2026年9月份第一次质量检测重难点突破训练卷北师大版2026-2027学年八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数与勾股定理，通过数轴与圆弧结合（如第5题）、蚂蚁爬行最短距离（第7题）等情境，发展几何直观与空间观念，解答题融合赵爽弦图推导（第25题）与裁剪拼接创新（第24题），体现“三会”素养，适配月考重难点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、平方根性质|第5题结合数轴与圆弧，考查实数几何表示| |填空题|6/18|圆柱表面最短路径、半圆面积关系|第13题圆柱蚂蚁爬行，发展空间观念| |解答题|8/72|勾股定理应用、数学文化|第25题赵爽弦图推导勾股定理，融合文化传承；第24题裁剪拼正方形，培养创新意识|

2026年9月份第一次月考重难点突破训练卷北师大版2026—2027学年八年级数学上册 测试范围：第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 3．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（    ）米 A． B． C． D．4 7．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 8．一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，Rt的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（    ） A． B． C． D． 10．设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．的平方根是_______． 12．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 13．如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 14．若，则的值为______． 15．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于_______________________． 16．图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 19．如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 20．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 21．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 22．已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 23．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 24．综合与实践：将长方形纸片裁剪，各部分重新拼接可得到正方形，要求裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余． (1)①如图1，长方形，点R是中点，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形，则正方形的面积为____________，边长为____________； ②若长方形的长为，宽为n，则可拼成的正方形的边长为____________（用含n的式子表示）； (2)①若长方形的长为a，宽为b，则可拼成的正方形的边长为____________（用含a和b的式子表示）； ②如图3，长方形，沿虚线裁剪，将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图4拼成正方形，求和的长； ③长方形，，将其裁剪成若干块重新拼接成正方形，在图5和图6中画出两种不同的裁剪方式，并标出相关线段的长度． 25．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C A A A C 11．±2 12． 13．13 14．1 15． 16． 17．【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：或． 18．【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 19．(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 20．【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积的面积的面积 ． 21．(1) 解：所作线段和如图所示（图不唯一）： (2) 所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 22．【详解】（1）解：的平方根是， ， ； 的立方根是3， ， ， ， ， ， ， 的平方根为； （2）解：由（1）知，， 的算术平方根是4， ， ， ， ， 的立方根为． 23．【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 24．【详解】（1）解：①∵长方形， ∴长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并按图2拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：，； ②长方形的长为，宽为n，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； （2）解：①长方形的长为a，宽为b，则长方形面积为， ∵将该纸片剪成甲、乙、丙三块，并拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， 故答案为：； ②长方形，则长方形面积为， ∵拼成正方形， ∴正方形的面积为，边长为， ∴由图可得，正方形边长， 中，， ∴， 中，， ∴， (2)①； ②，； ③裁剪方式如下图： 25．(1)， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $