4.1数列（七大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.1数列 题型一：数列的概念及辨析 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 题型二：根据规律填写数列中的某项 3.已知数列，则是这个数列的（    ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 4．（22-23高二上·江苏南京·期末）观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于 题型三：数列周期性的应用 5．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列中，，，则 . 题型四：根据数列的单调性求参数 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 12．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是 ． 13.已知数列满足 且数列是单调递增数列，则的取值范围是 . 题型五：判断或写出数列中的项 14．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 15．（22-23高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 16．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 17.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对任意p、q∈N*，都有Sp＋Sq＝Sp+q，则a2020＝ ． 题型六：写出数列中的项的方法 18．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）设数列的前项和，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 19．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，若，则 . 题型七：求数列通项公式的方法 25．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 29．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为 . 30．（24-25高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 31．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 32．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·江苏南通·期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，2，3，5，8，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，已知，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．数列{}的通项公式满足（），下列描述中正确的有（    ） A．当时，数列{}一定有最大值 B．当时，数列{}为递减数列 C．当时，数列{}为递减数列 D．当，且为整数时，数列{}必存在两项相等的最大项 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列叫斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是（    ） A．b2021＝1 B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则 . 11．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 13．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1数列 题型一：数列的概念及辨析 1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】D 【详解】，故为第23项. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 【答案】C 【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数， 又，故该数列前2024项有个奇数. 故选：C 题型二：根据规律填写数列中的某项 3.已知数列，则是这个数列的（    ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 【答案】D 【详解】根据题意，由，得，故是这个数列的第25项. 故选：D. 4．（22-23高二上·江苏南京·期末）观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于 【答案】 【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式， 由，所以该数列的第11项为． 故答案为：． 题型三：数列周期性的应用 5．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，，，，，…… 所以数列为周期数列，周期为2， 所以 故选：B 6．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，. 故选：C 7．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】由已知得，，， 由此可知数列是周期为的周期数列， 由于，则， 故选：. 8．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列中，，，则 . 【答案】 【详解】由已知可得，，，，， 且， 故数列为周期数列，且周期为， 所以，. 故答案为：. 题型四：根据数列的单调性求参数 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，解得. 故选：C. 11．（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【详解】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 12．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得数列单调递减，则 解得， 故答案为： 13.已知数列满足 且数列是单调递增数列，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：因为数列是单调递增数列, 所以，即，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 题型五：判断或写出数列中的项 14．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 15．（22-23高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】A 【详解】依题意，. 故选：A 16．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 17.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对任意p、q∈N*，都有Sp＋Sq＝Sp+q，则a2020＝ ． 【答案】1 【详解】因为，令，则，即，故，所以， 故答案为：1. 题型六：写出数列中的项的方法 18．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）设数列的前项和，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求项 【详解】，， 故. 故选：D 19．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案. 【详解】由，则，，，. 故选：C. 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】探索数列奇数项的特点，可求的值. 【详解】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以. 故选：A 21．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】可根据数列的递推公式，由首项逐步求出、，进而求出 【详解】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是. 故选：A. 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可得递推公式，然后由递推公式可求得结果. 【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈， 一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈， 所以有，， 又因为，，所以，，，， ，，，，，． 故选：A． 23．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求项 【分析】根据给定的递推公式，结合前项和的意义，求出即可得解. 【详解】在数列中，由，得，则， 由，得， ，所以. 故答案为： 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，若，则 . 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式代入求，再代入求. 【详解】因为，所以，，所以，． 故答案为： 题型七：求数列通项公式的方法 25．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】观察法求数列通项 【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 26．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】采用排除法以及检验法即可得解. 【详解】当时，，故排除D，当时，，故排除BC，经检验A选项符合题意. 故选：A. 27．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 28．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 29．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 30．（24-25高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由题中条件，得到数列递减，且前项的和最大，直接写出适当的数列即可. 【详解】由，知，数列单调递减， 又，即最大，所以可取； 故答案为：(答案不唯一) 31．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】令求出的值，再利用…，…，相减求出，验证首项即可． 【详解】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 32．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】数列通项公式求解、构造法求数列通项 【分析】依题意可得，即，即可得到的特征方程为，求出方程的根，则设数列的通项公式为，根据、得到方程组，求出，即可得到的通项公式； 【详解】解：因为，， 所以， 所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或， 所以可设数列的通项公式为，因为，， 所以，所以，解得， 所以，所以； 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据并利用可得， ， ，，… 所以可得数列是周期为3的周期数列， 即. 故选：D 4．（22-23高二上·江苏南通·期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，2，3，5，8，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， 又因为， 由，得， 所以，，，， 将这个式子左右两边分别相加可得:， 所以． 所以 ． 故选:C． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）在数列中，已知，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 数列为递增数列. ∵， ∴，，，，， ，，，， ，，，， ，，，， . 故选：B. 二、多选题 6．数列{}的通项公式满足（），下列描述中正确的有（    ） A．当时，数列{}一定有最大值 B．当时，数列{}为递减数列 C．当时，数列{}为递减数列 D．当，且为整数时，数列{}必存在两项相等的最大项 【答案】ACD 【详解】由题意只需考虑的情况： 由， 可知， 当时，，当时，数列递减，所以{}一定有最大值，故A正确； 当时，，故故数列不是递减数列，故B错误； 当时，，所以时，数列为递减数列，故C正确； 设，当，即时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，，最大项为 所以数列{}必存在两项相等的最大项，故D正确. 故选：ACD 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列叫斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是（    ） A．b2021＝1 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A： 由此归纳得：数列是以6为最小正周期的数列,又2021=6×336+5,所以.故A正确； 对于B：斐波那契数列总有，所以,所以.故B正确； 对于选项C：.故C错误； 对于D：因为,所以 所以 . 故D正确. 故选：ABD 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】BD 【详解】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，. 当时，. 因为， 所以，. 故答案为：. 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则 . 【答案】5 【详解】中，令得， 因为，所以， 当时，， 即， 因为，所以，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ……， 依次计算，可得为周期数列，一个周期为6， 其中， 所以. 故答案为：5 11．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 【答案】 【详解】由，， 得，，，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以数列的前99项和为. 故答案为：；. 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 【详解】（1）整数数列满足， 因为，而为偶数，因此，解得，符合题意， 当为奇数时，，显然为偶数，因此，解得，不满足， 当为偶数时，，解得，若为奇数，则；若为偶数，则， 所以或. （2）首先，否则，记为中第一个小于等于0的项， 则或，从而，与的最小性矛盾， 记为的最小值，则为奇数并且， 根据的最小性，知，根据知， 显然第一个1后面的项为2，1，2，1，2，…周期性出现， 所以数列中总包含无穷多等于1的项. 13．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $