第三十二讲 柯西不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十二讲柯西不等式 柯西不等式设a1,a2,…,Qn,b1,b2,…,bn是实数，则 a+a+…+ab+b++b≥a1b,+a,b2+…+a,bn}, ① 当数组a1,a2,,an;b1,b2,…,bn不全为零时，等号当且仅当b,=入ai=1, 2,,n)时成立。 ①式用求和记号表示为 空e2i 下面给出两个比较经典的证法。 2 证法一因为 i=1 上面两式相减得 fo.b-wbp 2 1 ② ≥0， 当且仅当g=定值i=1,2,“,n时，等号成立。 其中②式称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。 证法二若会-0喝a=a==a,=0此时命题显然成立 心：0教造一个二次的致 若 fx含e2-2含aA2时-容ax-h 则此二次函数fx的图象是一条开口向上的抛物线，并且fx≥0恒成立， 所以它的判式A4交aA-三a它e0即 2622 等号当且仅当b,=入ai=1,2,,n时成立。 柯西不等式的几种变形 变形1 2-吃2o- ① 变形2 2+2时交a+hr ② 变形3若b:∈R,i=1,2,",n,则 =1 ③ 变形4 2 ④ 例1设a、b、c是正实数，求证：0+b+c≥3 b+cc+aatb22。 证明由柯西不等式 latbeleesal-eclash ≥a+b+c≥3ab+bc+ca, 所以0。+h+c≥ 3 b+cc+aa+b22° 例2设实数a、b、c、d满足：a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d=5,求 证：1≤a≤2。 证明由柯西不等式仁++2b2+3c2+6d2≥b+c+d,所以 236 2+号+5-s- 即a-3a+2≤0，解得1≤a≤2。 注为了使得26+3+6d与b+c+d能联系起来，凑了系数分分君 ,这个方法很重要，有很多问题可以这样去处理。 例3已知实数a、b、c、d满足：a+b2+c2+d+a+3b+5c+7d=4。 求a+b+c+d的最大值。 解已知条件可以化为a+号了+6 ioi-ic-. 由柯西不等式 25-a*-b引cd a+ro+引re+引ra引 ={a+b+c+d+82, 所以 a+b+c+d≤2。 当a=2,b=1,c=0,d=-1时，上述不等式等号成立。 故a+b+c+d的最大值为2。 例4设a1,a2,“,ann>1是实数，且 2 72a) 求证：A<2a,a,1≤i<jn。 证明由柯西不等式 .-o 2 ≤12+12+…+12a1+a2+a+…+a in- 所以a含d公a片a2a网 故A<2a1a2。 同理，对所有1≤i<jn,均有A<2a,0,。 例5求函数fx=V2x-7+V12-x+只44-x的最大值。 解由柯西不等式 /2x-7+V12-x+9V44-x= 2+222 3 44-x 6 ≤3+2+6 2x-7+12-X+44×=112. 3 6 3 2 6 当且仅当 ,即 g2x-7 。之12二入 g44-x 1Y2 V 6 9 4 。36 2x-712-X44-x 时等号成立，解得x=8。 所以，fx的最大值为11。 注如果我们这样用柯西不等式 2x-7+9V12-x+9V44-x}=32x-7+12-x+44-x =3×49, 于是fx≤73，但是fx取不到73，因为不存在x使得 V2x-7=12-x=V44-x。 所以，系数的选取很重要，可以用待定系数法的方法。 例6设正实数a、b、c满是a2+4b2+9c2-4b+12c-2,求L+2+3 a bc 的最小值。 解由题设条件得a2+2b-12+3c-22=3。 由柯西不等式得3a+2b-1?+3c-22≥a+2b-1+3c-2,即 a+2b+3c-32≤9， 故a+2b+3c≤6. 又由柯西不等式得仁+2+3la+2b+3c≥1+2+3？，所以 a b c 1+2+32 36 ≥6， a b ca+2b+3c 当a=b=c=1时等号成立。 故上+2+3的最小值是6。 a b c 例7设X1,X2,…,Xn∈R,,满足：X1+X2+…+Xn=n,求证： 飞+及+ +2n+4x-x X2 X3 X1 n 证明由柯西不等式 -x,凶-x++1x,x- X2 X3 Xn X1 X:-x2)+2x++(x-1-x)+(:-x) X2+X3+…+X1 4x1-x2 n 即兰S+-2K%,++x+x+x++x 4x-x， X2 X3 X1 n 所以 x1-x}。 X2 X3 X1 n 例8设正实数：，X,,X。满足X=1,X=2,X0=2,求Y的最小 X 值。 解由x8+Xg+x10=5, ,上+1+1=2，则由柯西不等式 X8 X9 X10 是是=-X+x++x+X+g+Xo 1+1++1+1+1+1-10 X1 X2 X7 X8 Xg X10 =x+x,+…+x+51+1+…+1+2-10 X1 X2 X7 ≥7+/10-10=49+14V10, 当且仅当X1=X2=…=X7= /10 时等号成立。 2 所以员 的最小值为49+14V10 X 注一般地，对于正实数X1,X2,,Xn,有 2=x+x,++x2+++-n 1si-jsn Xj X1 X2 Xn 例9设n是正整数，a1,a2,“,an是正实数，求证： +1 ai az an (a1+az+.+an ≥n3+11+1++1+20232 (n+2023a1 a2 an a+a2++an 证明由柯西不等式 2 17 aa1+a2+…+an ≥+++1+ 1 12 a1a2anna1+a2+…+an 所以 十 2”1+1++1+ 1 2 n+1 a az an na+dz++an 于是只需证 1+1++1+1 n+1 a1 az an naj+az++an) 2023 之 n3+11+1++上+ n2+20232a1a2ana1+a2+…+an nln2+20231+L++1+ 1 a1a2anna1+a2+…+an ≥n2+11+1++1+2023 a1a2ana1+a2+…+an -n+22sn22+m+2023 i=1Q; ≥n+122+12023m2+2023 a -l2o23a-1字a2o23n-1 -a,2m, i=1i=1a; 从而命题得证。 例10正实数x少2满是+y+1求1产的 最小值。 饼当y陈型。 z33 下面明不饰式式文六要 2。 由柯西不等式 1y1-y-产*六 ≥x2+y2+z2=1. 因此只需证明1-y1-y+-水希范即 x3+y+z3+ 3≥x+y+z. 2 上式等价于 x3+22 33 +3小+y+. +y+n2 3V3 ① 由平均不等式 +品- 1 3V3'3V3 同理 33y≥y,z5+2 y+2 3 5z2≥z3, 所以①式成立，其中不等式等号在x=y=z= 3 3 时成立。 所以，所求的最小值为3 2 注(1)本题想通过不等式直接来求出最小值有点困难，我们先猜出它的最 小值为 33 2 ，然后再证明不等式，这也是一种很有效的求最大值与最小值的 方法。 (2)在运用柯西不等式时，很重要的一环是把握住不等式两边各个量的次数 关系。本题为了利用x+y+z=1这一条件，而凑出了 x1-x2+y引1-y2+21-z2这个式子。 例11实数a1,a2,…,Qn满足a1+a2+…+an=0,求证： maxa)s∑a-a}。 1<k<n 3 证明只需对任意1≤k≤n,证明不等式成立即可。 记dk=ak-ak+1,k=1,2,“…,n-1,则 ak=ak, ak-1=ak-dk,ak+2=ak-dk-dk+1,",an=ak-dk-dk+1--dn-1, ak-1=ak+dk-1,ak-2=ak+dk-1+dk-2,,a1=ak+dk-1+dk-2++d1, 把上面这n个等式相加，并利用a1+a2+…+an=0可得 nag-(n-k)dx-(n-k-1)dk-1--dn-1+k-1)dk-1 +k-2dk-2+.+d1=0。 由柯西不等式可得 (nag=(n-kldx+(n-k-1)dg+m+dn-1-(k-1]dx-1) -k-2dk-2-…-d1 rr2 唇r区an2写 控 所以 disgao 注涉及到a;-a+1或者a+1-a;时，常常令d;=a,-a1+1,可以将a1用若干 个d;来表示，从而解决问题。