4.1 第1课时 数列的概念及通项公式 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以A/B/C三级分层设计，构建"基础巩固→能力提升→素养创新"的梯度路径，全面覆盖数列概念及通项公式核心知识点，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|数列概念、通项公式简单应用|多选题（如第1题）辨析概念，填空题（如第6题）夯实运算，培养抽象能力| |B级|数列单调性、递推关系综合应用|新定义运算（第12题）、综合解答（第14题）提升推理能力，深化逻辑思维| |C级|数学文化、性质证明创新应用|大衍数列（第15题）渗透文化，证明题（第16题）培养创新意识与理性精神|

4.1　数列 第1课时　数列的概念及通项公式 A级　必备知识基础练 1.(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．数列的通项公式不是唯一的 B．每个数列都有通项公式 C．数列可以看作一个定义在正整数集上的函数 D．数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点 2.在数列{an}中，若an=3n－1，则a2等于(　　) A.2　　 B.3 C.9　　 D.32 3.数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是(　　) A．an=(－1)n•2n B．an=(－1)n•2n C．an=(－1)n＋1•2n D．an=(－1)n＋1•2n 4.已知数列{an}的通项公式为an=2n＋1，则33是这个数列的(　　) A．第3项　　 B．第4项 C．第5项　　 D．第6项 5.(多选题)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，…，，… B．sin，sin，sin，…，sin，… C．－1，－，－，－，…，－，… D．1，，，…，，… 6.已知数列{an}的通项公式是an=n2＋1，则122是该数列的第　　　　项． 7.(2025南京高二调研)数列{an}是递增数列，且an=则实数t的取值范围是　　　　． 8.写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)1，2，3，4，…； (3)5，55，555，5 555，…； (4)，－1，，－，，…； (5)0，，，，…． 9.数列{an}的通项公式是an=n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ B级　关键能力提升练 10.已知数列{an}的通项公式是an=n2－7n＋6(n∈N，n≥1)，若这个数列从第n项起各项均为正数，则n为(　　) A．6　　 B．7　　 C．8　　 D．9 11.给出以下通项公式： ①an=[1－(－1)n]；②an=；③an=其中可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是(　　) A．①②　 B．②③ C．①③　　 D．①②③ 12.已知“*”表示一种运算，定义如下关系：①1*a=1；②(n＋1)*a=2(n*a)，n∈N*，则n*a等于(　　) A．2n－1　　 B．2n＋1　　 C．2n－1　　 D．2n 13.(2025启东高二质检)数列{an}满足an＋1＞an，a2n=2an＋1，写出一个符合上述条件的数列{an}的通项公式为　　　　． 14.已知数列． (1)求这个数列的第10项． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． (4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． C级　学科素养创新练 15.大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为(　　) A．648　　 B．722　　 C．800　　 D．882 16.已知数列A：a1，a2，…，an(0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3)具有性质P：对任意i，j(1≤i≤j≤n)，ai＋aj与aj－ai两数中至少有一个是该数列中的一项． (1)求证：数列0，2，4，6具有性质P； (2)若数列A具有性质P，求a1. 答案： 1.AD　2.B　3.C　4.C 5.CD　解析　选项C，D既是无穷数列又是递增数列． 6.11 7.(，3)　解析　因为an={an}是递增数列， 所以解得＜t＜3，所以实数t的取值范围为(，3)． 8.解　(1)数列的前几项可记为21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，…，所以该数列的一个通项公式为an=2n＋1(n∈N*)． (2)数列的整数部分1，2，3，4，…，n，…恰好是序号n，分数部分，，，，…与序号n的关系为，所以该数列的一个通项公式为an=n＋=(n∈N*)． (3)将原数列改写为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为an=10n－1，所以该数列的一个通项公式为an=(10n－1)(n∈N*)． (4)数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式(－1)n＋1． 第2项－1改写成－后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号n的关系可记为2n＋1. 而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号n的关系可记为n2＋1，所以该数列的一个通项公式为an=(－1)n＋1•(n∈N*)． (5)因为5=22＋1，10=32＋1，17=42＋1，所以该数列的一个通项公式为an=(n∈N*)． 9.解　(1)因为an=n2－7n＋6，所以a4=42－7×4＋6=－6. (2)令an=n2－7n＋6=150，即n2－7n－144=0，解得n=16或n=－9(舍去)，所以150是这个数列的项，是第16项． 10.B　11.D 12.C　解析　∵1*a=1， ∴由②，令n=1，则2*a=2(1*a)=2；令n=2，则3*a=2(2*a)=4；令n=3，则4*a=2(3*a)=8，…，n*a=2n－1． 13.an=n－1(答案不唯一)　解析　由a2n=2an＋1得a2n＋1=2(an＋1)， 则当an=n－1时，an＋1=n， ∴a2n＋1=2n，故an=n－1(n∈N*)满足递推关系，又an＋1－an=n－(n－1)=1＞0，满足an＋1＞an， ∴满足条件的数列{an}的一个通项公式为an=n－1. 14.(1)解　设an=f(n)===，则a10=f(10)=． (2)解　不是．理由：令=，得9n=300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明 因为an==1－， 所以0＜1－＜1，所以0＜an＜1，所以数列中的各项都在区间(0，1)内． (4)解　令＜an=＜，即所以所以当且仅当n=2时，满足条件，故在区间内有数列中的项，且只有一项，为a2=． 15.C　解析　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800. 16.解　(1)数列0，2，4，6中，(2＋0，2－0)，(4＋0，4－0)，(6＋0，6－0)，(4＋2，4－2)，(6＋2，6－2)，(6＋4，6－4)这6组数都满足aj＋ai和aj－ai(1≤i≤j≤4)两数中至少有一个是该数列中的一项，且当i=j时，ai－aj=0，0在该数列中，所以数列0，2，4，6具有性质P． (2)若数列A具有性质P，则an＋an=2an与an－an=0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项， ∴0是该数列中的项，∴a1=0. 4 学科网（北京）股份有限公司 $