第四章 相似三角形 单元测试卷 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似三角形单元，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合实际情境与跨知识综合，适配初中数学单元复习，有效检测数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段（1题）、平行线分线段成比例（2题）、相似判定（3题）|结合建筑（2题）、格点图形（3题），考查几何直观与空间观念| |填空题|6/18|实际测量（12题旗杆高度）、动态问题（15题旋转）|融入生活场景，培养应用意识与抽象能力| |解答题|8/72|相似证明（17题）、作图探究（18题格点相似）、综合应用（24题正方形旋转）|设置道闸（20题）、黄金分割线（21题）等真实情境，突出推理能力与创新意识|

第四章相似三角形测试卷 一选择题(每题3分，共30分) 1.若x:y=1:3,2y=3z,则 的值是 ( ) A.-5 B. C. D.5 2.如图所示为某景区大门部分建筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16m,当DF:DE=4:3时,AB的长是 ( ) A.10m B.11m C.12m D.13m 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 ( ) 4.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的点,且DE∥AC。若 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 5.如图,矩形ABCD∽矩形GBEF,且E,A,B三点共线,连结AG,CE,CE与AD交于点H,若要求两个矩形的相似比，则只需知道 ( ) A. B. C. D. 6.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,CD边上,EF⊥AE,BH⊥AC于点H，EF与AC交于点M，BH与AE交于点N，则下列结论错误的是 ( ) A.△EFC∽△AEB B.△ECM∽△ABN C.△CFM∽△BEN D.△ANH∽△EFC 7.如图,已知AB⊥BC,DC⊥BC,AC与BD相交于点O,作OM⊥BC于点M,E是BD的中点,EG⊥BC于点G,交AC于点F,若AB=4,CD=6,则OM-EF的值 ( ) A. B. C. D. 8.如图，AB是半圆的直径，C是 的中点，E是AC的中点，连结EB，CA交于点F，则 的值为( ) 9.如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB。作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长,交射线BM于点C。设BE=x,BC=y，则y关于x的函数表达式为( ) 回 10.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点E在CD上，直线BE，DG相交于点H,且 BD，AF相交于点M。当点E在线段CD(不与点C，D重合)上运动时,有下列四个结论:①BE⊥GD;②AF,GD所夹的锐角为45°;( ④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二填空题(每题3分，共18分) 11.已知 则 的值为 。 12.为测量学校旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上。测得DE=0.5m，EF=0.25m,目测点D到地面的距离DG=1.6m,到旗杆的水平距离DC=18m,按此方法,可计算出旗杆的高度为 m。 13.如图,在▱ABCD中,E是BC边上的中点,G为线段CD上一动点,连结BG,交AE于点F,若 则 的值为 。 14.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上。每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽度BI为40cm，则FI的长为 。 15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AB上,线段DC绕点D逆时针旋转,端点C恰巧落在边AC上的点E处。如果 那么m与n满足的关系式为m= (用含n的代数式表示m)。 16.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=90°,连结AC,BD。设AC与BD相交于点E。若 ,DE:BE=3:5,则AE:CE= 。 解答题(共72分) 17.(6分)如图,点D在△ABC的边AB上,AD=1,BD=2, 求证:△ACD∽△ABC。 18.(6分)如图，图1、图2、图3均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上。在图1、图2、图3中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹。 (1)在图1中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似。 (2)在图2中画一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)。 (3)在图3中的线段AB上画一个点P，使 19.(8分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=3,AC=6,AE=4,AB=8。 (1)如果BC=7,求线段DE的长。 (2)设△DEC的面积为a，求△BDC的面积(用含a的代数式表示)。 20.(8分)如图所示为某小区入口处安装的汽车出入道闸示意图。如图1，道闸关闭时，四边形ABCD是矩形。如图2，在道闸打开的过程中，边AD固定，AD⊥直线l，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行，P为CD上的一点(不与点C，D重合)，过点P作PE⊥直线l,PF⊥MN,垂足分别为E,F,即四边形PENF是矩形,过点D作DQ⊥PE,垂足为Q,延长BC与PF相交于点R。 (1)△PDQ与△CPR相似吗? 请判断并说明理由。 (2)若道闸长AB=4m,宽AD=1m,点D距地面0.2m,PE=1.16m,RF=0.8m,CR=1.44m。 ①求点B到地面l的距离。 ②求PF的长。 21.(10分)如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果 那么称点C为线段AB的黄金分割点。某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到黄金分割线，类似地给出黄金分割线的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果 那么称直线l为该图形的黄金分割线。 如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D。 (1)求证：D是AB边上的黄金分割点。 (2)求证：直线CD是△ABC的黄金分割线。 22.(10分)如图,AD是△ABC的角平分线,过点B,C分别作AD的垂线,垂足分别为点F,E,CF和EB的延长线相交于点P，连结AP。 (1)求证: (2)若S△ABF=4,S△AEC=9,求AP:EC。 23.(12分)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,DC上,且 DE:EC=3:1,F是边AC上的一点,DF与AE交于点G。 (1)找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由。 (2)当DF平分∠ADC时,求DG:DF的值。 (3)如图2,当∠BAC=90°,且DF⊥AE时,求DG:DF的值。 24.(12分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与射线BA，直线AC交于E，Q两点，DN边与射线BC交于点F，连结EF，且EF与直线AC交于点 P,连结DP。 (1)当点E在线段AB上时。 ①求证:AE=CF。 ②求证:DP垂直平分EF。 (2)当AE=1时,求PQ的长。 1. A 2. C 3. A 4. D 5. C 【解析】∵矩形GBEF∽矩形ABCD,∴矩形GBEF与矩形ABCD的相似比是 ∵四边形ABCD是矩形,∴AH∥BC。∴△EBC∽△EAH。 ∴要求两个矩形的相似比，只需知道 故选C。 6. D 7. A 【解析】∵AB⊥BC,DC⊥BC,OM⊥BC,∴OM∥AB∥CD。∴△COM∽△CAB,△BOM∽△BDC。 ∵EG⊥BC,∴EG∥AB∥CD。∵E是BD的中点, ∴BE=DE。∴BG=CG。∴CF=AF。 ∴EF=EG-FG=1。 故选A。 8. D 9. A 10. D 11. 12.10.6 【解析】由题意得,CI=BI-BC=40-20=20(cm), EF=20 cm, FG=5 cm。∵ ∠EFC+∠CEF=90°, ∠EFC+∠GFI=90°, ∴∠CEF=∠GFI。∵∠ECF=∠FIG=90°,∴△GIF∽△FCE。 即 ∴CE=4FI。 在Rt△CEF中，由勾股定理得 即 解得 或FI=0(舍去),∴FI的长为 15.2n+1 16.1:5 【解析】过点D作DH⊥AE于点H。∵AD+BC=CD,∴∠ACD+∠BDC=∠DAC。∵∠DEA=∠ACD+∠BDC,∴∠DEA=∠DAC。∴DA=DE。∵DE:BE=3:5,∴设DE=3k,则BE=5k,DA=DE=3k。∵DA=DE,DH⊥AE, 设AE=a,CE=b,则 ∵∠AED=∠BEC,∠DAC=∠DBC, ∴△ADE∽△BCE。 ∴AE•EC=DE•BE。∴ab=15k²。 ∵∠ABC=90°,∠ABC+ADC=180°,∴∠ADC=90°。∴∠DAC+∠DCA=90°。∵DH⊥AE, ∴∠DAC+∠ADH=90°。∴∠DCA=∠ADH。 ∵∠AHD=∠DHC=90°,∴△ADH∽△DCH。 17.∵AD=1,BD=2, ∴AB=3。 又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC。 18.(1)如图1,△ADE即为所求。 (2)如图2,△DEF即为所求。(答案不唯一) (3)如图3，点P即为所求。 19.(1) 且∠DAE=∠CAB。∴△ADE∽△ACB。 (2)∵AE=4,AC=6, ∵AD=3,AB=8, 20.(1)相似。理由如下:∵四边形PENF是矩形,∴PF∥l,PE∥MN。∵DQ⊥PQ,∴DQ∥PF。 ∴∠PDQ=∠CPR。∵AD⊥l,AD∥BC,PF∥l, ∴BR⊥PF。∴∠PQD=∠CRP=90°。 (2)①如图，延长CR交直线l于点G，则点B到地面l的距离即为线段BG的长。 ∵RG=PE=1.16m,CR=1.44m,BC=AD=1m, ∴BG=BC+CR+RG=1+1.44+1.16=3.6(m)。 ∴点B到地面l的距离为3.6m。 ②设PC=x m,则DP=(4-x)m。 ∵△PDQ∽△CPR, ∵点D距地面0.2m,PE=1.16m,CR=1.44m, 解得x=2.4。∴PC=2.4m。 ∴PF=1.92+0.8=2.72(m)。∴PF的长为2.72m。 21.(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°。 ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=36°。 ∴∠BDC=∠B=72°,∠ACD=∠A=36°。∴BC= DC=AD。∵∠A=∠BCD,∠B=∠B, ∴△BCD∽△BAC。 ∴D是AB边上的黄金分割点。 (2)设△ABC的边AB上的高为h,则 ∵D是AB的黄金分割点， ∴CD是△ABC的黄金分割线。 22.(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAE。 又∵BF⊥AD,CE⊥AD,∴∠AFB=∠AEC=90°。 ∴△ABF∽△ACE。 (2)由(1)有 ∵BF⊥AD,CE⊥AD, ∴BF∥EC。 ∴AP∥EC。∴△APF∽△ECF。∴AP:CE=PF:CF。 ∴BF:CE=2:3。∴AP:CE=2:1。 23.(1)与△ACD相似的三角形有:△EBA,△EAD。理由如下:∵AB²=BE·DC, ∵AB= ∴△ABE∽△DCA。 ∵△ABE∽△DCA,∴∠AED=∠DAC。∵∠AED=∠C+∠EAC,∠DAC=∠DAE+∠EAC。 ∴∠DAE=∠C。∴△ADE∽△CDA。 (2)∵△ADE∽△CDA,又∵DF平分∠ADC, 设CE=a,则 DE=3CE=3a,CD=4a。 解得 (3)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°。 ∴∠DAE=∠C=45°。∵DG⊥AE,∴∠DAG= \sqrt{6}a。 \sqrt{3} =∠DAC,∴△ADE∽△DFA。 24.(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠BCD=∠DCF=90°。 ∴∠ADC=∠MDN=90°。∴∠ADE=∠CDF。 ②∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF。∵∠MDN=90°,∴∠DEF=45°。∵∠DAC=45°,∴∠DAQ=∠PEQ。∵∠AQD=∠EQP,∴△AQD∽△EQP。 ∵∠AQE=∠PQD,∴△AQE∽△DQP。∴∠QDP=∠QAE=45°。∴∠DPE=90°。∴DP⊥EF。 ∴PE=PF。∴DP垂直平分EF。 (2)①如图1,当点E在线段AB上时, 在Rt△ADE中, ∵∠DEF=45°,∠DPE=90°, 解得 ②如图2，当点E在BA的延长线上时，同(1)理得，∠DEF=45°,∠DPE=90°,△AQE∽△DQP,∴DP ∵AE∥CD,∴△AEQ∽△CDQ。 解得 综上所述，PQ的长为 或 学科网（北京）股份有限公司 $