精品解析：广东深圳市福田区侨香外国语学校2026-2027学年上学期九年级暑期学情反馈 数学(9月)

2026—2027学年初三年级暑期学情反馈 数学（9月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1—8题，共24分，第Ⅱ卷为9—20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，下列分式中，值为0的是（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在中，，连接、，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 分解因式：=______． 10. 用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，第一象限内有两点，将线段平移，使点分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_________． 13. 如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解不等式组并在数轴上表示出解集：； 15. 先化简，再求值：，选一个你喜欢的数字作为的值代入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． （1）画出，并写出，，三点的坐标； （2）连接，，则这两条线段的位置关系是______，数量关系是______； （3）求． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，且，，． （1）试判定四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 19. 【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：）；k为常数且． 【模型应用】 （1）已知当万，时，次，则______； （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 （3）现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值． 20. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年初三年级暑期学情反馈 数学（9月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1—8题，共24分，第Ⅱ卷为9—20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是注意不等号的方向是否变化．根据不等式的基本性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3. 当时，下列分式中，值为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当时，，结论正确，符合题意； C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当时，，结论正确，符合题意； 故选：B． 4. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 5. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，不符合题意； B、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 6. 一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可． 【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时， 则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 7. 一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象，确定两直线交点横坐标及上下位置关系． 【详解】解：由图象可知，两直线交点的横坐标为， 当时，直线位于直线的下方， 不等式的解集为． 8. 如图①，在中，，连接、，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，由图象可得，的边上的高为，的边上的高为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由图象可得，，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 分解因式：=______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 10. 用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买羽毛球的数量为x个，根据总费用不超过100元列出不等式，求解后取最大整数解，即可作答． 【详解】解：设购买羽毛球x个，则总费用为元， 根据题意得， 移项得， 解得， ∵x为整数， ∴x最大为6， 即最多可购买6个羽毛球． 故答案为：6． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 12. 如图，第一象限内有两点，将线段平移，使点分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况：点 ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 13. 如图，在中，，，，点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质得，，结合平分可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由折叠的性质可知，， 平分， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， 解得， 的长为． 三、解答题（共7小题，满分61分） 14. 解不等式组并在数轴上表示出解集：； 【答案】解集为， 在数轴上表示： 【解析】 【详解】解：， 解不等式，去分母得，解得， 解不等式，去分母得，解得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示：略． 15. 先化简，再求值：，选一个你喜欢的数字作为的值代入求值． 【答案】，取，原式为1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴取，则原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． （1）画出，并写出，，三点的坐标； （2）连接，，则这两条线段的位置关系是______，数量关系是______； （3）求． 【答案】（1）如图，即为所求： ，，． （2），， （3）8 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出图形，进而可得三点的坐标； （2）根据平移后对应线段平行（或在同一直线上）且相等即可得出结论； （3）根据网格特点，利用割补法求解三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，且，，． （1）试判定四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意推出平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可判定四边形是菱形； （2）根据矩形的性质求出，根据菱形的性质求出，解直角三角形求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴ ∴ ∴， ∴菱形的面积． 19. 【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：）；k为常数且． 【模型应用】 （1）已知当万，时，次，则______； （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： 【模型分析】 （3）现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万的购物中心，且到居民区距离d限定在，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值． 【答案】（1） （2）甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 （3）整数的值为，， 【解析】 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解； （3）分段根据的范围列不等式，找出符合条件的整数． 【小问1详解】 解：将，，代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为， 已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此，， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为； 【小问3详解】 解：已知，，，要求， 分两种情况讨论： 当时，， 解得， 结合， 得整数都满足条件； 当时， ， 解得， 即， 结合， 得满足条件的整数，不满足条件； 综上，满足条件的整数为． 20. 【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】 （1）①，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股 即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $