第15章轴对称 章末复习与综合实践 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学轴对称章末同步练，通过“考点针对练-素养提升练-综合实践”三层设计，实现从单一知识点巩固到综合应用创新的递进，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考点针对练|轴对称图形、坐标对称、垂直平分线、等腰三角形等6大核心考点|选择/填空/简单证明结合，如古汉字轴对称识别（概念）、坐标对称计算（运算），夯实基础| |素养提升练|动点问题、规律探究|动态情境（如等边三角形双动点）与代数推理结合，培养推理能力与创新意识| |综合实践|最短路径问题（饮马/造桥选址）|实际情境（航海/牧民路线）中构建模型，发展应用意识与空间观念|

第15章轴对称 章末复习与综合实践 章末复习 一、考点针对练 考点1 轴对称与轴对称图形 1.古汉字“雷”有下列四种写法，其中可以看作轴对称图形的是（ ） 2.如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上.其中正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 考点2 用坐标表示轴对称 3.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________. 4.如图，在平面直角坐标系中，的一个顶点为. (1) 作关于轴对称的，并求出的面积. (2) 若是轴上一点，且与的面积相等，请求出点的坐标. 考点3 线段垂直平分线的性质与判定 5.如图，与相交于点.求证：垂直平分. 6.如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点. (1) 求证：. (2) 若，求证：. 考点4 逆命题、逆定理 7.命题“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题是________，这两个命题________(填“是”或“不是”)互逆定理. 考点5 等腰三角形的性质与判定 8.如图，及都是等边三角形，分别为的中点.若4，则图形外围的周长是（ ） A.12 B.14 C.15 D.16 9.如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接.若，则（ ） A.20° B.50° C.30° D.80° 10.如图，在中，平分交于点.若，则的长为________. 11.如图，是等边三角形，点分别在的延长线上，且.求证：是等边三角形. 考点6 含角的直角三角形 12.如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8时整，一艘船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东航行，10时整到达处，此时测得灯塔在处的北偏东方向. (1) 求处到灯塔的距离. (2) 已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险?请说明理由. 二、素养提升练 13.如图，在等边三角形中，.点，都以的速度运动，点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，两点同时出发.当两点运动时间为时，是直角三角形，则的值为（ ） A. B. C.或 D.或 14.如图，在中，，在上取一点，延长到点，使得；在上取一点，延长到点，使得；在上取一点，延长到点，使得按此操作进行下去，那么第个三角形的内角________.(用含的式子表示) 综合实践 最短路径问题 一、牧民饮马问题 1.如图，直线是一条河，是两个村庄.计划在上的某处修建一个水泵站，向两地供水.现有如下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道)，则所需管道最短的是（ ） 2.如图，在平面直角坐标系中，已知. (1) 是轴上的一个动点，当的值最小时，在图中画出点的位置. (2) 本题用到了哪些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上：________.(填序号) ①两点之间，线段最短； ②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ③角的平分线上的点到角两边的距离相等； ④三角形两边之和大于第三边. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当的值最大时，在图中画出点的位置，并写出点的坐标：________. 4.如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先牵着马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地.已知，请在图中设计一条路线，使所走的路程最短，并求出整个过程所行走的路程. 二、造桥选址问题 5.如图两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使之间的路程最短，试画出造桥位置.对于此题，我们可以这样解决： 如图2，把点向下平移河宽到点，连接交于点；过点作于点，则就是造桥位置. 请仿照以上材料，解决如下问题：如图两村之间有两条互相平行的河.一条河宽，另一条河宽，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使之间的路程最短，试画出造桥位置. 6.如图，一条东西流向的小河在点和点处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变.两地分别在河的北岸和西岸，现要分别在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从地到地的路径最短?并说明理由.(假设河两岸是平行线，桥与河垂直) 三、综合应用 7.综合实践：小明研究学习最短路径问题，发现可以根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究“牧民饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题. 【问题探究】 如图1，在等边三角形中，为的中点，分别为上的点，是线段上的动点，连接，求的最小值. (1) 小明提出的探究思路如下：如图2，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小 ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小. ②求的最小值. 【类比探究】 (2) 如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，，为的中点，平分交边于点，为边上的一个动点.若点在线段上，连接，则当的值最小时，点的坐标为________. 答案 章末复习 1.D 2.A 3. 4.解：(1) 图略.. (2) 设点的坐标为，解得或点的坐标为或. 5.证明：在和中，(ASA).点在线段的垂直平分线上.点在线段的垂直平分线上.垂直平分. 6.证明.(1) 为边的中点，.在和中， 为边的中点，直线为线段的垂直平分线..由(1) 可知，. 7.三个内角都是的三角形是等边三角形 是 8.C 9.C 10. 2 11.证明：是等边三角形，，即.(SAS)..同理可得，，为等边三角形. 12.解：(1) 根据题意，得，(海里)，海里.答：处到灯塔的距离为30海里. (2) 有触礁的危险.理由：过点作于点海里，海里.该船继续由西向东航行，会有触礁的危险. 13.C 14. 综合实践 1.D 2.解：(1) 图略. (2) ①②④ 3.解：(4，0) 图略. 4.解：图略，分别作出点关于，的对称点，，连接交，于点，连接，则线段即为所求路线.连接.由作图可得，为等边三角形.，，即整个过程所行走的路程为. 5.解：图略. 6.解：图略，在点，处造桥，，所得路径最短.理由如下：把河的两岸看成平行线和，将沿与河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，即点移动到点，点移动到点，则.同理，将沿与河岸垂直的方向平移等于河宽的距离，则.所以.当四点共线时，的值最小，为线段的长度.因此与直线的交点即为所求，即在点处造桥，所得路径B最短. 7.解：(1) ①证明：是等边三角形，为的中点，.点关于直线对称，点在线段上，.两点之间，线段最短，此时的值最小.②是等边三角形.，即的最小值为4. (2) (0，2) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $