第三十讲 不等式的解法讲义-2026年高中数学竞赛

第三十讲 不等式的解法

解不等式，与解方程类似，可能多出解，也可能失去解。因此，在解不等式时，要求尽量实行同解变形。在遇到关于根式、指数式和对数式的不等式时，要注意运用函数的性质, 将其转化为简单的不等式来求解。

例 1 解不等式: 。

解 原不等式与不等式(因 )

①

同解。如图,将各因式的根-2、0、1、5 按数轴上的大小顺序自左向右标在数轴上,然后从右端起, 自数轴上方经过最大根 5 画曲线至数轴下方, 再向上经根 1 画至轴上方, 又向下经过根 0 画至轴下方……曲线在数轴上方的区间即是积 5)的正值区间，它们是不等式①的解集，所以原不等式的解是

                      

例 1 图

说明 本题的解法称为数轴标根法。一般地，设多项式

它的 个实根的大小顺序为 ,把数轴分成 个区间:

自右至左计算这些区间的顺序号,则:

(1)  在奇数区间内， ；

(2)  在偶数区间内， 。

在例 1 中, 是不等式 的解。

例 2 设 是定义在 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 上严格递减， 且满足 ,求不等式组 的解集。

解 由 为偶函数及在 上严格递减知, 在 上严格递增, 再结合 以 2 为周期可知， 是 的严格递增区间。

注意到 ,所以

而 ,故原不等式组成立当且仅当 。

例 3 解不等式: 。

解 原不等式可化为

①

因为 ,即 ,于是不等式①与不等式 同解,即

因为 ,所以 。

如图, 用数轴标根法得原不等式的解为

                      

例 3 图

说明 当不等式的因式的根含有参数时, 必须先讨论根的大小, 然后再用数轴标根法求解。

例 4 已知 是不等式 的一个解, 解这个不等式。

解 由 可得 。因为 是解,所以 , 2)。于是

解得 。

例 5 解不等式: 。

解法一 原不等式可转化为

(1) 或 (2)

                      

例 5 图

由不等式组 (1) 得 。由不等式组 (2) 得 。

综上所述, 可知原不等式的解集为

解法二 利用图象求解。如图，作函数 的图象。

当 ,即 时,两图象交点的横坐标为 。所以原不等式的解集为