第9讲 线的认识 课件+课后练（学生版+教师版）2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕“线的认识”，系统涵盖立体图形认识、正方体展开图、点线面体关系、直线射线线段概念及性质、线段比较与运算等核心知识点，通过生活实例导入，衔接小学几何基础，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以立体图形分类、展开图识别培养空间观念（数学眼光），线段中点及动点问题探究发展推理意识（数学思维），尺规作图和线段和差表示强化模型意识（数学语言）。例题分层设计，总结结构化，助力学生提升空间想象与逻辑推理，教师可直接用于教学提高效率。

【课后练】拔高-线的认识-学生版 一、单选题 1．下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，嘉淇制作了一个无盖的正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A． B． C． D． 3．“河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．将“河、海、不、择、细、流”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“河”字所在面相对的面上的字是（    ） A．不 B．择 C．细 D．流 4．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 6．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．两点确定一条直线 二、填空题 7．已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 8．如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 三、解答题 9．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 10．下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 11．如图，已知、在线段上． (1)图中共有___________条线段； (2)若是的中点，是的中点，求线段的长． 12．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 13．如图，点B、C把线段分成三部分，，P是的中点，且，求的长． 14．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-线的认识-学生版 一、单选题 1．下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，嘉淇制作了一个无盖的正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A． B． C． D． 3．“河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．将“河、海、不、择、细、流”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“河”字所在面相对的面上的字是（    ） A．不 B．择 C．细 D．流 4．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 6．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．两点确定一条直线 二、填空题 7．已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 三、解答题 8．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 9．下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 10．如图，已知、在线段上． (1)图中共有___________条线段； (2)若是的中点，是的中点，求线段的长． 11．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-线的认识-解析版 一、单选题 1．下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图相关知识，判断给定图形是否符合正方体展开图的特征，进而确定能否围成正方体，核心在于对正方体展开图结构特点的理解和识别． 正方体展开图有 11 种不同的形式，可以通过对这些形式的了解来判断给定的图形能否围成正方体． 【详解】A选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； B选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； C选项：经过观察可以发现，它不符合正方体展开图的 11 种形式，无论怎样尝试折叠，都无法围成一个完整的正方体； D选项图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠（想象或动手操作），可以发现能够围成一个正方体； 故选：C． 2．如图，嘉淇制作了一个无盖的正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．根据正方体的展开图特征即可解答． 【详解】解：此收纳盒的展开图是 故选：B． 3．“河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．将“河、海、不、择、细、流”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“河”字所在面相对的面上的字是（    ） A．不 B．择 C．细 D．流 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“河”字所在面相对的面上的汉字是“不”． 故选：A． 4．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由图形易判定C； 由，结合可判定D；现有条件无法判断B正确． 【详解】解：因为为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 即，故A正确； 由图可知，，故C正确； 因为，， 所以，故D正确； 现有条件无法判断，故B不正确． 故选：B． 5．如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质，直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】解：将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故选：D． 6．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识． 根据“剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小”，从而确定答案． 【详解】由于两点之间线段最短， 剩下树叶的周长比原树叶的周长小， 故选：B． 二、填空题 7．已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 8．如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点，线段和差，一元一次方程的应用，由，设，，，再由线段中点可得，，从而有，所以，然后通过解方程求出的值即可，掌握线段中点，线段和差是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点进行解答即可． 【详解】如图展开： 10．下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 11．如图，已知、在线段上． (1)图中共有___________条线段； (2)若是的中点，是的中点，求线段的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）两点确定一条线段，据此求解即可； （2）由线段中点的定义可得，再求出的长，再由线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：图中的线段有，共6条； （2）解：如图所示，，点是的中点， ， ， ， 又点是的中点， ． ． 