4.3.2 等比数列的通项公式（第2课时 等比数列的性质及应用）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.3.2　等比数列的通项公式 第2课时　等比数列的性质及应用 一、基础达标练 1.已知等比数列{an}满足a3=,a5=3,则a9=(　　) A.-243 B.27 C.81 D.243 2.在正项等比数列{an}中,a2=2,a4=8,则a1a7=(　　) A.4 B.8 C.32 D.64 3.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a2+a3=14,a1a2a3=64,则公比q=(　　) A. B.1 C.2 D.4 4.在各项为正数的等比数列{an}中,若a3=1,a9=9,则a2a4a6a8a10=(　　) A.27 B.81 C.243 D.729 5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个正数,使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则,插入的第四个数应为(　　) A. B. C. D. 6.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3·a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=　　　　　.  7.已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,b2(a2-a1)的值为　　　　　.  8.有四个数,前三个数成等差数列,它们的和为12,后三个数成等比数列,它们的和为19,求这四个数. 二、能力提升练 9.已知{an}(n∈N*)为等比数列,则“a1<a2”是“{an}为递增数列”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 10.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(多选题)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an+1an+2an+3=324,则(　　) A.q2=3 B.=4 C.a4a6=2 D.n=12 12.(多选题)已知等比数列{an},则下列式子对任意正整数k都成立的是(　　) A.akak+1>0 B.akak+2>0 C.akak+1ak+2>0 D.akak+1ak+2ak+3>0 13.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数R0=3,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为(　　) 注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这(R0+1)个人每个人再传染R0个人为第二轮传染. A.5 B.6 C.7 D.8 14.写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式:an=　　　　　.  ①数列{an}是无穷等比数列; ②数列{an}不单调; ③数列{|an|}单调递减. 15.设数列{an}是各项均为正数的等比数列,Tn是{an}的前n项之积,a2=27,a3a6a9=,则当Tn最大时,n的值为　　　　　.  16.已知在各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,求证:a1,a3,a5成等比数列. 17.某企业年初在一个项目上投资2 000万元,据市场调查,每年获得的利润为投资的50%,为了企业长远发展,每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造,其余继续投入该项目.设经过n(n∈N*)年后,该项目的资金为an万元. (1)求a1和a2的值; (2)求证:数列{an-1 000}为等比数列; (3)若该项目的资金达到翻一番,至少经过几年?(lg 3≈0.5,lg 2≈0.3) 三、拓展探究练 18.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a6=2,a4+a5=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a1a3a5…a2n-1,n∈N*,求数列{bn}的最大项. 参考答案 1.D　2.D　3.C　4.C　5.C 6.2n-4(答案不唯一)　7.-8 8.解 由于前三个数成等差数列,且它们的和为12,则第二个数为4.设前三个数分别为4-d,4,4+d,由于后三个数成等比数列,则第四个数为. 由后三个数之和为19,得4+(4+d)+=19,整理得d2+12d-28=0,解得d=2或d=-14. 若d=2,则这四个数分别为2,4,6,9; 若d=-14,则这四个数分别为18,4,-10,25.因此,这四个数分别为2,4,6,9或18,4,-10,25. 9.A　10.C　11.BD　12.BD　13.B 14.(答案不唯一) 15.4或5　解析 设等比数列{an}的公比为q,则a3·a6·a9=,可得a6=,所以q=,所以an=a2qn-2=27×=35-n,令an=35-n≥1,解得n≤5,故当Tn最大时,n=4或5. 16.证明 由已知,得2a2=a1+a3,　① =a2a4,　② ,　③ 由③得, 所以a4=.　④ 由①得a2=.　⑤ 将④⑤代入②,得, 所以a3=,即a3(a3+a5)=a5(a1+a3),化简,得=a1a5. 又a1,a3,a5均不为0, 所以a1,a3,a5成等比数列. 17.(1)解 由题意知a1=2 000(1+50%)-500=2 500,a2=2 500(1+50%)-500=3 250. (2)证明 由题意知an=(1+50%)an-1-500(n≥2),即an=an-1-500,所以an-1 000=(an-1-1 000)(n≥2).由a1-1 000=1 500,所以数列{an-1 000}的首项为a1-1 000=1 500,所以{an-1 000}是首项为1 500,公比为的等比数列. (3)解 由(2)知an-1 000=1 500·,所以an=1 500·+1 000.当an≥4 000时,得≥2. 两边取常用对数得(n-1)lg≥lg 2,所以n-1≥,所以n≥2.5,因为n∈N*,所以n≥3.即至少经过3年,该项目的资金达到翻一番. 18.解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a6=2,a4+a5=12, 所以a4+a5==12,所以6q2-q-1=(2q-1)(3q+1)=0. 因为q>0,所以q=,所以an=a6qn-6=2×=27-n. (2)bn=a1a3a5·…·a2n-1=26×24×22×…×28-2n=,所以{bn}的最大项为b3=b4=4 096. 6 学科网（北京）股份有限公司 $