第三十讲 不等式的解法讲义-2026年高中数学竞赛

第三十讲不等式的解法 解不等式，与解方程类似，可能多出解，也可能失去解。因此，在解不等 式时，要求尽量实行同解变形。在遇到关于根式、指数式和对数式的不等式 时，要注意运用函数的性质，将其转化为简单的不等式来求解。 例1解不等式：xx-1x2+1x+2x-5>0。 解原不等式与不等式（因x2+1>0) xx-1x+2x-5>0 ① 同解。如图，将各因式的根-2、0、1、5按数轴上的大小顺序自左向右标在 数轴上，然后从右端起，自数轴上方经过最大根5画曲线至数轴下方，再向上经 根1画至轴上方，又向下经过根0画至轴下方…曲线在数轴上方的区间即 是积xx-1川x+2(x-5)的正值区间，它们是不等式①的解集，所以原不等式 的解是 x<-2,0<x<1,x>5。 例1图 说明本题的解法称为数轴标根法。一般地，设多项式 Fx=x-a1lx-a2…(x-an, 它的n个实根的大小顺序为a1<a2<…<am,把数轴分成n+1个区间： -00,a1,a1,a2,,an-1,an,an,+∞ 自右至左计算这些区间的顺序号，则： (1)在奇数区间内，Fx>0: (2)在偶数区间内，Fx<0。 在例1中，-2<x<0,1<x<5是不等式xx-1(x+2x-5<0的解。 例2设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严 格递减，且满足fπ=1，f2π=0，求不等式组 0≤x≤1， 的解集。 0≤fx≤1 解由fx为偶函数及在1,2上严格递减知，fx在「-2，-1上严格递 增，再结合fx以2为周期可知，0,1是fx的严格递增区间。 注意到f4-π=fπ-4=fπ=1，f2π-6=f2π=0，所以 0≤fx≤1台f2π-6≤fx≤f4-π， 而0<2π-6<4-π<1，故原不等式组成立当且仅当x∈2π-6,4-π。 例3解不等式-2++2k>1。 x-1 xx+1 x 解原不等式可化为 k-1x2-k>0。 xx-1x+1 ① 因为1闻~10，于是不等式0与不等式女奇 >0同解，即 xx-1川x+1 X+ k-1 k-1 >0。 x x-1x+1 因为1+1所以 k->1,- <-1 Vk-1 如图，用数轴标根法得原不等式的解为 x<-1,0x<1,x 例3图 说明当不等式的因式的根含有参数时，必须先讨论根的大小，然后再用数 轴标根法求解。 例4已知x=a+1是不等式1og.xX2-x-2>1og.3+2x-x21的一个解， 解这个不等式。 解由 X-x-20,可得x∈2,31。因为x=a+1是解，所以a∈(1， 3+2x-x2>0 2)。于是 x2-x-2>3+2X-x2, 解阳3. 例5解不等式：/3x+5≥x-2。 解法一原不等式可转化为 3x+5≥0， (1) X-2≥0， 或(2)3x+5≥0， 3x+5≥x-22 x-2<0。 y 0 2 7+53 2 例5图 由不等式组0)得25x7+3。由不等式组②得5x≤2. 2 3 综上所述，可知原不等式的解集为 57+V53 3’2 解法二利用图象求解。如图，作函数y=3x+5,y=x-2的图象。 当3x+5≥0，即x≥- 时，两图象交点的横坐标为x=7+53 。 所以原 2 不等式的解集为 说明“数形结合”，即利用函数图象的直观性来解决不等式、等式问题， 是一种重要的思想方法。 例6已知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式 x2+2ax+3a≤2，求实数a的值。 解令fx=+2x+3a由f-引程知，函数的图象经过点 39 2'4 欲使得不等式x2+2ax+3a≤2只有一个解，则抛物线fx=x2+2ax+3a 的图象必须与直线y=2相切。 所以方程x2+2ax+3a=2,即x2+2ax+3a-2=0的判别式 4=4a2-43a-2=0。 解得a=1,2。 例7考虑不等式Vx+V2-x≥Vā，其中a是正实数。 (1)当a=3时，解这个不等式： (2)求所有a的值，使得这个不等式的解集是长度小于或等于3的一段 (也可能是一个点)。 解(1)当a=3时，原不等式为 Vx+V2-x≥V3 ~2x2-x≥1 =4x2-8x+1≤0， 所以x∈ 2-32+3 22 (2)由x≥0，且2-x≥0知，x∈0,2。 当a>0时，原不等式等价于2√x2-x≥a-2。 当a≤2时，x∈0,2是不等式的解，此时不满足题意。 当a>2时，则原不等式等价于 4x2-8x+a2-4a+4≤0， 由△=64-16a2-4a+420,可得2<a≤4。此时，不等式的解为 2-4a-a xs2+94a-a 2 2 所以 2+4a-a_2-y4a-as3, 2 2 a2-4a+3≥0， 因为2<a≤4，所以可得a∈3,4。 例8函数 fx)=k+1x+(k+3x+(2k-8) 2k-1x2+k+1x+k-4 的定义域用D表示，则使fx>0,对于任何x∈D均成立的实数k的集 合是什么？ 解若k+1=0,即k=-1,则fx=2x-10 x易知此时f以的定文拔 D=R。但当x>5时，fx<0,所以k=-1不合条件。 若fx>0对于任何x∈D均成立，设k+1x+k+3x+2k-8=0有两 个实根1、x2,则x1、x2一定为2k-1x2+k+1x+k-4=0的根。于是题 设的等价条件为 k+1>0, 2k-1 x+x=-k+3=-k+1 k+12k-1' x资导 △=k+32-4k+12k-8>0, ② ①③④ ②和③的公共解为k=1,且k=1满足①、④。其实，当k=1时， fx=2x2+4x-6 x2+2x-3 它的定义域为D=R\{1,-3}。当x≠1，-3时，fx=2>0。 若k+1x2+k+3x+2k-8=0无实根，则题设的等价条件为 k+32-4k+12k-8<0, (k+12-42k-1k-4≤0， k+1>0, 2k-1 即 k>15+162或k<15-16R2 7 k25或k≤号 7 k>或k<-1. 于是k>15+16V2 或k<15-162 7 7 所以，所求的实数k的集合是 kk=1或k15+162或k<15-162 7 7 例9解不等式： +1=X>0· V1+x1+x2 解令x=an受y受则 X tan y-siny, 1+x secy 1-x2=1-tany=cos2y。 1+x2 1+tany 原不等式可转化为siny+cos2y>0,即2siny-siny-1<0。所以 -1<siny<1. 因为y∈ L所以y分·灰而my3 2’2 6 3 注在某些情况下，利用变量代换，能将原不等式化简，给解题带来方便。 例10解不等式1ogx2+3x+5x+3x+1k1+log2X+1 解法一由1+1og,x+1=1og,2x4+2,及函数1og2y在0，+∞上为增 函数，所以原不等式等价于 X2+3x0+5x8+3x+1<2x4+2。 即 x12+3x10+5x8+3x5-2x4-1<0, 所以 x8+2x5+4x4+x2+1x4+x2-1<0, 而+2-1>0故x-1,5x-1+5<0 2 2 所以X<-1+5即-1+E<<1+5· 2 2 故原不等式解集为 解法二由1+103，x+1=1og,24+2及函数1og2y在0，+∞上为增 函数，所以原不等式等价于x2+3x0+5x8+3x+1<2x4+2。即 是+3*3X+12x+2=+1f+2+1 令g1=+2z则不等式为g卦g41,显然gc=+2:在R上为 增函数，由此上面不等式等价于>X+1,即x+父-1<0，解得X<5-1, 2, 故原不等式解集为 5-15-1 2 ’2 例11求满足不等式组 y-X-2x+0, y+x-1<2 ①② 的整数对x,y。 解由0得y>x-2x-2-号。由②得y<2-x-1s2。所以 y2. 1 ③ 满足③的整数为y=0,y=1。 当y=0时，有 2x x-1<2。 由x-1<2得-1<x<3故x=01,2。但x=1不满足X-2x3, 故此时有整数解x,y=0,0,2,0。 当y=1时，有 -2x号 x-1<1。 由K-1小<1得0<x2,故x=1·而X=1他满足以-2x号故此时 有整数解x,y=1,1。 所以满足原不等式组的整数解x,y为0,0,1,1,2,0。