12．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 13．如图，点B、C把线段分成三部分，，P是的中点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比例问题． 根据比例和中点定义求出，，即可求出的长． 【详解】解：∵，P是的中点，且， ∴，， ∴． 14．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4. (3)或3 (4)不发生变化，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）将点M表示的数为：，点N表示的数为，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为∶①10，；②，； （2）解：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， P、Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：t秒后，点P表示的数为， 点Q表示的数为，， 又， ， 或， 解得：或； （4）解：不发生变化，理由如下∶ 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为， ． 点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 线的认识 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 通过学习立体图形的知识，了解各种立体图形的分类、特征及表面形状，并能够识别和描述不同的立体图形。 02 掌握正方体和平面展开图的概念及关系，通过学习各种类型的正方体展开图，能够绘制和辨识正方体的平面展开图形。 03 理解直线、射线、线段的基本概念及其表示方法，能够区分不同类型的线及其性质，并掌握线段的比较方法和性质。 3 01 立体图形与平面图形 1 1 4 笔 记 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有个顶点，条棱，条侧棱，有个面，个侧面. 5 01常见的几何体 6 例题 例1． ★素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 7 解析 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的认识，根据常见几何体的特征结合选项，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，该作品中由几何体：棱锥，四棱柱，球体，圆柱， 则该作品中不存在的几何体是圆锥． 故选：B． 练一练 练1． ★下列几何体中，是圆锥的为（     ） 9 解析 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的认识，根据圆锥的定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：观察四个选项， 是圆锥的， 故选：B 02组合几何体的构成 11 例题 例1． ★在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 12 解析 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 练一练 练1． ★如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ． 14 解析 【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 03立体图形的分类 16 例题 例1． ★将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 17 解析 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 练一练 练1． ★下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 19 解析 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱． 属于棱柱的有：①③⑥； 故选：C 04几何体中的点、棱、面 21 例题 例1． ★如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 22 解析 【答案】 7 15 【分析】本题主要考查了立体图形的特点，认识立体图形的特点是解题的关键．根据图形可知此图形它有7个面，15条棱． 【详解】解：由图可知：如图所示的五棱柱，它有7个面，15条棱． 故答案为：7，15． 练一练 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 练1． ★ ★ ★ 欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 24 解析 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 05从不同方向看几何 26 例题 例1． ★如图所示立体图形都是由5个相同的小正方体摆成的，从右侧面看，（   ）和其他三个看到的形状不同． 27 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体所得到的平面图形．根据从右侧面看到的图形即可判断． 【详解】解：观察图形， 可知 和 从右侧面看到的图形为 ； 从右侧面看到的图形为 ； 则 和其他三个右面看到的形状不同． 故选：D． 解析 练一练 练1． ★笑笑在桌面上用小正方体搭了一个立体图形，从正面看是 从上面看是 ，从右面看是（    ）． 29 解析 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，先由从正面看、从上面看得到的图形得出这个立体图形，从而即可得解． 【详解】解：由题意可得：这个立体图形为：   故从右面看是 故选：B． 06几何体展开图的认识 31 例题 例1． ★下列图形经过折叠可以围成一个完整的正五棱柱的是（    ） 32 解析 【答案】D 【分析】本题考查几何体的展开图．熟记常见的几何体的展开图，是解题的关键．根据正六棱柱的展开图即可解答． 【详解】解：A、能围成一个无盖的正六棱柱，不符合题意； B、两个地面都是正五边形，不能围成正六棱柱；不符合题意； C、两个底面在同侧，不能围成正六棱柱；不符合题意； D、可以围成一个正五棱柱，符合题意 故选：D． 练一练 练1． ★如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 34 解析 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图．根据几何体的侧面展开图是三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】解：∵三棱柱的侧面展开图是三个矩形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 07由展开图计算几何体的表面积 36 例题 例1． ★ ★如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 37 解析 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 练一练 练1． ★ ★如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形且边长为，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 39 解析 【答案】(1)290平方厘米 (2)元 【分析】本题考查了几何体的表面积，正确的计算长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体表面积公式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （平方厘米）； 答：制作这样的包装盒需要290平方厘米的硬纸板 （2）1平方米平方厘米， （元）， 答：制作10个这的包装盒需花费元． 08由展开图计算几何体的体积 41 例题 例1． ★ ★ ★如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)图中与宽相等的线段有_____（用图中已标识的字母表示）； (2)①若设长方体的高为，则：长方体长为_____，宽为_____（用含的代数式子表示）； ②求长方体包装盒的体积． 42 解析 【答案】(1)，，；(2)①，；② 【分析】本题考查几何体的展开图,列代数式，一元一次方程的应用，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行解答即可； （2）①根据展开图中各个部分之间的关系进行计算即可； ②根据长方体体积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）图中与宽相等的线段有，，， 故答案为：，，； （2）①由表面展开图可知，宽高，长宽， 设长方体的高为，则长方体宽为 ，长为 ， 故答案为：，． ②∵长方体盒子的长是高的2倍 ∴ 解得： ∴长方体包装盒的体积为 练一练 练1． ★ ★ ★如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 升．（接头处忽略不计）（取） 44 解析 【答案】 【分析】本题考查圆柱的体积，掌握圆的周长及圆柱的体积公式是解题的关键． 设个水桶的底面直径为，则水桶的高为，根据“底面周长十直径=长方形的长”列方程并求解，再由圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解∶设个水桶的底面直径为，则水桶的高．根据题意，得 解得， 升 故答案为： 笔 记 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 46 09正方体几种展开图的识别 47 例题 例1． ★ ★从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是 ． 48 解析 【答案】欢 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据长方体的展开图有“”型、“”型、“”、“”型解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形． 故答案为：欢． 练一练 练1． ★ ★如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 50 【答案】D【分析】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图：   ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图：   ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图：   ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图：   ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 解析 10正方体相对两面上的字 52 例题 例1． ★ ★如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 。 53 解析 【答案】 2 【分析】本题考查正方体的展开图，相对面上的字，相反数的定义，利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出a、b、c的值． 【详解】解：∵该正方体相对面上的两个数互为相反数， ∴，，． 故答案为：，，2． 练一练 练1． ★ ★某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．多 B．乐 C．长 D．安 55 解析 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：在正方体的展开图中，相邻的两个面不可能相对，只有中间隔一个面的两个面才能相对， 图中与“喜”隔一个字的是“安”字， “喜”字所在面相对的面上的汉字是“安”字，． 故选：D． 11含图案的正方体的展开图 57 例题 例1． ★ ★如图所示的正方体的表面展开图是（    ） 58 解析 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟知正方体展开图的各种情形是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图求解即可． 【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，B选项折叠后“菱形”和“圆”是相对面且在上面和下面；C选项折叠后“五角星”在正前面时，“圆”在下面，D选项折叠后，当“菱形”和“圆”在左侧和右侧且相对．在正面时，“正方形”在上面，“圆”在右侧面，故选项B、C、D均不合题意， ∴是该正方体的展开图的是A选项． 故选：A． 练一练 练1． ★ ★若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（    ） 60 解析 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形以及平面展开图之间的关系，灵活运用空间想象力是解题的关键． 根据正方体的平面展开图的特点求解即可． 【详解】解：线段所在的面和线段所在的面在正方体中是相对的面，且与呈现异面垂直的位置关系， 只有选项符合要求． 故选：B ． 12求展开图上两点折叠后的距离 62 例题 例1． ★ ★如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 63 解析 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 练一练 练1． ★ ★如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置． 65 解析 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 13补一个面使图形围成正方体 67 例题 例1． ★ ★如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 68 解析 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 练一练 练1． ★ ★如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 70 解析 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 14平面图形形状的识别 72 例题 例1． ★ ★下列图形是平面图形的是（   ） 73 解析 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 练一练 练1． ★ ★如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 75 解析 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、三角形、正方形、长方形、梯形． 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 15用七巧板拼图形 77 例题 例1． ★ ★七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 78 解析 【答案】B 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是，故选：B． 练一练 练1． ★ ★如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 80 解析 【答案】25 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：25． 02 点、线、面、体 1 1 82 笔 记 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 83 01点、线、面、体四者之间的关系 84 例题 例1． ★ ★把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线，这说明点动成线，那么时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了 ． 85 解析 【答案】线动成面 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．由秒针是一条线，从而可得答案. 【详解】解：时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了线动成面． 故答案为：线动成面． 练一练 练1． ★ ★翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 87 解析 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，是基础题，需熟记，根据、线、面、体四者之间的关系解答即可． 【详解】解：翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了面动成体， 故选：C． 02平面图形旋转后所得的立体图形 89 例题 例1． ★如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（   ） 90 解析 【答案】B 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体之间的关系，理解面动成体是解题的关键． 根据题意可得图形绕虚线旋转一周得到上小下大的圆台，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是． 故选：B 练一练 练1． ★将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） 92 解析 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识，掌握常见几何体的形成是解题的关键．根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可． 【详解】解：A、平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体，故本选项符合题意； B、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； C、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； D、平面图形绕着虚线旋转一周，不能得到圆柱体，故本选项不符合题意； 故选：A 03截一个几何体 94 例题 例1． ★如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（    ） 95 解析 【答案】B 【分析】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．根据圆锥体的立体图形判断即可． 【详解】解：用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形， 故选：B． 练一练 练1． ★如图所示，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是 ，截得较小几何体形状是 ． 97 解析 【答案】 三角形 直三棱锥 【分析】本题考查了截几何体．根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是三角形，截得较小几何体形状是直三棱锥． 故答案为：三角形；直三棱锥． 03 直线、射线、线段 1 1 99 笔 记 名称 直线 射线 线段 图形       端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线 射线 射线AB 线段 线段𝐴𝐵（𝐵𝐴） 作法叙述 作直线 作直线𝐴𝐵 作射线 作射线𝐴𝐵 作线段 作线段𝐴𝐵 连接𝐴𝐵 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD. 基本概念： 100 笔 记 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 101 笔 记 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 102 01直线、射线、线段的联系与区别 103 例题 例1． ★下列图示中，直线表示方法正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④ 104 解析 【答案】D 【分析】本题考查了直线的表示方法，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线的表示方法进行判断即可； 【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确；用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确， 综上，直线表示方法正确的有①④， 故选：． 练一练 练1． ★对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） 106 【答案】B 【分析】根据线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点，解答即可， 本题考查了线段，直线，射线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： A.      都是线段，无法相交，不符合题意； B. 射线向一个方向无限伸展，可以相交，符合题意；     C.      线段，无法相交，不符合题意； D. 射线的方向不对，无法相交，不符合题意； 故选：B． 解析 02画出直线、射线、线段 108 例题 例1． ★ ★已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 109 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据题意连，与直线交于点； （3）根据题意连接，并延长线段与射线交于点； （4）根据题意连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【详解】（1）解：如图，线段，射线，直线即为所求；   （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图， 解析 练一练 练1． ★ ★如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 111 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 解析 03点与线的位置关系 113 例题 例1． ★如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 114 解析 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 练一练 练1． ★如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 116 解析 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 04直线、线段、射线的数量关系 118 例题 例1． ★ ★ ★探索题 如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有三个点时，线段总共有3条，如果线段上有4个点时，线段总数有6条，如果线段上有5个点时，线段总数共有10条，… 【观察思考】（1）当线段上有6个点时，线段总数共有______条． 【模型构建】（2）当线段上有n个点时，线段总数共有______条． 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： 十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ 119 解析 【答案】（1）15；（2）；（3）105次 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意确定出线段总数即可； （2）写出一般性规律即可； （3）归纳总结得到握手次数即可． 【详解】解：（1）当线段上有6个点时，线段总数共有条； 故答案为：15； （2）当线段上有n个点时，线段总数共有条； 故答案为： （4）一个会议，任两个人都要互相握手一次，则15个人一共握了次手． 故答案为：105 练一练 练1． ★ ★图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 121 解析 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的数量，根据线段的定义解答即可． 【详解】解：除C点外，还有3个点可以作为端点． 故以C为端点的线段共有3条． 故选：C． 05直线相交的交点个数问题 123 例题 例1． ★ ★ ★一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 124 解析 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 练一练 练1． ★ ★ ★在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 126 解析 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确；故选：A． 06线段的应用 128 例题 例1． ★生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 129 解析 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 练一练 练1． ★如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是 ． 131 解析 【答案】6 【分析】根据题意，结合图形求解即可． 【详解】从甲地其中一条线路到丙地有三条路线，从甲地另一条路线到丙地有三条路线，即从甲地到丙地共6条路线， 故答案为：6． 【点睛】此题在线段的基础上，着重培养学生的观察能力，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 07两点确定一条直线 133 例题 例1． ★将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 134 解析 【答案】A 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 练一练 练1． ★墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 136 解析 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 04 线段的比较与运算 1 1 138 笔 记 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 139 笔 记 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 140 笔 记 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单地：两点之间线段最短. 我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 141 笔 记 线段的和与差 如下图：线段上有一点， 则， 在这里线段表示线段的长度， 如表示长度与长度之和等于长度. 142 笔 记 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 如下图所示， 点是线段的中点，则，或． 【说明】若点是线段的中点，则点一定在线段上． 143 01 作线段（尺规作图） 144 例题 例1． ★ ★如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段， 使得．（不写作法，保留作图痕迹） 145 解析 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 练一练 练1． ★ ★如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段， 使．（不写作法，保留作图痕迹） 147 解析 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，先作射线，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，即可得出答案． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段． 02线段的和与差 149 例题 例1． ★ ★ ★如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上， 且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)比较线段的大小： _____（填“＞”、“＝”或“＜”）； (3)若，，求的长． 150 解析 【答案】(1)见解析(2)=(3)18 【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）由线段得出，即可得出结论； （3）由已知求出，得出，即可得出的长． 【详解】（1）解：如图所示，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点D，即为所求；  （2）∵， ∴， ∴；故答案为 =； （3）∵，， ∴∴， ∴ 故答案为18． 【点睛】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键． 练一练 练1． ★ ★ ★如图，点是线段延长线上的一点， 且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 152 解析 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设为，则为，为，由，求出，则，然后由即可求解； （）设为，则为，为，先求出，则，同（）理求出，则，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设为，则为，为， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：根据题意，设为，则为，为， ∵，，∴， ∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，即长为． 03线段中点的有关计算 154 例题 例1． ★ ★ ★如图，点B是线段上一点，且，． 点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 155 解析 【答案】(1)6(2)6 【分析】本题考查了线段定义，两点间的距离，掌握线段定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据线段定义解答即可； （2）根据已知，由，根据点O是线段的中点，即可求出的长，再根据进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，线段有：，共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 练一练 练1． ★ ★ ★已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 157 解析 【答案】(1)(2) 【分析】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． （1）根据题意得出，再根据线段的中点可得出，最后根据线段的和差即可得出． （2）设，根据题意可得出，，进一步得出，再根据线段的中点可得出，再根据得出x的值，进一步即可得出． 【详解】（1）解：解：如图1所示：   ，， 又 为线段的中点 解析 （2）解：如图2所示：  设 ， ，， 又 ， ， 又 ， ， 为线段的中点 又， 又， 解得：， ． 04线段n等分点的有关计算 160 例题 例1． ★ ★ ★已知线段，C是线段上任意一点 （不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，， 求的长度． 161 解析 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）∵M，N分别是的中点，∴，， ∴． ∵，∴； （2）∵，，∴，， ∴， ∵，∴； （3）∵，，∴． ∵，∴，∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 练一练 练1． ★ ★ ★ ★小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图， 点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 163 解析 【答案】(1)；(2) ； ； ． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，，， 点、分别是、的中点，，， ； 故答案为：； 解析 （2）因为、分别是、的中点，，， ， ，； 故答案为：； ，，，， ， ， ； ，，，， ， ， ， 故答案为：． 05与线段有关的动点问题 166 例题 例1． ★ ★ ★如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 167 解析 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，，故， 即， 当时，，即， 若，则， 可得出，则． 故答案为：． 解析 （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 练一练 练1． ★ ★ ★已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 170 解析 【答案】(1)，(2)①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，，∴，即， ∴，∴； 解析 （2）解：①如图所示．  ∵，，∴， ∴，， ∵点E为的中点，∴， ∵，∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时，  ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时，  ∵，，∴， ∵，∴，∴， 综上所述，的长为或． 本讲总结 173 本讲总结 174 本讲总结 175 课堂练习 练一练 课堂练1． ★圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱的高和半径比（    ） A． B． C． D． 177 解析 【答案】C 【分析】本题主要考查圆柱体的侧面展开图的形状，以及展开图的长和宽与圆柱体的底面周长和高的关系．由圆柱体的侧面展开图是一个正方形可知，圆柱体的高和底面周长相等，由此写出圆柱的高与底面半径的比． 【详解】解：设圆柱的底面半径为， 底面周长即圆柱的高， 圆柱的高和底面半径的比：． 故选：C． 练一练 课堂练2． ★图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A．1 B．2 C．4 D．5 179 解析 【答案】B 【分析】根据展开图中隔一相对的原理解答即可． 本题考查了展开图问题，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】解：根据展开图中隔一相对的原理，得６和２相对， 故选：B． 练一练 课堂练3． ★图中有 条线段． 181 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的定义，根据线段的定义求解即可． 【详解】解：如下图：   线段有：，，，，，，一共6条线段， 故答案为：6． 解析 练一练 课堂练4． ★ ★ ★观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 183 解析 【答案】（1）10；（2）；（3）①共握了1275次手；②共送了2550张． 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键． （1）根据线段的定义求解即可； （2）画图根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （3）①根据上面总结的规律求解即可； ②根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 图中共有（条）线段． 故答案为：10． （2）如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； …… 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为： ， 故答案为：； （3）①类比数线段的方法可知：（次） 答：共握了1275次手； ②∵送名片是相互的，类比数线段的方法可知：（张）． 答：共送了2550张． 解析 下节课再见～ 186 $ 【课后练】基础-线的认识-解析版 一、单选题 1．下面图形沿虚线不能围成一个正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图相关知识，判断给定图形是否符合正方体展开图的特征，进而确定能否围成正方体，核心在于对正方体展开图结构特点的理解和识别． 正方体展开图有 11 种不同的形式，可以通过对这些形式的了解来判断给定的图形能否围成正方体． 【详解】A选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； B选项：图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠，可以发现能够围成一个正方体； C选项：经过观察可以发现，它不符合正方体展开图的 11 种形式，无论怎样尝试折叠，都无法围成一个完整的正方体； D选项图形是“”型展开图，是正方体展开图的一种常见形式，通过实际折叠（想象或动手操作），可以发现能够围成一个正方体； 故选：C． 2．如图，嘉淇制作了一个无盖的正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．根据正方体的展开图特征即可解答． 【详解】解：此收纳盒的展开图是 故选：B． 3．“河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．将“河、海、不、择、细、流”六个字按如图所示的顺序书写在某个正方体的表面展开图上，将该正方体复原后，与“河”字所在面相对的面上的字是（    ） A．不 B．择 C．细 D．流 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“河”字所在面相对的面上的汉字是“不”． 故选：A． 4．如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由图形易判定C； 由，结合可判定D；现有条件无法判断B正确． 【详解】解：因为为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 即，故A正确； 由图可知，，故C正确； 因为，， 所以，故D正确； 现有条件无法判断，故B不正确． 故选：B． 5．如图，将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质，直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】解：将一张三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故选：D． 6．如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识． 根据“剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小”，从而确定答案． 【详解】由于两点之间线段最短， 剩下树叶的周长比原树叶的周长小， 故选：B． 二、填空题 7．已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 三、解答题 8．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点进行解答即可． 【详解】如图展开： 9．下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 10．如图，已知、在线段上． (1)图中共有___________条线段； (2)若是的中点，是的中点，求线段的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）两点确定一条线段，据此求解即可； （2）由线段中点的定义可得，再求出的长，再由线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：图中的线段有，共6条； （2）解：如图所示，，点是的中点， ， ， ， 又点是的中点， ． ． 11．已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 线的认识 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 通过学习立体图形的知识，了解各种立体图形的分类、特征及表面形状，并能够识别和描述不同的立体图形。 02 掌握正方体和平面展开图的概念及关系，通过学习各种类型的正方体展开图，能够绘制和辨识正方体的平面展开图形。 03 理解直线、射线、线段的基本概念及其表示方法，能够区分不同类型的线及其性质，并掌握线段的比较方法和性质。 3 01 立体图形与平面图形 1 1 4 笔 记 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有个顶点，条棱，条侧棱，有个面，个侧面. 5 01常见的几何体 6 例题 例1． ★素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 7 练一练 练1． ★下列几何体中，是圆锥的为（     ） 8 02组合几何体的构成 9 例题 例1． ★在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 10 练一练 练1． ★如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ． 11 03立体图形的分类 12 例题 例1． ★将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 13 练一练 练1． ★下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 14 04几何体中的点、棱、面 15 例题 例1． ★如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 16 练一练 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 练1． ★ ★ ★ 欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 17 05从不同方向看几何 18 例题 例1． ★如图所示立体图形都是由5个相同的小正方体摆成的，从右侧面看，（   ）和其他三个看到的形状不同． 19 练一练 练1． ★笑笑在桌面上用小正方体搭了一个立体图形，从正面看是 从上面看是 ，从右面看是（    ）． 20 06几何体展开图的认识 21 例题 例1． ★下列图形经过折叠可以围成一个完整的正五棱柱的是（    ） 22 练一练 练1． ★如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 23 07由展开图计算几何体的表面积 24 例题 例1． ★ ★如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 25 练一练 练1． ★ ★如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形且边长为，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 26 08由展开图计算几何体的体积 27 例题 例1． ★ ★ ★如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)图中与宽相等的线段有_____（用图中已标识的字母表示）； (2)①若设长方体的高为，则：长方体长为_____，宽为_____（用含的代数式子表示）； ②求长方体包装盒的体积． 28 练一练 练1． ★ ★ ★如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 升．（接头处忽略不计）（取） 29 笔 记 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 30 09正方体几种展开图的识别 31 例题 例1． ★ ★从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是 ． 32 练一练 练1． ★ ★如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 33 10正方体相对两面上的字 34 例题 例1． ★ ★如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则 ， 。 35 练一练 练1． ★ ★某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．多 B．乐 C．长 D．安 36 11含图案的正方体的展开图 37 例题 例1． ★ ★如图所示的正方体的表面展开图是（    ） 38 练一练 练1． ★ ★若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（    ） 39 12求展开图上两点折叠后的距离 40 例题 例1． ★ ★如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 41 练一练 练1． ★ ★如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置． 42 13补一个面使图形围成正方体 43 例题 例1． ★ ★如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 44 练一练 练1． ★ ★如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 45 14平面图形形状的识别 46 例题 例1． ★ ★下列图形是平面图形的是（   ） 47 练一练 练1． ★ ★如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 48 15用七巧板拼图形 49 例题 例1． ★ ★七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 50 练一练 练1． ★ ★如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 51 02 点、线、面、体 1 1 52 笔 记 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 53 01点、线、面、体四者之间的关系 54 例题 例1． ★ ★把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线，这说明点动成线，那么时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了 ． 55 练一练 练1． ★ ★翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 56 02平面图形旋转后所得的立体图形 57 例题 例1． ★如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的立体图形是（   ） 58 练一练 练1． ★将下面四个平面图形绕着虚线旋转一周，能得到圆柱体的是（   ） 59 03截一个几何体 60 例题 例1． ★如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（    ） 61 练一练 练1． ★如图所示，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是 ，截得较小几何体形状是 ． 62 03 直线、射线、线段 1 1 63 笔 记 名称 直线 射线 线段 图形       端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线 射线 射线AB 线段 线段𝐴𝐵（𝐵𝐴） 作法叙述 作直线 作直线𝐴𝐵 作射线 作射线𝐴𝐵 作线段 作线段𝐴𝐵 连接𝐴𝐵 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 直线的概念与性质 1.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD. 基本概念： 64 笔 记 2.直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 65 笔 记 射线、线段的概念 1.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 2.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 66 01直线、射线、线段的联系与区别 67 例题 例1． ★下列图示中，直线表示方法正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④ 68 练一练 练1． ★对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） 69 02画出直线、射线、线段 70 例题 例1． ★ ★已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 71 练一练 练1． ★ ★如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 72 03点与线的位置关系 73 例题 例1． ★如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 74 练一练 练1． ★如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 75 04直线、线段、射线的数量关系 76 例题 例1． ★ ★ ★探索题 如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有三个点时，线段总共有3条，如果线段上有4个点时，线段总数有6条，如果线段上有5个点时，线段总数共有10条，… 【观察思考】（1）当线段上有6个点时，线段总数共有______条． 【模型构建】（2）当线段上有n个点时，线段总数共有______条． 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： 十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ 77 练一练 练1． ★ ★图中以为端点的线段有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 78 05直线相交的交点个数问题 79 例题 例1． ★ ★ ★一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 80 练一练 练1． ★ ★ ★在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 81 06线段的应用 82 例题 例1． ★生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 83 练一练 练1． ★如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是 ． 84 07两点确定一条直线 85 例题 例1． ★将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 86 练一练 练1． ★墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 87 04 线段的比较与运算 1 1 88 笔 记 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 89 笔 记 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 90 笔 记 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短. 简单地：两点之间线段最短. 我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 91 笔 记 线段的和与差 如下图：线段上有一点， 则， 在这里线段表示线段的长度， 如表示长度与长度之和等于长度. 92 笔 记 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 如下图所示， 点是线段的中点，则，或． 【说明】若点是线段的中点，则点一定在线段上． 93 01 作线段（尺规作图） 94 例题 例1． ★ ★如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段， 使得．（不写作法，保留作图痕迹） 95 练一练 练1． ★ ★如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段， 使．（不写作法，保留作图痕迹） 96 02线段的和与差 97 例题 例1． ★ ★ ★如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上， 且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)比较线段的大小： _____（填“＞”、“＝”或“＜”）； (3)若，，求的长． 98 练一练 练1． ★ ★ ★如图，点是线段延长线上的一点， 且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 99 03线段中点的有关计算 100 例题 例1． ★ ★ ★如图，点B是线段上一点，且，． 点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 101 练一练 练1． ★ ★ ★已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 102 04线段n等分点的有关计算 103 例题 例1． ★ ★ ★已知线段，C是线段上任意一点 （不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，， 求的长度． 104 练一练 练1． ★ ★ ★ ★小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图， 点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 105 05与线段有关的动点问题 106 例题 例1． ★ ★ ★如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 107 练一练 练1． ★ ★ ★已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 108 本讲总结 109 本讲总结 110 本讲总结 111 课堂练习 练一练 课堂练1． ★圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱的高和半径比（    ） A． B． C． D． 113 练一练 课堂练2． ★图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A．1 B．2 C．4 D．5 114 练一练 课堂练3． ★图中有 条线段． 115 练一练 课堂练4． ★ ★ ★观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 116 下节课再见～ 117 $