2026年9月份第一次质量检测重难点突破训练卷（测试范围1、2章）2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版八年级数学月考卷聚焦分式与因式分解，通过基础题巩固抽象能力，综合题如购物方案（21题）、新定义“雅中式”（23题）及阅读材料题（24题），培养运算能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式有意义、因式分解概念|基础辨析，考查符号意识| |填空题|6/18|科学记数法、分式值为0|细节掌握，强化数感| |解答题|8/72|分式化简求值、方程求解、实际应用（节水问题8题）、新定义探究（23题）、几何与代数结合（24题）|综合运用，突出模型意识与推理能力，贴合真题创新趋势|

2026年9月份第一次月考重难点突破训练卷（测试范围1、2章） 湘教版2026—2027学年八年级数学上册 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 4．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 5．如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 6．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 7．若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 8．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 9．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知则等于（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为_______． 12．已知，，则的值为________． 13．若代数式的值等于0，则_________． 14．因式分解：________． 15．已知：，则_____． 16．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．因式分解： (1)； (2)． 20．解分式方程： (1)； (2)． 21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 22．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 23．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 24．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C D D C D B 11．克 12．2 13． 14． 15． 16．且 17．【详解】解：原式 ． 18．【详解】解： ， 将代入， 则原式 ． 19．【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．【详解】（1）解：方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解是； （2） 解：方程两边都乘，， 解得，， 经检验，时，分母， 所以，原方程无解． 21．【详解】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件， ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． 答：甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件； （2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， ， 解得． ∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y取20，21，22，23， 共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件． 22．【详解】（1）解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 23．【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 24．【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 学科网（北京）股份有限公司 $