第十九讲 等差数列与等比数列讲义-2026年高中数学竞赛

第十九讲 等差数列与等比数列

在数列 中,如果从第二项起,后面一项与前面一项的差为定值 ,即

那么数列 称为等差数列,常数 称为公差。

在数列 中,如果从第二项起,后面一项与前面一项的比为定值 ,即

则称数列 为等比数列,其中定值 称为公比。

例 1 已知数列 是一个等差数列,首项与公差均为正数,且 依次成等比数列,求使得 的最小正整数 的值。

解 设数列 的公差为 ,则 。

因为 依次成等比数列,所以 ,即

化简上式得到: 。又 ,所以 。由

解得 。

例 2 已知 是各项均为正数的等比数列,且 是方程

的两个不同的解。求 的值。

解 对 ,有 ,即

因此, 是一元二次方程 的两个不同实根,从而 ,即 。

由等比数列的性质知, 。

例 3 正实数数列 满足: 。对所有正整数 、 、 成等比数列， 、 、 成等差数列。设 为此数列中小于 1000 的最大项,求 的值。

解 不妨设 ，由已知条件知， ， ， ，于是可以推出

由 ,可得 , 解得 。所以 。

所以 。而数列 是递增的,故此数列中小于 1000 的最大项为 ,因此 。

例 4 设等差数列 的公差为 ,前 项和为 。若数列 也是公差为 的等差数列,求数列 的通项公式。

解 设 ,这里 ,于是,

所以

故

这里 。所以 ,于是

解得 ,故 。

例 5 已知 为等差数列, 为等比数列,两数列满足: ,且 。求证: 当 时, 。

证明 设数列 的公差为 的公比为 ,则 ,由 得, 。

另外,由 ,有 ,故 。于是, 时,

所以,当 时, 。

例 6 给定正整数 和正数 。对于满足条件 的所有等差数列 ,求 的最大值。

解 由于 是等差数列,所以

由柯西不等式, ,即 。所以