据角平分线的判定可得，求出，可得，再根据等腰三角形三线合一可得结论． 【详解】略 4．求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半． 【答案】 证明：如图： ， ， ，， 在直角三角形中，． 【分析】根据等腰三角形的性质证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是要构造直角三角形，利用直角三角形中对应的边等于斜边的一半即可． 5．（24-25九年级上·重庆·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； (3)如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)周长最小值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，求得，则，,故，则，当点三点共线时取得最小值，此时的点即为点，同上可求直线的表达式为：，因此，则由两点距离公式求得过点作轴的对称点记为，则，因为，即求的最小值，因此，当三点共线时，取得最小值为，故周长最小值为，同上可求直线的表达式为：，即可得到； （3）过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点，可证明，求得，记直线与直线交于点R，导角得到，则，过点作于点，则，则，可求直线表达式为：，则，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 将代入 得，， ∴， 将代入 得，， ∴反比例函数解析式为：; （2）解：过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点， 由题意得，， 设直线表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴设直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得：， 解得：或（舍）， ∴，则 ∴在中，由勾股定理得， ∴, ∴， ∴，当点三点共线时取得最小值， 此时的点即为点， 同上可求直线的表达式为：， ∴， ∴ 过点作轴的对称点记为，则， ∵， ∴即求的最小值， ∴， 当三点共线时，取得最小值为， ∴周长最小值为， 同上可求直线的表达式为：， 当时，， ∴． （3）解：过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 记直线与直线交于点R， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点， 则，则， 由，同上可求直线表达式为： ∴， 由，同上可求直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得，， 解得： ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，两点之间距离公式，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握“胡不归”以及“将军饮马”是解题的关键． 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题题型05 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为，， ∴， ∴， ∴线段的长为， 故选：A． 2．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 3．如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可证得为等边三角形，则可求得，再利用线段的和差，则可求得答案． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由条件证得是等边三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图所示，在四边形中，，，，，则______． 【答案】30 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质；在四边形外取一点P，使且，连接，证明，，是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：在四边形外取一点P，使且，连接， 在和中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：30． 5．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠BOC=180°-30°-30°=120°． ∵BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和F， ∴OE=BE，OF=CF， ∴∠BOE=∠OBC=∠OCF=∠COF=30°， ∴∠EOF=120°-30°-30°=60°． ∵∠OEF，∠OFE是△OBE，△OFC的外角， ∴∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°，∠OFE=∠COF+∠OCF=60°， ∴∠EOF=∠OEF=∠OFE， ∴△OEF是等边三角形， ∴OE=EF=OF， ∴BE=EF=CF． 【分析】先根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据角平分线的定义得∠OBC=∠OCB=30°，即可求出∠BOC，然后根据垂直平分线的性质得OE=BE，OF=CF，进而得出∠BOE=∠COF=30°，再求出∠OEF，∠OFE，∠EOF的度数，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义等，判定△OEF是等边三角形是解题的关键． 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形题型06 1．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故选：C ． 2．在ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝______cm 【答案】3 【分析】先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 3．如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ，， ， ， 中，是的中点， ， 中，， ， ． 【分析】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形角所对的边与斜边之间的关系；先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形度的性质得和的关系，从而得出结论． 【详解】略 4．（24-25八年级下·广东茂名·联考）如图，小明同学想测量高州宝光塔的高度，他在A处测得．，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求宝光塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，含的直角三角形的性质，等角对等边，先求解，求解，再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：是的外角，， ， 即， ． 在中，． 所以宝光塔的高度是． 5．已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则 ； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的面积是定值，定值为20 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出为等腰直角三角形，得出，利用角的和差进行求解即可； （2）①根据等边三角形的性质证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可； ②过点B作于点H，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①都是等边三角形， ， ， ， ． ∵为等边三角形，平分， ，， ， ． ， ； ②的面积是定值，定值为20．理由如下： 如图，过点B作于点H． 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题题型 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则________． 【答案】30° 【分析】旋转前后的三角形全等，对应角和对应边也相等，因此△ABM是等边三角形，∠AMB＝60°，进而求得∠NMC＝60°，再利用平行线得到的内错角相等，进行计算. 【详解】∵在中，，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故填：30°. 【点睛】本题是角度计算的问题，利用到旋转全等与平行线的性质的结合，判定等边三角形是关键. 3．在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_______． 【答案】 【分析】如图,以为边作等边三角形，以为边作等边，通过全等即可将进行转换，再分析当、、、四点共线时，值最小，利用勾股定理求出即可． 【详解】如图：以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，作，作，交的延长线于． 和是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，值最小， ， ， ． ， ， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了构造等边三角形，利用手拉手模型求解线段和最小值问题，能够熟练利用等边三角形的性质是解决本题的关键． 4．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°； （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）略 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 5．（25-26八年级上·贵州·期末）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【答案】(1) ①补全图形如图所示： ； ②证明： 若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③的长为或 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，多项式乘多项式与图形面积； （1）①由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据求解； ②证明，得到，则，结合，得到； ③点在线段上，由②可得，代入求值即可；若点在射线上，在下方，由②同理可得，，则，代入求值即可； （2）由，，，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明，得到，，设，，则，，，根据，得到，连接，取中点，连接，根据，得到，代入整理得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：①连接， ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②略 ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 整理得， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.5 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的性质——等腰三角形的定义 题型02 等腰三角形的性质——等边对等角 题型03 等腰三角形的性质——三线合一的性质 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定 题型05 等边三角形——等边三角形的性质 题型06 等边三角形——等边三角形的判定 题型07 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线 题型08 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题 B组 能力进阶 题型01 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题 题型02 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数 题型03 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明 题型04 等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题 题型05 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题 题型06 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形 C组 思维拔高 题型 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题 等腰三角形的性质——等腰三角形的定义题型01 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 2．