2027年广东省普通高中学业水平考试数学提升卷2

**基本信息** 2027年广东学业水平数学提升卷，覆盖集合、函数、几何等核心知识，通过概率应用、立体几何折叠等问题，考查抽象能力、空间观念与数据意识，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合、复数、函数性质|第6题偶函数单调性比较，考查抽象能力| |填空题|6/36|三角恒等变换、向量运算|14题三角化简，考查运算能力| |简答题|4/42|函数单调性、分层抽样、解三角形、立体几何|20题分层抽样与概率结合考查数据意识，22题折叠问题培养空间观念|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学提升卷2 本试卷22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合}，则（ ） A.} B.} C.} D.} 2. 设复数的共轭复数为 ，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.“1<x≤3”是“”的(　　) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，若反向共线，则（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-3)，的大小关系是(　　) A. f(-3) B. f(-3) C. f(-3) D.无法比较 7.已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 8.已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的 C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍 D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的 10.甲、乙两名同学各自等可能从编号四张卡片选一张，则选出数字之和能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 11.已知是不同直线，不同平面，命题正确的是（ ） A. B. C. D. 12.函数y=x+的值域是（ ） A.(∞，1] B.(∞，0] C.∞] D.∞] 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.命题 “∀x∈R，x2-x+1≥0”的否定为 14. sin 40°cos 10°cos 140°sin 10°等于 15.已知向量，, ，则 16. lg 5lgeln 2 =__________ 17..已知圆柱的底面半径，高，则该圆柱的表面积是_______ 18. 已知函数，则的最大值是______ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求在区间上的值域． 20. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，高三年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取7人参加该活动． （1）高一，高二，高三分别应抽取多少人？ （2）从这7人中随机抽取2人作为本次活动的负责人，求选出的 2 人都是高一学生的概率． 21.在中，角对边，满足，面积， （1）求的大小；（2）求的外接圆半径的最小值 22. 如图，四边形是边长为 2 的正方形，、分别为、的中点，以为折痕将四边形折起，使点到达点 的位置，点到达点 的位置,且．(1) 证明：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省普通高中学业水平考试数学提升卷2解析 本试卷22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合}，则（ ） A.} B.} C.} D.} 答案：C 解析：解方程，得或，故，，} 2. 设复数的共轭复数为 ，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：设，则，， 由复数相等：， 3.已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 解析：令，则. 4.“1<x≤3”是“”的(　　) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B 解析：,得，所以“1<x≤3”是“”的必要不充分条件 5. 已知向量，若反向共线，则（ ） A. B. C. D. 0 答案：A 解析：，若反向共线，则，得或， 当，则同向共线；当，则反向共线 6. 已知f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-3)，的大小关系是(　　) A. f(-3) B. f(-3) C. f(-3) D.无法比较 答案　B 解析　因为函数f(x)为偶函数，所以f(-3)= f(3) ， 因为f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ，所以f(3) ，所以f(-3) 7.已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：平均数，方差， 8.已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：，为第二象限角，则，， ，故 9. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍 B. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的 C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍 D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的 答案：D 10.甲、乙两名同学各自等可能从编号四张卡片选一张，则选出数字之和能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：总基本事件：种。满足和被整除：，共种，故 11.已知是不同直线，不同平面，命题正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：A：可异面；A错； B：面面垂直，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直另一平面，B错； C：一条直线垂直平面，与之平行直线也垂直该平面；C正确； D：可能在内；D错 12.函数y=x+的值域是（ ） A.(∞，1] B.(∞，0] C.∞] D.∞] 答案：A 解析：令t=(t≥0)，则x=， 则 y=+t=t2+t+=(t1)2+1. 因为t≥0，所以当t=1，即x=0时，函数取得最大值，ymax=1，所以函数y=x+的值域为(∞，1]. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.命题 “∀x∈R，x2-x+1≥0”的否定为 答案：∃x∈R，x2-x+1<0 14. sin 40°cos 10°cos 140°sin 10°等于 答案： 解析： sin 40°cos 10°cos 140°sin 10°=sin 40°cos 10°cos 40°sin 10°=sin 30°= 15.已知向量，, ，则 答案：或 解析：由得,所以，故 或 16. lg 5lgeln 2 =__________ 答案: 3 解析： lg 5lgeln 2= lg 5lg2= lg 102= 3 17.已知圆柱的底面半径，高，则该圆柱的表面积是_______ 答案： 解析： 圆柱的侧面积：底面积：， 表面积： 18. 已知函数，则的最大值是______ 答案： 解析：，，当且仅当取等号， ，最大值为 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求在区间上的值域． 解：(1)在区间上单调递增，证明如下： ，且，有 ． 因为，且，所以，．于是，， 即．故在区间上单调递增． (2)由（1）可知，因为在区间上单调递增, ，，．所以在区间上的值域为． 20. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，高三年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取7人参加该活动． （1）高一，高二，高三分别应抽取多少人？ （2）从这7人中随机抽取2人作为本次活动的负责人，求选出的 2 人都是高一学生的概率． 解：（1）根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； 高二应抽取：（人）；高三应抽取：（人）； （2）设高一的三个人为：，高二两个人为：，高三两个人为：， 样本空间有：，，，，，，，，，，， ，，，，，，，所以， 设“选出的 2 人都是高一学生”为事件A，则满足事件A的有：，， ，， 所以． 21.在中，角对边，满足，面积， （1）求的大小；（2）求的外接圆半径的最小值 解：（1）由正弦定理及得， 所以， 因为故，，因为，所以 ； （2）由，得， 由余弦定理和基本不等式得 ，当且仅当取等号，所以，故，设的外接圆半径为， 由正弦定理，故，所以取最小值时，取得最小值， 所以 ，故的外接圆半径的最小值是. 22. 如图，四边形是边长为 2 的正方形，、分别为、的中点，以为折痕将四边形折起，使点到达点 的位置，点到达点 的位置,且．(1) 证明：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值． (1) 证明：因为四边形是正方形，、为中点，所以，即折叠前，；折叠后，故 又已知，且，平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面， 因为平面，故平面平面； (2) 解：由 (1) 知平面，因此是在平面内的射影， 故就是直线与平面所成的角, 正方形边长为 2，为中点，因此，, 在中，， 因此, 即直线与平面所成角的正弦值为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $