第12讲 七年级数学上册知识梳理 课件+课后练（学生版+教师版）2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件系统梳理有理数、代数式、整式加减、一元一次方程及几何图形初步核心知识，通过知识梳理与学习目标明确方向，以概念定义、性质法则、例题应用为递进支架，构建从基础到综合的学习脉络。 其亮点在于知识点分层呈现结合例题与练一练，培养抽象能力（如有理数分类）、运算能力（如整式化简求值）、几何直观（如立体图形展开图），助力学生夯实基础提升思维，教师可依托清晰结构高效开展教学。

【课后练】基础-知识梳理-教师版 一、单选题 1．2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．据此求出答案即可． 【详解】解：将1250亿用科学记数法表示为， 故选：B． 2．如图，老虎山在熊猫馆的（    ） A．北偏西方向处 B．北偏西方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 【答案】A 【分析】本题主要考查了用方位角表示位置，根据图形可得答案． 【详解】解：，， 由题意可知，老虎山在熊猫馆的北偏西方向处． 故选：A． 二、解答题 3．将，，，在数轴上表示出来，并比较大小． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上，左边的数小于右边的数比较出这几个数的大小即可． 【详解】解：数轴表示如下所示： ∴． 4．在数轴上表示下列各数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画数轴，如图 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)625 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算、积的乘方的逆用等知识点，掌握乘方的定义成为解题的关键． （1）直接根据乘方的定义计算即可； （2）直接根据乘方的定义计算即可； （3）直接根据乘方的定义计算即可； （4）直接根据乘方的定义计算即可； （5）先根据乘方的定义计算，然后去括号即可； （6）先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 6．用代数式表示： (1)比的倍小的数． (2)的一半与的和的平方． (3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射发炮弹．近防炮能发射多少发炮弹？ (4)购买件单价为元的商品要花多少元？若支付元还有剩余，应找回多少元？ 【答案】(1)比的倍小的数是； (2)的一半与的和的平方是； (3)近防炮能发射发炮弹； (4)购买件单价为元的商品要花元，若支付元还有剩余，应找回元． 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出代数式即可； （4）根据题意列出代数式即可； 【详解】（1）解：比的倍小的数是； （2）解：的一半与的和的平方是； （3）解：近防炮能发射发炮弹； （4）解：购买件单价为元的商品要花元，若支付元还有剩余，应找回元． 7．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 【答案】；． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂色的小正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有5个涂色的小正方形， 第2个图案有个涂色的小正方形， 第3个图案有个涂色的小正方形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个小正方形， ∴第4个图案中有个涂色的小正方形． 8．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 【答案】两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：李明跑步的路程＋刘伟跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间． 【详解】解：设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意，得 ， 解这个方程，得． 因为第二次两人还是从同一处同时反向出发， 所以又经过分钟再次相遇． 答：两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 三、填空题 9．已知多项式是关于的四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项和次数，熟练掌握多项式的概念是解题的关键，根据多项式的项数：多项式中单项式的个数，以及多项式的次数：最高项的次数，列式计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴且， ∴； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-知识梳理-学生版 一、单选题 1．2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，老虎山在熊猫馆的（    ） A．北偏西方向处 B．北偏西方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 二、解答题 3．将，，，在数轴上表示出来，并比较大小． 4．在数轴上表示下列各数： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 6．用代数式表示： (1)比的倍小的数． (2)的一半与的和的平方． (3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射发炮弹．近防炮能发射多少发炮弹？ (4)购买件单价为元的商品要花多少元？若支付元还有剩余，应找回多少元？ 7．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 8．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 三、填空题 9．已知多项式是关于的四次三项式，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 知识梳理 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握有理数的概念并能够进行有理数的运算。 02 学习和应用代数式的结构与运算规则。 03 能够理解并解决整式的加减、一元一次方程以及几何图形初步的相关问题。 3 01 有理数 1 1 4 笔 记 【知识点1 有理数】 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理 数.（注意：0即不是正数，也不是负数；不一定是负数，也不一定是正数； 不是有理数；） (2)有理数的分类: ① ② 5 笔 记 【知识点2 数轴】 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【知识点3 相反数】 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）的相反数是；的相反数是； （3）相反数的和为0   互为相反数；相反数的商为-1； （4）相反数的绝对值相等. 6 笔 记 【知识点4 绝对值】 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2）绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性. 7 笔 记 【知识点5 有理数比较大小】 （1）正数永远比0大，负数永远比0小，正数大于一切负数； （2）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4）数轴上的两个数，右边点表示的数总比左边点表示的数大. 【知识点6 倒数】 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若 互为倒数；若互为负倒数. 【知识点7 等于本身的数汇总】 相反数等于本身的数：0； 倒数等于本身的数：1，-1； 绝对值等于本身的数：正数和0； 平方等于本身的数：0，1； 方等于本身的数：0，1，-1. 8 例题 例1． ★ ★下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有 个，负数有 个 9 练一练 练1． ★ ★有理数0.5，，0，，3.1415，中，负数有 个 10 例题 例2． ★ ★化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 11 练一练 练2． ★ ★化简下列各数： (1)； (2)． 12 例题 例3． ★ ★绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ； 绝对值大于且小于的整数是 ． 13 练一练 练3． ★绝对值是的数是 ；的绝对值是 ． 14 例题 例4． ★ ★把用“>”号连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 15 练一练 练4． ★ ★在，中，最小的数是 ． 16 例题 例5． ★ ★如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 17 练一练 练5． ★ ★将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“<”连接起来： ，3，，1.5，0，2． 18 02 有理数的运算 1 1 19 笔 记 【知识点8 有理数的加法法则】 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 【知识点9 有理数的加法运算律】 （1）加法的交换律： ； （2）加法的结合律：. 【知识点10 有理数的减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即. 20 笔 记 【知识点11 有理数的乘法法则】 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 奇数个负数为负，偶数个负数为正. 【知识点12 有理数的乘法运算律】 （1）乘法的交换律：； （2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：.（简便运算） 21 笔 记 【知识点13 有理数的除法法则】 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不等于0 的数，都得0. 【知识点14 有理数的乘方】 （1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数. （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0. （3）是重要的非负数，即≥0；若  ，. 22 笔 记 【知识点15 有理数的混合运算】 混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【知识点16 科学记数法】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 【知识点17 近似数的精确位】 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 23 例题 例1． ★ ★计算： (1)； (2)． 24 练一练 练1． ★ ★计算： (1) (2) 25 例题 例2． ★ ★计算 (1)； (2)． 26 练一练 练2． ★ ★计算： (1) (2) 27 03 代数式 1 1 28 笔 记 【知识点1 代数式】 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式， 单独的一个数或一个字母也是代数式. 29 例题 例1． ★ ★若，则 ． 30 练一练 练1． ★ ★已知a、b互为相反数，c、d互为倒数；m、n满足， 求的值． 31 例题 例2． ★ ★某村种植了小麦、水稻、玉米三种农作物，小麦种植面积是a亩，水稻种植面积是小麦种植面积的4倍，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍少3亩．则水稻种植面积和玉米种植面积分别是多少？（用含a的代数式表示） 32 练一练 练2． ★ ★某人买了甲、乙两种品牌的衬衣，甲品牌的衬衣购买了件，比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则购买甲、乙两种品牌的衬衣共需要付款 元． 33 04 整式的加减 1 1 34 笔 记 【知识点2 单项式】 （1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式； （2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）； （3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）. 【知识点3 多项式】 （1）多项式：几个单项式的和叫多项式； （2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 【知识点4 整式】 单项式和多项式统称为整式（整式是代数式，但是代数式不一定是整式）. 35 笔 记 【知识点5 同类项】 （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 （与系数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【知识点6 去（添）括号】 （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 36 笔 记 【知识点7 整式的加减】 一找：（标记）；二“+”（务必用+号开始合并）；三合：（合并）. 【知识点8 多项式的升幂和降幂排列】 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来 叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 37 例题 例1． ★ ★先化简，再求值：， 其中，． 38 练一练 练1． ★ ★先化简，再求值： 其中a的倒数是 39 例题 例2． ★ ★如果多项式与多项式的差不含二次项，那么常数 ． 40 练一练 练2． ★ ★多项式 合并同类项后不含项，则常数k的值为 ． 41 05 一元一次方程 1 1 42 笔 记 【知识点1 等式及其性质】 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【知识点2 方程及方程的解】 （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 43 笔 记 【知识点3 一元一次方程】 （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：（是未知数，是已知数，且）. （3）一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质； 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母； 去 括 号----------注意符号变化； 移 项----------变号（留下靠前）； 合并同类项--------合并后符号； 系数化为1---------除前面. 44 笔 记 【知识点4 列一元一次方程解应用题】 （1）读题分析法：………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 45 笔 记 【知识点5 列方程解应用题的常用公式】 （1）行程问题：路程=速度·时间； ； . （2）工程问题：工作量=工作效率·工作时间； ； ； 工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量. 46 笔 记 （3）船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题： ①船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度； ②船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度 ； ③飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度 ； ④飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度； ⑤顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程. （4）商品利润问题：售价=定价· ， ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润. 47 例题 例1． ★ ★根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 48 练一练 练1． ★ ★下列运用等式的性质变形中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 49 例题 例2． ★ ★解方程： (1)； (2)． 50 练一练 练2． ★ ★解方程： (1)； (2) 51 06 几何图形初步 1 1 52 笔 记 【知识点1 几何图形】 （1）立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等； （2）平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等. 【知识点2 几何体的三视图】 主视图---------从正面看；左视图---------从左边看；俯视图---------从上面看. 【知识点3 立体图形的平面展开图】 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的. （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型. 53 笔 记 【知识点4 点、线、面、题】 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形； 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线； 面：包围着体的是面，分为平面和曲面； 体：几何体也简称体. （2）点动成线，线动成面，面动成体. 54 笔 记 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 A B A B A B 【知识点5 直线、射线、线段】（1）基本概念： 55 笔 记 （2）直线的性质： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. （3）画一条线段等于已知线段 ①度量法；②用尺规作图法. （4）线段的长短比较方法 ①度量法；②叠合法；③圆规截取法. （5）线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形： 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 56 笔 记 （6）线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简单地：两点之间，线段最短. （7）两点的距离：连接两点的线段的长度叫做两点的距离 （距离是线段的长度，而不是线段本身）. （8）点与直线的位置关系： ①点在直线上（或者直线经过点）； ②点在直线外（或者直线不经过点）. 57 笔 记 【知识点6 角的概念】 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 58 笔 记 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． （3）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （4）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 59 笔 记 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示   AOB 或BOA 任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间. 用一个大写字母表示   A 以这个点为顶点的角只有一个. 用数字表示   1 任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母. 用希腊字母表示    【知识点7 角的表示法】 60 笔 记 【知识点8 角的画法】 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． （4）用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． （5）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外， 根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，65°的角． 61 笔 记 【知识点9 余角和补角】 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质： （1）同角（等角）的余角相等． （2）同角（等角）的补角相等． 62 笔 记 【知识点10 方位角】 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 63 笔 记 【知识点11 钟表上有关夹角问题】 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 64 例题 例1． ★ ★下列平面图形不能围成正方体的是（   ） 65 练一练 练1． ★ ★如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 66 例题 例2． ★ ★如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ．   67 练一练 练2． ★ ★如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 68 例题 例3． ★ ★已知．那么补角的大小为 ． 69 练一练 练3． ★ ★如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则； ③；④平分．其中正确的是 ． 70 课堂练习 练一练 课堂练1． ★下列说法不正确的是（    ） A．10和的绝对值相等 B．0的绝对值是0 C．一个有理数的绝对值大于或等于0 D．1是绝对值最小的正数 72 练一练 课堂练2． ★下列图形中，与互为余角的是 （    ） 73 练一练 课堂练3． ★用四舍五入法，把精确到百分位的近似值是 ． 74 练一练 课堂练4． ★ ★如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为 ． 75 练一练 课堂练5． ★ ★写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为 ． 76 练一练 课堂练6． ★ ★ ★解方程： (1)； (2)． 77 下节课再见～ 78 $ 第12讲 知识梳理 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握有理数的概念并能够进行有理数的运算。 02 学习和应用代数式的结构与运算规则。 03 能够理解并解决整式的加减、一元一次方程以及几何图形初步的相关问题。 3 01 有理数 1 1 4 笔 记 【知识点1 有理数】 (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理 数.（注意：0即不是正数，也不是负数；不一定是负数，也不一定是正数； 不是有理数；） (2)有理数的分类: ① ② 5 笔 记 【知识点2 数轴】 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【知识点3 相反数】 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）的相反数是；的相反数是； （3）相反数的和为0   互为相反数；相反数的商为-1； （4）相反数的绝对值相等. 6 笔 记 【知识点4 绝对值】 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2）绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性. 7 笔 记 【知识点5 有理数比较大小】 （1）正数永远比0大，负数永远比0小，正数大于一切负数； （2）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4）数轴上的两个数，右边点表示的数总比左边点表示的数大. 【知识点6 倒数】 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若 互为倒数；若互为负倒数. 【知识点7 等于本身的数汇总】 相反数等于本身的数：0； 倒数等于本身的数：1，-1； 绝对值等于本身的数：正数和0； 平方等于本身的数：0，1； 方等于本身的数：0，1，-1. 8 例题 例1． ★ ★下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有 个，负数有 个 9 解析 【答案】 7 4 【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键． 根据大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数求解即可． 【详解】解：正数有，总共7个， 负数有，总共4个， 故答案为：7，4． 练一练 练1． ★ ★有理数0.5，，0，，3.1415，中，负数有 个 11 解析 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的分类，牢记负数的定义（小于）是解题的关键．根据定义即可求得答案． 【详解】解：有理数0.5，，0，，3.1415，中， 负数有： ，，共个． 故答案为：． 例题 例2． ★ ★化简下列各式的符号，并回答问题： ①；②；③；④；⑤． 问：（1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 13 解析 【答案】①．②；③．④．⑤；（1）（2），总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握相反数的意义及归纳总结规律及应用是解本题的关键．奇数个负号为负，偶数个负号为正，根据化简多重符号的方法，分别计算；再根据所得规律：奇数个负号为负，偶数个负号为正，求解（1）（2）． 【详解】解：①．②． ③．④．⑤． （1）当前面有2024个负号时，化简后的结果是． （2）当前面有2025个负号时，化简后的结果是． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 练一练 练2． ★ ★化简下列各数： (1)； (2)． 15 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相反数的意义，多重符号的化简方法：与“+”个数无关，有奇数个“－”号结果为负，有偶数个“－”号，结果为正，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． （1）利用多重符号的化简方法进行化简，即可得出答案； （2）利用多重符号的化简方法进行化简，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 例题 例3． ★ ★绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ； 绝对值大于且小于的整数是 ． 17 解析 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：绝对值小于的整数有个，分别为；绝对值大于且小于的整数是， 故答案为：，；． 练一练 练3． ★绝对值是的数是 ；的绝对值是 ． 19 解析 【答案】 ， 【分析】本题考查绝对值，解题的关键是掌握：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．据此解答即可． 【详解】解：∵的绝对值是，的绝对值是， ∴绝对值是的数是，； ∵，的绝对值是， ∴的绝对值是． 故答案为：，；． 例题 例4． ★ ★把用“>”号连接，正确的是（   ） A． B． C． D． 21 解析 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，有理数的大小比较，先整理，再结合，且正数大于0，0大于负数进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， 即， 故选：C． 练一练 练4． ★ ★在，中，最小的数是 ． 23 解析 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求一个数的绝对值，根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是， 故答案为： 例题 例5． ★ ★如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 25 解析 【答案】(1)D， (2) 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、数轴；关键是能利用数轴准确表示有理数，并能列式计算 （1）根据点B表示的数和的值即可求出点D表示的数，进而求得原点的位置，然后根据A在点B左侧即可解答； （2）根据的长度即可求单位长度． 【详解】（1）解：点B表示的数为，， 点C表示的数为：，点D表示的数为：， ∴原点所在的位置是点处； 点A表示的数为：， 故答案为：，， （2）当点D表示的数是32，点B表示的数为． ， 相邻两点之间的距离， ． 练一练 练5． ★ ★将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“<”连接起来： ，3，，1.5，0，2． 27 解析 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，理解“数轴上右边点表示的数比其左边点表示的数大”是解题的关键．利用数轴比较有理数的大小即可． 【详解】解：如图所示，在数轴上表示各数如下： 所以． 02 有理数的运算 1 1 29 笔 记 【知识点8 有理数的加法法则】 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 【知识点9 有理数的加法运算律】 （1）加法的交换律： ； （2）加法的结合律：. 【知识点10 有理数的减法法则】 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即. 30 笔 记 【知识点11 有理数的乘法法则】 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 奇数个负数为负，偶数个负数为正. 【知识点12 有理数的乘法运算律】 （1）乘法的交换律：； （2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：.（简便运算） 31 笔 记 【知识点13 有理数的除法法则】 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不等于0 的数，都得0. 【知识点14 有理数的乘方】 （1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数. （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0. （3）是重要的非负数，即≥0；若  ，. 32 笔 记 【知识点15 有理数的混合运算】 混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【知识点16 科学记数法】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 【知识点17 近似数的精确位】 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 33 例题 例1． ★ ★计算： (1)； (2)． 34 解析 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律去括号，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 练一练 练1． ★ ★计算： (1) (2) 36 解析 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键． （1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）按照含乘方有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 例题 例2． ★ ★计算 (1)； (2)． 38 解析 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算解答即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算法则解答即可． 本题考查了有理数的加减混合，乘方混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 练一练 练2． ★ ★计算： (1) (2) 40 解析 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则及幂的运算法则求解. （2）根据有理数的混合运算法则及幂的运算法则求解. 本题考查了有理数的混合运算法则；先乘方、再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 03 代数式 1 1 42 笔 记 【知识点1 代数式】 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式， 单独的一个数或一个字母也是代数式. 43 例题 例1． ★ ★若，则 ． 44 解析 【答案】9 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的非负性,正确理解平方数的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．一个数的平方数和一个数的绝对值都具有非负性，故可得 ，，解得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：9． 练一练 练1． ★ ★已知a、b互为相反数，c、d互为倒数；m、n满足， 求的值． 46 解析 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值，相反数、倒数的定义、非负数的性质等知识，整体代入是关键．根据相反数、倒数的定义得到，根据非负数的性质得到，代入求值即可． 【详解】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数， 所以， 因为 所以, 所以 所以= 例题 例2． ★ ★某村种植了小麦、水稻、玉米三种农作物，小麦种植面积是a亩，水稻种植面积是小麦种植面积的4倍，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍少3亩．则水稻种植面积和玉米种植面积分别是多少？（用含a的代数式表示） 48 解析 【答案】水稻的种植面积是亩，玉米的种植面积是亩 【分析】此题考查了列代数式．小麦种植面积是a亩，水稻种植面积是小麦种植面积的4倍，玉米种植面积比小麦种植面积的2倍少3亩．据此列出代数式即可． 【详解】解：由题意，可得水稻的种植面积是亩，玉米的种植面积是亩． 练一练 练2． ★ ★某人买了甲、乙两种品牌的衬衣，甲品牌的衬衣购买了件，比乙品牌衬衣多2件．已知甲品牌衬衣的单价为80元，乙品牌衬衣的单价为60元，则购买甲、乙两种品牌的衬衣共需要付款 元． 50 解析 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据甲品牌的衬衣购买了件，比乙品牌衬衣多2件，列出两种衬衣件数的代数式，然后求出付款代数式即可解答． 【详解】解：∵甲品牌的衬衣购买了件，比乙品牌衬衣多2件， ∴甲品牌的衬衣共件，乙品牌的衬衣共件， ∴购买甲、乙两种品牌的衬衣共需要付款（元）， 故答案为：． 04 整式的加减 1 1 52 笔 记 【知识点2 单项式】 （1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式； （2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）； （3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）. 【知识点3 多项式】 （1）多项式：几个单项式的和叫多项式； （2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 【知识点4 整式】 单项式和多项式统称为整式（整式是代数式，但是代数式不一定是整式）. 53 笔 记 【知识点5 同类项】 （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 （与系数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【知识点6 去（添）括号】 （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 54 笔 记 【知识点7 整式的加减】 一找：（标记）；二“+”（务必用+号开始合并）；三合：（合并）. 【知识点8 多项式的升幂和降幂排列】 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来 叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 55 例题 例1． ★ ★先化简，再求值：， 其中，． 56 解析 【答案】，2 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 练一练 练1． ★ ★先化简，再求值： 其中a的倒数是 58 解析 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，再根据倒数的定义求出，最后把a，b的值代入化简后的整式求值即可． 【详解】解： ∵a的倒数是 ∴， ∴原式 例题 例2． ★ ★如果多项式与多项式的差不含二次项，那么常数 ． 60 解析 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式不含某项的问题，先列式求出两个多项式的差，再根据多项式不含二次项可得二次项的系数等于，解之即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵差不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 练一练 练2． ★ ★多项式 合并同类项后不含项，则常数k的值为 ． 62 解析 【答案】2 【分析】此题主要考查了整式的加减．直接利用合并同类项法则得出同类项之间系数的关系即可得出答案． 【详解】解： ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴， 故答案为：2． 05 一元一次方程 1 1 64 笔 记 【知识点1 等式及其性质】 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【知识点2 方程及方程的解】 （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 65 笔 记 【知识点3 一元一次方程】 （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：（是未知数，是已知数，且）. （3）一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质； 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母； 去 括 号----------注意符号变化； 移 项----------变号（留下靠前）； 合并同类项--------合并后符号； 系数化为1---------除前面. 66 笔 记 【知识点4 列一元一次方程解应用题】 （1）读题分析法：………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 67 笔 记 【知识点5 列方程解应用题的常用公式】 （1）行程问题：路程=速度·时间； ； . （2）工程问题：工作量=工作效率·工作时间； ； ； 工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量. 68 笔 记 （3）船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题： ①船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度； ②船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度 ； ③飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度 ； ④飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度； ⑤顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程. （4）商品利润问题：售价=定价· ， ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润. 69 例题 例1． ★ ★根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 70 解析 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可；（2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可；（4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵，∴，故答案为：； （2）∵，∴，故答案为：； （3）∵，∴，故答案为：； （4）∵，，∴，∴， 故答案为：． 练一练 练1． ★ ★下列运用等式的性质变形中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 72 解析 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、如果，那么，此项正确，不符合题意； B、如果，那么，此项正确，不符合题意； C、当时，如果，那么，此项不正确，符合题意； D、因为， 所以如果，那么，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 例题 例2． ★ ★解方程： (1)； (2)． 74 解析 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 练一练 练2． ★ ★解方程： (1)； (2) 76 解析 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为，即可作答； （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为，即可作答． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 把的系数化为得，； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 把的系数化为得，． 06 几何图形初步 1 1 78 笔 记 【知识点1 几何图形】 （1）立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等； （2）平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等. 【知识点2 几何体的三视图】 主视图---------从正面看；左视图---------从左边看；俯视图---------从上面看. 【知识点3 立体图形的平面展开图】 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的. （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型. 79 笔 记 【知识点4 点、线、面、题】 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形； 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线； 面：包围着体的是面，分为平面和曲面； 体：几何体也简称体. （2）点动成线，线动成面，面动成体. 80 笔 记 名称 直线 射线 线段 图形 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 A B A B A B 【知识点5 直线、射线、线段】（1）基本概念： 81 笔 记 （2）直线的性质： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. （3）画一条线段等于已知线段 ①度量法；②用尺规作图法. （4）线段的长短比较方法 ①度量法；②叠合法；③圆规截取法. （5）线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形： 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 82 笔 记 （6）线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简单地：两点之间，线段最短. （7）两点的距离：连接两点的线段的长度叫做两点的距离 （距离是线段的长度，而不是线段本身）. （8）点与直线的位置关系： ①点在直线上（或者直线经过点）； ②点在直线外（或者直线不经过点）. 83 笔 记 【知识点6 角的概念】 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 84 笔 记 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． （3）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （4）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 85 笔 记 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示   AOB 或BOA 任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间. 用一个大写字母表示   A 以这个点为顶点的角只有一个. 用数字表示   1 任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母. 用希腊字母表示    【知识点7 角的表示法】 86 笔 记 【知识点8 角的画法】 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． （4）用量角器量角和画角的一般步骤： ①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)； ③读数(读出另一边所在线的度数)． （5）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外， 根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，65°的角． 87 笔 记 【知识点9 余角和补角】 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质： （1）同角（等角）的余角相等． （2）同角（等角）的补角相等． 88 笔 记 【知识点10 方位角】 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 89 笔 记 【知识点11 钟表上有关夹角问题】 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 90 例题 例1． ★ ★下列平面图形不能围成正方体的是（   ） 91 解析 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、C、D中属于“1-4-1型”的是正方体的表面展开图，而选项B中含有“田”字，不是正方体的表面展开图， 故选：B． 练一练 练1． ★ ★如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 93 解析 【答案】A 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体．根据正方体的展开图即可解答． 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形后不能折叠成正方体的是甲． 故选：A． 例题 例2． ★ ★如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ．   95 解析 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段的有关计算，线段中点的有关计算，由线段中点的定义可得出，，由线段的和差可得出，进而可求出，最后根据线段的和差关系即可求出． 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∵，又， ∴， 即：， ∴， 故答案为：10． 练一练 练2． ★ ★如图点C在线段上，线段，点M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 97 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段中点的有关计算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）根据线段的和差可得，再根据线段的中点的性质可得和，最后再根据线段得和差可求的答案． （2）设，则，由，点M是的中点得出，根据线段得和差可得关与x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 点M，N分别是的中点， ，； （2）设， 点N是的中点，， ，且点M是的中点， 则， 即，解得． 则． 例题 例3． ★ ★已知．那么补角的大小为 ． 99 解析 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角的定义解答即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴∠补角的大小为， 故答案为：． 练一练 练3． ★ ★如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则； ③；④平分．其中正确的是 ． 101 解析 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的和差，平角的定义，角平分线的定义，根据平角的定义可判断①结论；根据平角的定义和角平分线的定义求出，可判断②；根据角的和差和角平分线的定义，可判断③；根据角平分线的定义可判断④；综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，，因无法证明， ∴无法得到， 即无法得出平分，故④错误； 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 课堂练习 练一练 课堂练1． ★下列说法不正确的是（    ） A．10和的绝对值相等 B．0的绝对值是0 C．一个有理数的绝对值大于或等于0 D．1是绝对值最小的正数 104 解析 【答案】D 【分析】本题考查有理数的绝对值的定义和性质．根据相绝对值的定义和性质解答可得． 【详解】解：A、10和的绝对值相等，说法正确，本选项不符合题意； B、0的绝对值是0，说法正确，本选项不符合题意； C、一个有理数的绝对值大于或等于0，说法正确，本选项不符合题意； D、没有绝对值最小的正数，原说法不正确，本选项符合题意； 故选：D． 练一练 课堂练2． ★下列图形中，与互为余角的是 （    ） 106 解析 【答案】D 【分析】此题考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 根据两个角的和等于，则这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：观察选项中只有选项D中，，即与互为余角， 故选：D． 练一练 课堂练3． ★用四舍五入法，把精确到百分位的近似值是 ． 108 解析 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，根据题意，把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法，把精确到百分位的近似值是． 故答案为：． 练一练 课堂练4． ★ ★如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为 ． 110 解析 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算的题目，掌握运算法则是解题的关键． 根据程序图，列出代数式是，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得 ， 故答案为：． 练一练 课堂练5． ★ ★写一个含有字母，，且系数为，次数是的单项式为 ． 112 解析 【答案】（或） 【分析】要构造满足条件的单项式，根据单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．明确单项式的系数、字母及次数，即可解答． 【详解】解：∵单项式的次数等于各个字母指数之和， ∴满足题意的单项式有两个：，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的概念．关键是理解单项式中单项式的次数、系数的概念． 练一练 课堂练6． ★ ★ ★解方程： (1)； (2)． 114 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 下节课再见～ 116 $ 【课后练】拔高-知识梳理-解析版 一、单选题 1．2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．据此求出答案即可． 【详解】解：将1250亿用科学记数法表示为， 故选：B． 2．如图，老虎山在熊猫馆的（    ） A．北偏西方向处 B．北偏西方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 【答案】A 【分析】本题主要考查了用方位角表示位置，根据图形可得答案． 【详解】解：，， 由题意可知，老虎山在熊猫馆的北偏西方向处． 故选：A． 3．已知与互为相反数，与互为倒数，是数轴上到原点距离为2的数，是最小的正整数，则的值为（   ）． A． B．2 C． D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握相关定义．根据相反数、倒数的定义，有理数的分类得出，，，，然后再代入求值即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 当时，， 当时， 综上可得的值为或， 故选：D． 二、解答题 4．将，，，在数轴上表示出来，并比较大小． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上，左边的数小于右边的数比较出这几个数的大小即可． 【详解】解：数轴表示如下所示： ∴． 5．在数轴上表示下列各数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画数轴，如图 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)625 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算、积的乘方的逆用等知识点，掌握乘方的定义成为解题的关键． （1）直接根据乘方的定义计算即可； （2）直接根据乘方的定义计算即可； （3）直接根据乘方的定义计算即可； （4）直接根据乘方的定义计算即可； （5）先根据乘方的定义计算，然后去括号即可； （6）先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 7．用代数式表示： (1)比的倍小的数． (2)的一半与的和的平方． (3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射发炮弹．近防炮能发射多少发炮弹？ (4)购买件单价为元的商品要花多少元？若支付元还有剩余，应找回多少元？ 【答案】(1)比的倍小的数是； (2)的一半与的和的平方是； (3)近防炮能发射发炮弹； (4)购买件单价为元的商品要花元，若支付元还有剩余，应找回元． 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出代数式即可； （4）根据题意列出代数式即可； 【详解】（1）解：比的倍小的数是； （2）解：的一半与的和的平方是； （3）解：近防炮能发射发炮弹； （4）解：购买件单价为元的商品要花元，若支付元还有剩余，应找回元． 8．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 【答案】；． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂色的小正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有5个涂色的小正方形， 第2个图案有个涂色的小正方形， 第3个图案有个涂色的小正方形， ……， 以此类推，可知，第n个图形有个小正方形， ∴第4个图案中有个涂色的小正方形． 9．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 【答案】两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：李明跑步的路程＋刘伟跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间． 【详解】解：设经过x分钟，两人首次相遇，根据题意，得 ， 解这个方程，得． 因为第二次两人还是从同一处同时反向出发， 所以又经过分钟再次相遇． 答：两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． 10．比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查了有理数大小的比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （2）先将化简，再根据负数都小于0即可得出结论； （3）先分别化简，根据负数与正数的特点即可得出结论； （4）根据负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以； （2）化简， 因为负数小于0，所以； （3）分别化简两数，得，， 因为正数都大于负数， 所以； （4）因为，， 从而， 所以． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、分数的乘除混合运算、分数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （3）按照分数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （5）先算乘方，再按照分数的乘除混合运算法则计算即可； （6）先算乘方，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）先分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （4）先分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 三、填空题 14．已知多项式是关于的四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项和次数，熟练掌握多项式的概念是解题的关键，根据多项式的项数：多项式中单项式的个数，以及多项式的次数：最高项的次数，列式计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴且， ∴； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-知识梳理-学生版 一、单选题 1．2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图，老虎山在熊猫馆的（    ） A．北偏西方向处 B．北偏西方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 3．已知与互为相反数，与互为倒数，是数轴上到原点距离为2的数，是最小的正整数，则的值为（   ）． A． B．2 C． D．2或 二、解答题 4．将，，，在数轴上表示出来，并比较大小． 5．在数轴上表示下列各数： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．用代数式表示： (1)比的倍小的数． (2)的一半与的和的平方． (3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射发炮弹．近防炮能发射多少发炮弹？ (4)购买件单价为元的商品要花多少元？若支付元还有剩余，应找回多少元？ 8．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？ 9．李明和刘伟在环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑，刘伟平均每分钟跑．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 10．比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．先化简，再求值：，其中． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 三、填空题 14．已知多项式是关于的四次三项式，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $