精品解析：上海市晋元高级中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学开学考 2026.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 2. 若函数的最小正周期是，则实数=__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期是， 所以，所以. 3. 在中，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，， 所以. 4. 若，的值________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 所以， 所以. 5. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】252 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为， 令得，所以所求的常数项为. 6. 若等比数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设的公比为， 由得，解得 所以， 则. 7. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将直线整理为斜截式方程求出其斜率和倾斜角，结合两直线夹角，得到所求直线的倾斜角，进而得到斜率，再根据直线过定点，即可求出直线的方程. 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 8. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 9. 分别以，为定义域和值域的函数共有________个． 【答案】30 【解析】 【详解】要保证值域是，本质上就是把定义域中的个元素分为两组，一组对应，一组对应，且两组都不能为空， 设映射到的元素个数为，那么： 不能是（否则值域只有）； 不能是（否则值域只有），所以只能取 ，我们只需从 个元素中任选个作为对应的元素，剩下的自动对应， 计算组合数总和： 对应的有个：个； 对应的有个：个； 对应的有个：个； 对应的有个：个， 总数为：个. 10. 已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】内层一次函数递减，由同增异减得底数，再保证区间内真数最小值大于0，即可求解. 【详解】令，，则在严格递减. ，复合函数“同增异减”，在严格递减，单调递增，所以得出； 由真数恒大于零，所以在恒成立. 在严格递减，最小值在，所以. 综上所述，， 所以实数的取值范围是. 11. 手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 【答案】． 【解析】 【分析】圆柱侧面展开后，斜截线的高度随圆周方向变化呈正弦型．由圆柱底面直径确定周期，由截平面与底面所成角确定振幅，由最高点高度确定中线，再由最高点所在横坐标确定初相． 【详解】圆柱底面直径为 ，所以侧面展开后一个完整周期的长度为底面周长 ，故 ，得 ． 圆柱半径为 ，截平面与底面成 角，所以截线最高点与最低点的高度差为 ，故振幅 ． 截线最高点距底面 ，所以 ，得 ． 最高点所在母线对应的横坐标为 ，因此 在 处取得最大值，即 ． 又 ，所以 ． 因此摊平后的截线解析式为 ． 12. 若平面上的三个向量、、中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正交系统”．对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于，则称其为“λ－强正交系统”．已知平面上的三个单位向量、、构成一个“1－强正交系统”，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合新定义，将转化为两两数量积的关系，结合新定义的约束条件推导范围. 【详解】 因为、、是单位向量，所以 又因为、、构成一个“1－强正交系统”，所以、、至少存在一对向量互相垂直. 1）当、、只有一对互相垂直时，设，即. 则 又因为， 所以， 所以. 由题意可知，，则， 当时， ， 则； 当时，， 则. 所以. 2）当、、中有两对互相垂直时，设， 则，不合题意； 3）平面内不存在三个两两垂直的非零向量. 综上： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 13. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：甲＝（4＋5＋6＋7＋8）＝6，乙＝（5×3＋6＋9）＝6，甲的成绩的方差为（22×2＋12×2）＝2， 乙的成绩的方差为 （12×3＋32×1）＝2.4.故选C. 考点：统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图 14. 已知函数在上可导，其导函数为，若函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值和极小值； B. 函数有极大值和极小值； C. 函数有极大值和极小值； D. 函数有极大值和极小值． 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像符号，结合的正负，推出符号，判断单调性变化，确定极值点. 【详解】已知，通过图像，分区间判断的正负： 当时，，图像上，单调递增； 当时：，图像上，单调递减. 此时当时，左增右减，是极大值点，极大值为. 当时，，图像上，单调递减； 当时，，图像上，单调递增. 此时，左减右增，是极小值点，极小值为. 综上：有极大值，极小值. 15. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 16. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明平面，将空间线段绕轴旋转问题转化为计算平面内等边三角形外接圆与内切圆所构成的圆环面积问题即可求解. 【详解】因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 平面，所以平面， 因为平面且平面垂直于旋转轴， 所以绕旋转一周时，它始终在一个固定的垂直平面内运动， 因此，线段扫过的区域是一个平面圆环， 设旋转轴穿过平面的交点为， 易得三棱锥为正三棱锥，所以顶点到底面的垂线， 其垂足是底面正三角形的中心，因为平面且交点为， 所以是这个等边三角形的中心， 即求线段绕中心旋转所形成的圆环面积， 易得等边的边长， 外圆是由线段距离中心最远的端点或扫过的轨迹， 所以外圆半径是点到端点的距离， 在等边三角形中，既是中心也是外接圆的圆心，即是三角形的外接圆半径， 设的中点分别是，因为边长为，则， 则，则， 所以，即， 内圆是由线段上距离中心最近的点扫过的轨迹， 在等边三角形中最短线段为中心到边的垂线的长度，即， 易得为等边三角形内切圆与三角形的切点，即内圆半径， 在直角三角形中，，所以， 所以扫过区域的面积. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）因为该四棱柱为直棱柱，底面，底面， 所以，且， 故可以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，．，， 所以，即． 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用已知条件表示向量，利用向量坐标运算得，得到，最后证得直线平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，再结合二面角的平面角的概念，利用向量夹角公式求解即可. 最后进行计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面一个法向量， 则，，， ，取得， 设是平面的一个法向量，， 取得， 设平面与平面的夹角为， 那么， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的大小为． 18. 已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． （2）根据特殊角三角函数值求，根据同角三角函数基本关系式求，再利用两角和的正弦公式求，进而根据正弦定理可得的值． 【小问1详解】 由正弦定理及得，又，故． 由余弦定理，得，故． 【小问2详解】 由，得，则， 从而，． 若，则，于是，与已知矛盾； 又时，故， 即，故． 于是. 由正弦定理得． 19. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 【答案】（I）6人，9人，10人； （II）（i）,,,,共15种； （ii）. 【解析】 【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ,,,,共15种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种， 所以，事件M发生的概率. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 20. 已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【小问1详解】 将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. 【小问2详解】 直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. 【小问3详解】 四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为． 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可； （2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可； （3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可. 【小问1详解】 若是函数的驻点，则，可得，即得． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，， 此时，函数的单调递增区间为． ②当，即时， 令，得或， 令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ③当，即时，令，得或；令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得， 当时，，当时，， ∴函数在上严格递增，在上严格递减， ∴函数在端点或处取得最小值． ∵，∴， ∴，∴， 因此，实数的取值范围是 【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论： （1）存在； （2）存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋元中学2026-2027学年第一学期高三年级数学开学考 2026.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 函数的定义域为________． 2. 若函数的最小正周期是，则实数=__________． 3. 在中，，若，，则______． 4. 若，的值________． 5. 二项式的展开式中的常数项为______． 6. 若等比数列的前项和为，且，，则________． 7. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 8. 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 9. 分别以，为定义域和值域的函数共有________个． 10. 已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 11. 手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 12. 若平面上的三个向量、、中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正交系统”．对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于，则称其为“λ－强正交系统”．已知平面上的三个单位向量、、构成一个“1－强正交系统”，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 13. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 14. 已知函数在上可导，其导函数为，若函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值和极小值； B. 函数有极大值和极小值； C. 函数有极大值和极小值； D. 函数有极大值和极小值． 15. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 16. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 18. 已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 19. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 20. 已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $