精品解析：山东淄博市张店区第七中学2026-2027学年上学期初四开学数学学情调研试题（9.4）

张店七中初四数学学情调研试题（开学考） 一、选择题（共10小题） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键． 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 3. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 5. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论正确，符合题意； D、，选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 6. 当锐角时，的值（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 【答案】B 【解析】 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 7. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 8. 如图，把一个矩形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上（横格线都相互平行）．已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关计算，勾股定理，矩形的性质，证明是解题的关键． 过点作于点N，交于点，则，结合矩形的性质证明，继而，可求，最后运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点N，交于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：C． 9. 已知的三个内角分别为，，，在下列条件：①；②；③，；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 通过每个条件计算三角形的内角，判断是否有一个角为即可． 【详解】解：根据三角形内角和为，得， 条件①：，代入得，则，能确定直角三角形； 条件②：设、、，则，则，，能确定直角三角形； 条件③：，则，，则，则，不能确定直角三角形； 条件④：设、、，则，则，，能确定直角三角形； 条件⑤：设，则，则，则，，能确定直角三角形； 因此，能确定直角三角形的条件有①、②、④、⑤，共4个， 故选：B． 10. 某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度． ①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口． 则上述说法正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】①三点共线，直接计算可得； ②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出； ③方法同②． 【详解】如图过E点作交的延长线于点M， 则 ①当时,三点共线， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确． ②当时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确． ③当时， 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误． 综上所述：说法正确的为：①②，共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 二、填空题（共5小题） 11. 如图，在中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据正切定义求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：==4， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、正切，理解正切的定义，会利用勾股定理解直角三角形是解答的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且OP与x轴正半轴的夹角为．若，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正切值的概念，勾股定理， 过点作轴的垂线段，交轴于点，则，利用，可得的值，再利用勾股定理即可解答， 根据，想到作直角三角形，作出辅助线，是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线段，交轴于点，则， ， ， ， ， 故答案为：10． 13. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质证得，证得，再利用同角的余角相等证得，利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，且，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是_________ 【答案】2或 【解析】 【分析】本题无图，应根据题意画出图形，分点P既可以在边CD上和在CD的延长线上两种情况求解. 【详解】如图所示，由于点P是直线CD上一点， ∴点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上， 当P在边CD上时， ∵BC=2，DP=1， ∴； 当P在CD延长线上时， ∵DP=1，DC=2， ∴PC=3， ∴． 故答案为2或. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及正方形的性质，解题时要考虑到两种情况，不要漏解． 15. 如图，在中，，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出；在上取点D使，推导得到为等腰直角三角形；设，借助勾股定理求出、，进一步得到，代入分母有理化求得结果． 【详解】解：如图，在上取点D，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在中，，解这个直角三角形. 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形：由已知元素求出未知元素的过程，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 先由，，求出，再根据正弦得到，继而求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴， ∴，，． 18. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【小问1详解】 解：中，，，， ， ， ， 在中，． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 19. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：依题意设 则先证明是直角三角形，再利用三角函数的定义求解． 试题解析：设 则 是直角三角形， 20. 如图，在正方形外作等腰直角三角形，，，连接，求出的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设，利用勾股定理和正方形的性质可表示出的长度和证明，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴设，， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形， 在中，， ∴的值为2． 21. 亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： （1）试仿照例题，求出的准确值； （2）我们知道：，试求出的准确值； （3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 【答案】（1） （2） （3），此结果与（2）中的结论一致 【解析】 【分析】（1）根据给出的公式计算即可； （2）将，代入计算即可； （3）构造含的直角三角形，再在的角中切出一个的角，结合图象即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，，，则， ∴， 此结果与（2）中的结论一致． 22. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为（ ） A． B． C． D． （2）对于，则的正对值的取值范围是 ； （3）已知，其中为锐角，求的值． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正对的定义得出顶角为时，三角形为等边三角形，即可求解； （2）求出接近和时等腰三角形底边和腰的比即可； （3）在中，，．在上取点，使，作，为垂足，根据余弦的定义设，，由勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理求出，最后根据正对的定义即可求解． 【小问1详解】 解：根据正对定义，当顶角为时，等腰三角形的底角为，则三角形为等边三角形， 则． 【小问2详解】 解：当接近时，等腰三角形的底边接近，故接近， 当接近时，等腰三角形的底边接近于腰的倍，故接近， 故对于，则的正对值的取值范围是． 【小问3详解】 解：如图，在中，，． 在上取点，使，作，为垂足，如图： 令，，则， 则； 又∵在中，，， ∴，， 在中，， 故． 在中，，，由正对的定义可得：． 23. 综合与实践 如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中． 数学思考 （1）上图中______； （2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值． 深入探究 （3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，平行四边形的判定，求一般角的三角函数值； （1）可证，从而可得，可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （2）取格点，连接，，可证，从而可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （3）取格点，连接，，可证，从而可得，判定是直角三角形，由即可求解； 根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）、是正方形小方格的对角线， ， ， ， 由图得： ， ， ， ， ； 故答案：； （2）如图，取格点，连接，， 由图得： ， ， ， ， ， ； （3）如图，取格点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张店七中初四数学学情调研试题（开学考） 一、选择题（共10小题） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 当锐角时，的值（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 7. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一个矩形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上（横格线都相互平行）．已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 已知的三个内角分别为，，，在下列条件：①；②；③，；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度． ①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口． 则上述说法正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共5小题） 11. 如图，在中，，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为，且OP与x轴正半轴的夹角为．若，则______． 13. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接.若，，则________. 14. 已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠ BPC的值是_________ 15. 如图，在中，，，则等于______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 在中，，解这个直角三角形. 18. 如图，在中，，平分，，． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值． 20. 如图，在正方形外作等腰直角三角形，，，连接，求出的值． 21. 亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： （1）试仿照例题，求出的准确值； （2）我们知道：，试求出的准确值； （3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 22. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为（ ） A． B． C． D． （2）对于，则的正对值的取值范围是 ； （3）已知，其中为锐角，求的值． 23. 综合与实践 如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中． 数学思考 （1）上图中______； （2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值． 深入探究 （3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $