4.3.5 全等三角形的应用（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的应用，涵盖核心原理、判定定理选用、常见应用场景及实际测量思路，通过知识回顾（补充条件判定全等）衔接旧知，以测量河宽等实际问题导入新课，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合测量河宽、风力发电底座直径等生活案例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过“先判定后性质”的逻辑推理和详细解题步骤发展数学思维，课堂小结梳理判定思路，多样化练习助力用数学语言表达。学生能联系生活理解应用价值，教师可借助清晰结构和易错点指导提升教学效率。

湘教版数学八年级上册4.3.5 全等三角形的应用专项练习 一、核心知识点梳理 1. 全等三角形的核心应用原理：利用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，将未知的线段长度、角度大小转化为已知条件求解。几何应用核心思想为转化思想，通过证明三角形全等，实现边角关系的等量转化，是几何解题的核心思路。 2. 四大判定定理选用原则：题目已知两边找夹角（SAS）、已知两角找夹边或对边（ASA、AAS）、已知三边用（SSS）。根据题干条件灵活选取判定定理，先证全等，再用全等性质解题，所有几何应用题型均遵循“先判定、后性质”的固定解题流程。 3. 常见几何应用场景：求解未知线段长度、证明线段相等、求解未知角度、证明角相等、证明线段平行、证明线段垂直、解决实际测量问题（测池塘宽度、河宽、不可到达距离等）。全等三角形是衔接基础计算与几何证明的关键工具。 4. 实际测量应用思路：对于无法直接测量的距离，通过构造全等三角形，将不可测量线段转化为可测量线段，利用全等对应边相等得出测量结果，原理简单、实用性强，是本节应用题的高频考点。 二、本章高频易错点汇总 1. 解题顺序颠倒：未先证明三角形全等，直接使用对应边角相等结论，缺少核心推理步骤，证明逻辑不成立。 2. 定理选用混乱：不会根据题干条件匹配判定定理，强行套用定理导致条件不足，推理过程出错。 3. 等量转化失误：全等后找错对应边、对应角，导致未知量转化错误，计算结果偏差。 4. 实际模型不会构造：无法根据实际场景画出全等三角形模型，不能将实际问题转化为几何全等问题。 三、同步专项练习题 （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 利用全等三角形解题的核心目的是（） A. 美化图形 B. 转化边角等量关系 C. 随意证明 D. 仅用于画图 2. 已知△ABC≌△DEF，若AB=6cm，则DE的长为（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3. 可通过构造全等三角形测量的是（） A. 池塘两端距离 B. 铅笔长度 C. 书本宽度 D. 课桌边长 4. 证明角相等最常用的间接方法是（） A. 目测对比 B. 证明三角形全等，利用对应角相等 C. 随意猜测 D. 直接默认相等 （二）填空题（每题6分，共24分） 1. 全等三角形的核心性质是对应边________、对应角________。 2. 几何应用解题固定步骤：先________，再利用性质求解。 3. 测量不可到达距离的原理是构造________，实现边长等量转化。 4. 若△ABC≌△MNP，∠B=55°，则∠MNP=________°。 （三）解答题（共56分） 1. （16分）已知：AB=AC，AD是BC中线，求证：∠B=∠C。 2. （20分）如图，池塘两端为A、B，在地面取点O，使AO=CO，BO=DO，求证：AB=CD，可通过测量CD得到AB长度。 3. （20分）已知AB∥CD，AB=CD，求证：AD=BC。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：全等三角形的所有应用，本质都是利用边角等量转化，求解未知量或证明结论。 2. B 解析：全等三角形对应边相等，AB与DE为对应边，故DE=6cm。 3. A 解析：池塘两端距离无法直接测量，可构造全等三角形间接测量，其余均可直接测量。 4. B 解析：几何中证明角、线段相等，最严谨的间接方法就是证明三角形全等。 （二）填空题解析 1. 相等；相等 解析：全等三角形两大核心性质，是所有应用题型的基础。 2. 证明三角形全等 解析：所有全等应用必须先证全等，再用性质，缺一不可。 3. 全等三角形 解析：实际测量的核心模型，通过全等转化不可测量线段。 4. 55 解析：对应角相等，精准匹配对应顶点即可得出角度。 （三）解答题解析 1. 证明：∵AD是BC中线，∴BD=CD。在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知），BD=CD（已证），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。命题得证。 2. 证明：在△AOB和△COD中，∵AO=CO（已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），BO=DO（已知），∴△AOB≌△COD（SAS）。∴AB=CD（全等三角形对应边相等）。因此测量CD长度即可得到池塘AB的宽度。 3. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△CDA中，∵AB=CD（已知），∠BAC=∠DCA（已证），AC=CA（公共边），∴△ABC≌△CDA（SAS）。∴AD=BC（全等三角形对应边相等）。命题得证。 五、专项总结 本节是全等三角形章节的综合应用课，核心掌握“先证全等、后用性质”的解题模板，熟练根据题干条件灵活选用SSS、SAS、ASA、AAS四大判定定理。重点掌握全等三角形在边角计算、几何证明、实际测量中的三类核心应用，理解几何转化思想，学会将未知问题转化为已知全等模型求解。规避步骤颠倒、定理乱用、对应关系找错、不会构造测量模型等易错点。本节内容是初中几何从基础知识点向综合应用题过渡的关键，承接所有全等判定知识，是后续几何大题、综合推理、实际应用题型的核心基础，同学们需熟练掌握解题套路，规范书写步骤，全面吃透全等三角形知识体系。（全文1324字） 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.3.5 全等三角形的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 学习目标 学习目标 1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件 2.能正确地利用相关条件判定三角形全等； 3.运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角 相等的相关应用问题. 知识回顾 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC. 已知条件 补充条件 判定方法 AC=DC，∠A=∠D SAS ∠A=∠D，AB=DE ASA ∠A=∠D，AB=DE AAS AC=DC，AB=DE SSS AB=DE ∠B=∠E ∠ACB=∠DCE BC=EC 3 推进新课 在生活中，有时可以利用全等三角形的有关知识帮助我们解决一些实际问题. 为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.，如图所示. 于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？ 解 在△AEB和△CED中， ∠A = ∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB = ∠CED（对顶角相等）， 所以△AEB ≌△CED（角边角）． 从而 AB = CD（全等三角形的对应边相等）. 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 1．[株洲市期末]如图，某校学生为测量 点 到河对面的目标之间的距离，他们在 点同侧 选择了一点，测得 , , 然后在处立了标杆，使 ，那么他 们为了能测得， 之间的距离，还需要( ) D A. 直接测量 的长度 B. 测量 的长度 C. 测量 的度数 D. 作 交于点，测量出 的长度 返回 举一反三 7 2. 风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 实物的测量与计算 驱动问题 如何测量风力发电基础底座的直径 活动内容 利用三角形全等的知识进行测量与计算 举一反三 8 活动过程 如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径． ①从点A处向正西方向步行4 m到达点C处； ②从点B处向正东方向步行4 m到达点D处； ③从点D处沿正南方向步行一定距离 到达点E处，F为DE的中点； ④从点E处沿正东方向步行16 m到达 点G处，此时C，F，G三点在一条直线上 举一反三 (1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长． 【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE. 因为F为DE的中点，所以DF＝EF. 在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF， DF＝EF，∠CFD＝∠GFE， 所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16 m. 因为AC＝BD＝4 m， 所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)． 举一反三 10 返回 (2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据) 【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可． 举一反三 11 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图所示），使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少. 你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计）？ 例题 8 分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可. 解：如图，连接 AB，CD， 所以△AOB≌△COD （边角边）， 从而 AB = CD， 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 由题意可知，OA = OB = OC = OD. 在△AOB 和△COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD （对顶角相等）， OB = OD， 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图所示.已知AE为水平线，CA⊥ AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2 倍？为什么？ 例题 9 解 如图，过点B作BF⊥AC，交AC于点F， 则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB = ∠CAE = 90°， 所以FB∥AE，从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等， 所以∠CBF = ∠BAE， 从而∠CBF = ∠ABF. 所以△CBF≌△ABF （角边角）， 从而 CF = AF. 又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE∥FB， 所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段， 故AF = EB， 从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高度的2倍. 在△CBF 和△ABF 中， ∠CBF =∠ABF ， BF = BF， ∠CFB =∠AFB ， 还有其他方法证明AF = EB吗？ 3．小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠近小球时， 举一反三 18 如图②，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离BD为10 cm，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离CE为18 cm，则在两次摆动中，点B和点C的高度差DE的长为________cm. 8 举一反三 19 4. 如图，为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如下的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8 m，教学楼高度CE＝20.2 m，则AE的长为________m.   31 举一反三 20 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $