第三十二讲 柯西不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十二讲  柯西不等式

柯西不等式 设 是实数,则

①

当数组 不全为零时,等号当且仅当 , 时成立。

①  式用求和记号表示为 。

下面给出两个比较经典的证法。

证法一 因为 ,

上面两式相减得

②

当且仅当 定值 时,等号成立。

其中②式称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。

证法二 若 ,则 ,此时命题显然成立。

若 ,构造一个二次函数

则此二次函数 的图象是一条开口向上的抛物线,并且 恒成立,

所以它的判别式 ,即

等号当且仅当 时成立。

柯西不等式的几种变形

由 ,知

变形 1

①

变形 2

②

变形 3 若 ,则

③

变形 4

④

例 1 设 是正实数,求证: 。

证明 由柯西不等式

所以 。

例 2 设实数 满足: ,求证: 。

证明 由柯西不等式 ,所以

即 ,解得 。

注 为了使得 与 能联系起来,凑了系数 ,这个方法很重要, 有很多问题可以这样去处理。

例 3 已知实数 满足: 。

求 的最大值。

解 已知条件可以化为 。

由柯西不等式

所以