精品解析：广东省深圳市福田区外国语教育集团2026-2027学年第一学期九年级开学素养练习 九年级数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级开学素养练习 九年级数学试卷 说明：答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 5. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 我爱福田 B. 我爱福外 C. 我爱幸福 D. 幸福福田 6. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 三角形三个内角的角平分线一定交于同一点 B. “直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C. 用反证法证明“”时，应假设“” D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解： ______ 10. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 11. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为________． 12. 如图①，在矩形中，，点P从点B出发沿线段向点C运动，线段的垂直平分线分别交，于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为________． 13. 如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，其中第14小题6分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题8分，第18小题9分，第19小题11分，第20小题12分，共61分） 14. 求不等式组的所有整数解的和． 15. 先化简，再求值：，从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 16. 因式分解： （1）． （2）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 18. 如图，菱形的对角线、相交于点O． （1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留尺规作图痕迹） （2）在（1）的作图要求下， ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为8，，求的长． 19. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． （1）①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； （3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 20. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级开学素养练习 九年级数学试卷 说明：答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 2. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 4. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 5. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 我爱福田 B. 我爱福外 C. 我爱幸福 D. 幸福福田 【答案】A 【解析】 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 6. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 三角形三个内角的角平分线一定交于同一点 B. “直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题是真命题 C. 用反证法证明“”时，应假设“” D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线，直角三角形的两个锐角互余，平行四边形的判定，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ 三角形三个内角的角平分线必交于同一点，∴ A正确； ∵ “直角三角形两个锐角的和等于”的逆命题为“两个锐角的和等于的三角形是直角三角形”，是真命题，∴ B正确； ∵ 反证法证明时，应假设，而非，∴ C错误； ∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴ D正确． 7. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，角的运算，含30度角的直角三角形；根据题意得到，，利用勾股定理得到，再结合即可求出． 【详解】解：标记点C，点D，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10， ∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH与△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝5，CH＝PH， ∴AP＝AD﹣PD＝5， ∴， ∵点G是EC的中点， ∴GH＝EP＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解： ______ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 11. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根的值，再代入去分母后的整式方程即可求出的值． 【详解】解：原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以得 ， ∵分式方程有增根 ， ∴增根使原方程分母为零，即，得， 把代入整式方程，得， 整理得， 解得． 12. 如图①，在矩形中，，点P从点B出发沿线段向点C运动，线段的垂直平分线分别交，于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，从图②可知，当时，，即当时，，利用勾股定理求出此时长，再根据线段垂直平分线性质求得长，即可求得答案． 【详解】解∶由图②可知，当时，，即当时，， 连接，如图①， 四边形是矩形， ． ． 是的垂直平分线， ． ， 当点P与B重合时， 是的垂直平分线， 点M为中点， ， 当时，， 则当时，． 13. 如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，取的中点，连接，设，，先求出，，，，，的长，再得出，进而可得的长，根据三角形的中位线定理可得的长，然后证出，得出，之间的等量关系，代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造中位线和相似三角形． 三、解答题（本大题共7小题，其中第14小题6分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题8分，第18小题9分，第19小题11分，第20小题12分，共61分） 14. 求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后写出整数解，再进行求和即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴满足不等式组的所有整数解是，，其和为：． 15. 先化简，再求值：，从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】，取，原式的值为 【解析】 【分析】先由分式的性质化简，再将代入求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴当时，上式． 16. 因式分解： （1）． （2）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）根据看错的项确定原多项式的各项正确系数，得到原多项式后分解因式； 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：， ∵看错一次项系数时，二次项系数与常数项正确， ∴原多项式的二次项为，常数项为， ， ∵看错常数项时，二次项系数与一次项系数正确， ∴原多项式的一次项为， ∴原多项式为， 将原多项式分解因式：． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且此次订购的两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》？ 【答案】（1） 《昆虫记》单价为10元，《经典常谈》单价为15元 （2） 最多可购买40本《经典常谈》 【解析】 【分析】（1）利用两种书籍订购数量相等的等量关系列分式方程求解即可； （2）利用总费用不超过1200元的不等关系列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设《昆虫记》的订购单价为元，则《经典常谈》的订购单价为元， ∵ 订购的两种书籍数量相同， ∴ ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：《昆虫记》的单价为10元，《经典常谈》的单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买本《经典常谈》，则购买本《昆虫记》， ∵ 两种书籍总费用不超过1200元， ∴ ， 解得， ∵ 为非负整数， ∴ 的最大值为40， 答：最多可购买40本《经典常谈》． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点O． （1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留尺规作图痕迹） （2）在（1）的作图要求下， ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为8，，求的长． 【答案】（1）解：如图所示即为所作， （2）①证明：由作法知：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； ② 【解析】 【分析】（1）分别以D、C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，则,,则四边形四边形是平行四边形，所以，根据菱形的性质可知,则； （2）①由菱形的性质及作图即可证明；②由题意得是等边三角形，则，从而得的长，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①略； ②解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 19. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． （1）①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； （3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 【答案】（1）①三； ② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标，进而可得出亮点坐标所在象限；②联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标即可． （2）先求出一次函数图象的“亮点”坐标，然后再得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． （3）根据题意得出，求出点A，点B的坐标，进而得出，作点C关于直线对称的点，连接，，则，由垂直平分线的性质进一步得出，连接交直线与点P，此时，最后根据勾股定理即可得出． 【小问1详解】 解：①联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． ∴一次函数图象的“亮点”坐标在第三象限． ②联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． 【小问2详解】 解：联立方程得， 解得： ， ∵一次函数图象的“亮点”为， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 令，则，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点C关于直线对称的点，连接，， 则， ∴， ∴， 连接交直线于点P， 此时， ∴． 20. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）①；② （2）①解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使，连接， ， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）①小林的思路：证明，得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案；小红的思路：根据三角形中位线定理得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案； ②可证明，得到，再利用勾股定理求解即可； （2）①延长到点G，使，连接，由三角形中位线定理得到；证明，得到，则可得到； ②分两种情况：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，同（1）②证明即可得到答案． 【小问1详解】 解：①小林的思路：如图2，延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 小红的思路：如图3，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； ②如图2所示，当时，， 由（1）①得， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②∵等腰直角三角形中，，， ∴； 如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∴由（2）①可得； 如图所示，当点D在的延长线上时，延长到点M，使，连接， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $