第十讲 离散量的最大值和最小值问题讲义-2026年高中数学竞赛

第十讲 离散量的最大值和最小值问题 最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，尤其是离散量的最大值和最小值问题。所谓离散量最值, 具体地说, 是以整数、集合与子集、点、线、圆等离散量为背景, 求满足某些条件的最值。对于离散量的最值问题，尚无一般的方法，对不同的问题需要用不同的策略和技巧，因此难度较大。 解离散量的最值问题，虽无一般方法，但通常是从如下 4 个方面来考虑: 1. 枚举法; 2. 考虑极端情形; 3. 调整法;4. 估计“上界”与“下界”, 构造例子。 下面我们通过“问题”来介绍一些解决这类问题的方法。 例 1 设正整数 是 75 的倍数且恰有 75 个正整数因子 (包括 1 和自身)。求 的最小值。 解 设 的质因分解式为 ,其中 是 的不同质因数, 是正整数。于是 的正整数因子的个数为 1)。由已知, 所以 最多有 3 个不同的质因数。为了使 最小且是 75 的倍数, 的质因数应取自集合 ,并且 3 至少出现 1 次,5 至少出现 2 次,即 解得满足上述条件的 为 。 不难得到,当 时, 最小,此时 。 说明 本题通过 需满足的条件,缩小 的取值范围,进而把所有情形列举出来比较大小,即得问题的解。有时这种简单易行的方法很有效。 例 2 将集合 分拆为 个互不相交的非空子集 , 的并,若对于每一个 ,其中任意两个不同的元素的和都不是完全平方数,求 的最小值。 解 首先,考虑数 ,因为 ,所以,这 3 个数必须属于 3 个不同的子集,于是 。 另一方面,集合 可以分拆为 3 个互不相交的非空子集 、 的并,使得它们满足题设条件。令 容易验证 满足题设条件。所以, 的最小值为 3 。 例 3 某市有 所中学,第 所中学派出 名学生 到体育馆观看球赛，全部学生总数为 。看台上每一横排有 199 个座位，要求同一学校的学生必须坐同一横排。问体育馆最少要安排多少个横排才能保证全部学生都能坐下? 解 我们先证 12 个横排能保证按要求使全部学生坐下。把 1990 名学生按学校顺序排成一排,然后抽出第 199(从左向右算起)个学生所在学校的全体学生，第 398( = ) 个学生所在学校的全体学生 …… 第 1791(=199 × 9) 个学生所在学校的全体学生，留在队伍里的学生被分成 10 段，每一段的总人数<199>. 故用 10 个横排可以安排他们坐下。 由于 ,故每一横排至少可以坐 5 个学校的学生,于是抽出的 9 个学校的学生用 2 个横排就能安排他们坐下。所以我们证明了 12 排坐位能保证按要求使全部学生坐下。 为了说明 12 排是最少的, 就需要构造一个实例, 说明 11 排是不能按要求安排全部学生坐下的。 取 ，其中 79 个学校各 25 人，另一所学校派 15 人，则 。 由于 所以除了某排能安排 8 个学校的 名学生外,其余每排只能安排 7 个学校的学生，11 排总共只安排了 (个)学校的学生。矛盾。 说明 首先, 猜出结论是 12 (利用本题的解法不难想到), 然后证明 12 排是可以的，再构造实例说明 11 排不行。这种“先猜后证”的方法是非常有用的。注意，“构造” 不是唯一的，请读者自己再给出几个。 例 4 在一个有限的实数列中，任意 7 个连续项之和都是负数，而任意连续 11 项之和都是正数，试问这样的数列最多能有多少项？ 解 设项数最多的数列为 。首先可以证明 。因为若 。 考虑数表 它的每一行的和都是正数，从而数表中的所有数的和为正数。另一方面，它的每一列的和是负数，因此数表中的所有数的和都是负数，矛盾。 其次, 是可以实现的。取 16 项的数列 它是满足条件的。 综上所述，满足题意的数列最多只有 16 项。 注 细心的读者可能会问:这个 16 项的数列是怎样想(构造)出来的？这当然是经过了一些推敲的。假定 是对称的,即 ,设连续 7 项之和为 -1 , 连续 11 项之和为 1 , 则 所以 利用 11 项和为 1,得 。因此这个数列为 并且 。故 。 例 5 设 均为 , 10 的排列,求 的最小值。 解 因为 记 ,则 。 由于把 165 写成 10 个正整数的和，写法只有有限种，所以一定有一种使得 达到最小值。不妨设 ,满足 165,且使得 取到最小值,则 中任意两个数的差的绝对值不超过 1 。 事实上,若存在两个数 满足 ,令 , ,且 ,则 矛盾。 所以,当 时, 取到最小值 ,于是 当 分别为 , 时, 故 的最小值是 785。 例 6 16 名学生参加一次数学竞赛，考题全是单项选择题。每题有 4 个选择项。 考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同。问最多有多少道考题? 并说明你的理由。 解 先估计考题数的上界。设共有 道题,4 个选择项是 。记有 个学生对某道题 的答案是 。则 。 现定义“两人对”为某道题答案相同的两个人。考虑对题 答案相同的“两人对” 的总数 , 故 道题的两人对总数 。 另一方面，由题设知任意两个人至多构成一个两人对，所以 。从而 。 现在来指出 是可能的。当 时，存在如下答题方式满足题设要求，其中 表示 16 名学生: 注 先估计上界或下界, 然后再构造实例说明这个界是能够达到的, 是解决离散量最值问题的最有效的方法之一。 例 7 设 , 集合 求 的元素个数的最大值。 解 考虑一组满足条件的正整数 。 对 ,设 中取值为 的数有 个。根据 的定义,当 时, ,因此至少有 个 不在 中。注意到 ,由柯西不等式, 有 从而 的元素个数不超过 。 另一方面，取 则对任意 ,有 等号成立当且仅当 ,这恰好发生 次。此时 的元素个数达到 。 综上所述， 的元素个数的最大值为 160 。 学科网（北京）股份有限公司 $