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是___________． 4．（24-25八年级·河南信阳·期中）用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少． (1)用含的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长． 5．（24-25八年级上·山西侯马·期中）如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为，两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板（），点B，C，E在水平地面上，点A和点D分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于多少? 等腰三角形的性质——等边对等角题型02 1．如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 2．等腰三角形中的一个角为，则其一个底角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或或 3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．    4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，，平分，为中点．证明：． 5．（25-26八年级上·北京·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 等腰三角形的性质——三线合一的性质题型03 1．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为_________ 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，，， (1)求证：≌； (2)试说明与的数量关系． 5．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点，若为等腰直角三角形，我们把抛物线上两点之间的部分与线段围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，由定义知，取中点，连结与的关系是______．抛物线对应的准蝶形必经过，则=______，对应的碟宽是______．抛物线对应的碟宽在轴上，且． ①求抛物线的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点，使得为锐角，若有，请求出的取值范围．若没有，请说明理由． 等腰三角形的判定——等腰三角形的判定题型04 1．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）图①～⑥是三个三角形的碎片，每两个碎片恰好可组成一个完整的三角形，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（   ） A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥ 3．在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地CB、C两地相距_________m．    4．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 等边三角形——等边三角形的性质题型05 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(    ) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 3．如图，在等边中，，，则的长为___． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 5．【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 等边三角形——等边三角形的判定题型06 1．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列命题的逆命题成立的是 （    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是锐角三角形 2．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(      ) A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 3．已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是____ 三角形. 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.    5．（25-26八年级上·北京·期中）小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（    ） ____________ 为等边三角形． 直角三角形的性质——直角三角形斜边的中线题型07 1．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（    ） A．8 B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB=______．    3．若直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为______． 4．已知的两条高分别为，，点为的中点，求证：． 5．【问题情境】如图，在平面直角坐标系内，点为正比例函数图象在第一象限内的任意一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和，点为线段上一动点，连接，作的垂直平分线，分别交，，，于点，，，，过点作的垂线，交轴于点． 【初步探究】 (1)求证：； (2)在点的运动过程中，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【数学建模】 (3)若，设动点的横坐标为，四边形的面积为，求关于的函数解析式． 直角三角形的性质——直角三角形的有关证明问题题型08 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将直尺和三角板如图放置，，求________． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在中，，则等于多少度    5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 等腰三角形的判定——等腰三角形与格点问题题型01 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段．    (1)求作等腰直角三角形，其中． (2)计算的面积． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线m对称； (2)在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） (3)延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 等腰三角形的判定——找等腰三角形的个数题型02 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 2．等腰三角形的定义是：有____________相等的三角形叫等腰三角形； 3．（25-26八年级上·河北邢台·质检）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 4．6个点如图所示那样放置，相邻两点的距离相等．把这些点作为三角形的顶点，可以画多少个正三角形？ 5．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 等腰三角形的判定——等角对等边与线段的计算和证明题型03 1．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 2．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是（   ） A．有两个内角分别为和的三角形 B．有两个内角分别为和的三角形 C．有一个外角为，一个内角为的三角形 D．有一个外角为，一个内角为的三角形 3．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，的边，均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长为______． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，，，求证：． 5．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    等腰三角形的判定——等腰三角形的性质与判定问题题型04 1．中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 2．图中三角形是等腰三角形．已知．点在点的( )方向上，点在点的东偏北( )方向上． 3．如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．    4．求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半． 5．（24-25九年级上·重庆·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； (3)如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 等边三角形——等边三角形的性质与判定综合问题题型05 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 2．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图所示，在四边形中，，，，，则______． 5．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形题型06 1．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 2．在ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝______cm 3．如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 4．（24-25八年级下·广东茂名·联考）如图，小明同学想测量高州宝光塔的高度，他在A处测得．，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求宝光塔的高度． 5．已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则 ； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 等腰三角形的判定——等腰三角形综合问题题型 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则________． 3．在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_______． 4．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 5．（25-26八年级上·贵州·期末）综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $