4.1　第2课时　数列的递推公式课时练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“数列的递推公式”新授课同步练，通过三级分层设计，构建“概念理解-逻辑推理-综合创新”的知识巩固路径，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|递推公式直接应用、周期数列、累乘法求通项、简单单调性分析|以选择填空为主，如第3题周期数列计算，巩固基础运算能力| |B级|充分必要条件判断、分形几何应用、不等式恒成立、综合递推与参数问题|结合实际情境（第11题分形几何），提升逻辑推理与数学建模能力| |C级|新定义“差递减数列”辨析、性质T创新探究|通过多选题（第15题）和开放探究题（第16题），培养数学抽象与创新意识|

4.1第2课时　数列的递推公式 A级　必备知识基础练 1.已知数列{an}满足a1=－，an=1－(n＞1)，则a4等于(　　) A．　　 B． C．－　　 D． 2.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是(　　) A．an＋1=an＋n B．an=an－1＋n(n≥2) C．an＋1=an＋(n＋1)(n≥2) D．an=an－1＋(n－1)(n≥2) 3.(2025如东高二月考)若数列{an}满足an＋1=1－，且a1=2，则a2 026=(　　) A．－1　　 B．2 C．　　 D． 4.(2025宿迁高二月考)已知a1=1，an=n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an=(　　) A．2n－1　　 B．()n＋1　　 C．n2　　 D．n 5.已知数列{an}满足an=，n为正整数，则该数列中的最大项是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，若a1=1，且an=则解下6个环所需的最少移动次数为　　　　． 7.已知数列{an}满足a1=a，an＋1=(n∈N*)．若数列{an}是常数列，则a=　　　　． 8.设{an}是首项为1的数列，且anan＋1=2n． (1)求a10； (2)归纳猜想a2n． 9.已知数列{an}的通项公式是an=(n＋1)•()n，n∈N*．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． B级　关键能力提升练 10.在数列{an}中，已知an=n2＋λn(n∈N*)，则“a1＜a2”是“{an}是单调递增数列”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 11.分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为an，则a6=(　　) 图1 图2 A.55　　 B.58　　 C.60　　 D.62 12.若不等式(－1)nna＜n＋(－1)n＋1对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，)　　 B．[－1，) C．[－2，)　　 D．(－2，) 13.若数列{an}为单调递增数列，且an=2n－1＋，则a3的取值范围为　　　　． 14.已知在数列{an}中，a1=4，且当n≥2时，nan=2(n＋1)an－1． (1)试求a2，a3，a4的值，并归纳出数列{an}的通项公式； (2)若不等式2n2－n－3＜(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围． C级　学科素养创新练 15.(多选题)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　) A．an=3n　　 B．an=n2＋1 C．an=　　 D．an=ln 16.已知无穷数列{an}，若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n，an＋1，an＋2，…，an＋t中至少有一个等于an，则称数列{an}具有性质T，集合P={p|p=an，n∈N*}． (1)若an=(－1)n，判断数列{an}是否具有性质T； (2)数列{an}具有性质T，且a1=1，a4=3，a8=2，P={1，2，3}，求a11，a14的值． 答案： 1.C　2.B 3.B　解析　an＋1=1－，所以an＋2=1－=－， 所以an＋3=1－=1＋=an，所以数列周期为3， 由a1=2，可得a2=，a3=－1，a4=2，所以a2 026=a675×3＋1=a1=2.故选B． 4.D　解析　由an=n(an＋1－an)，得(n＋1)an=nan＋1，即=， 则=，=，=，…，=，n≥2，由累乘法可得=n，所以an=n，n≥2，又a1=1，符合上式，所以an=n．故选D． 5.B　解析　因为函数y==在x∈(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以当1≤n≤2时，数列{an}递增，当n≥3时，数列{an}递减，又an=，得a2=，a3=，所以该数列的最大项是．故选B． 6.31　解析　∵a1=1， an= ∴a2=2a1－1=1，a3=2a2＋2=4，a4=2a3－1=7，a5=2a4＋2=16，a6=2a5－1=31， ∴解下6个环所需的最少移动次数为31. 7.－2　解析　∵数列{an}满足a1=a，an＋1=(n∈N*)，∴a2=． ∵数列{an}是常数列，∴a=，解得a=－2. 8.解　(1)由anan＋1=2n，a1=1，则a2=2，且=，解得=2， 所以a10=••••a2=a2•24=32. (2)a2n=••…••a2=a2•2n－1=2n． 9.解　方法一　an＋1－an=(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n=， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n=9时，an＋1－an=0，即an＋1=an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an． 则a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10，且a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×()9. 方法二　根据题意，令即解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×()9. 10.C　解析　若在数列{an}中，已知an=n2＋λn，n∈N*，a1＜a2，则1＋λ＜4＋2λ，解得λ＞－3.若在数列{an}中，已知an=n2＋λn，n∈N*，{an}是单调递增数列，则对任意的n∈N*都满足：an＋1－an=(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn=1＋2n＋λ＞0，则λ＞－1－2n，则λ＞(－1－2n)max=－3，故“a1＜a2”是“{an}是单调递增数列”的充要条件．故选C． 11.A　解析　已知an表示第n行中的黑圈个数，设bn表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈， ∴an＋1=2an＋bn，bn＋1=an＋bn， ∴a1=0，b1=1； a2=1，b2=1； a3=2×1＋1=3，b3=1＋1=2； a4=2×3＋2=8，b4=3＋2=5； a5=2×8＋5=21，b5=8＋5=13； a6=2×21＋13=55. 12.B　解析　①当n为偶数时，(－1)nna＜n＋(－1)n＋1恒成立，即转化为a＜1－恒成立，而数列an=1－是递增数列，故n=2时，(1－)min=，故a＜； ②当n为奇数时，(－1)nna＜n＋(－1)n＋1恒成立，即－a＜1＋，转化为a＞－1－恒成立，而数列bn=－1－是递增数列，n为奇数时，－1－∈[－2，－1)，故a≥－1. 综上可得a的取值范围为[－1，)． 13.(－∞，6)　解析　当n≥2时，an－an－1=2n－1＋－(2n－3＋)=2－，因为数列{an}为单调递增数列，所以2－＞0对n≥2(n∈N)恒成立，即λ＜2n＋1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，所以a3=5＋＜6，故a3的取值范围为(－∞，6)． 14.解　(1)当n=2时，2a2=2(2＋1)a1，所以a2=4×3=12；当n=3时，3a3=2(3＋1)a2，所以a3=8×4=32；当n=4 时，4a4=2(4＋1)a3，所a4=16×5=80，所以an=2n(n＋1)． (2)2n2－n－3=(n＋1)(2n－3)＜(5－λ)(n＋1)2n对任意的n∈N*恒成立，即5－λ＞对任意的n∈N*恒成立．记bn=，故b1=－＜0，所以当n≥2时，bn＞0，且=，所以=，即b3＞b2，当n≥3时，=＋≤＋=＜1，即随着n的增大，{bn}单调递减，所以{bn}的最大值为b3=，所以5－λ＞，即λ＜，故λ的取值范围为(－∞，)． 15.CD　解析　对A，若an=3n，则an＋1－an=3(n＋1)－3n=3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对B，若an=n2＋1，则an＋1－an=(n＋1)2－n2=2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对C，若an=，则an＋1－an=－=，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对D，若an=ln，则an＋1－an=ln－ln=ln(•)=ln(1＋)，由函数y=ln(1＋)在(0，＋∞)上单调递减，所以数列{an＋1－an}为递减数列，故D正确． 16.解 (1)因为an=(－1)n=数列{an}是由2个不同元素组成的无穷数列，即－1，1，－1，1，…，是周期为2的周期数列，故t=2，所以对于任意的正整数n，有an＋2=an，满足性质T的条件，故数列{an}具有性质T． (2)由a1=1，a4=3，a8=2，P={1，2，3}，可知t=3.考虑a8后面连续三项a9，a10，a11．假设a11≠2，由a8=2及性质T知，a9，a10中必有一个数为2，所以a8，a9，a10中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设i(i=1或3)，考虑a1，a2，…，a7中，最后一个等于i的项，则该项的后三项均不等于i，不满足性质T的条件，矛盾，所以a11=2.同理可知，a14=2. 学科网（北京）股份有限公司 $