第十讲 离散量的最大值和最小值问题讲义-2026年高中数学竞赛

第十讲 离散量的最大值和最小值问题

最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，尤其是离散量的最大值和最小值问题。所谓离散量最值, 具体地说, 是以整数、集合与子集、点、线、圆等离散量为背景, 求满足某些条件的最值。对于离散量的最值问题，尚无一般的方法，对不同的问题需要用不同的策略和技巧，因此难度较大。

解离散量的最值问题，虽无一般方法，但通常是从如下 4 个方面来考虑:

1. 枚举法; 2. 考虑极端情形; 3. 调整法;4. 估计“上界”与“下界”, 构造例子。

下面我们通过“问题”来介绍一些解决这类问题的方法。

例 1 设正整数 是 75 的倍数且恰有 75 个正整数因子 (包括 1 和自身)。求 的最小值。

解 设 的质因分解式为 ,其中 是 的不同质因数, 是正整数。于是 的正整数因子的个数为 1)。由已知,

所以 最多有 3 个不同的质因数。为了使 最小且是 75 的倍数, 的质因数应取自集合 ,并且 3 至少出现 1 次,5 至少出现 2 次,即

解得满足上述条件的 为

。

不难得到,当 时, 最小,此时 。

说明 本题通过 需满足的条件,缩小 的取值范围,进而把所有情形列举出来比较大小,即得问题的解。有时这种简单易行的方法很有效。

例 2 将集合 分拆为 个互不相交的非空子集 , 的并,若对于每一个 ,其中任意两个不同的元素的和都不是完

全平方数,求 的最小值。

解 首先,考虑数 ,因为 ,所以,这 3 个数必须属于 3 个不同的子集,于是 。

另一方面,集合 可以分拆为 3 个互不相交的非空子集 、 的并,使得它们满足题设条件。令

容易验证 满足题设条件。所以, 的最小值为 3 。

例 3 某市有 所中学,第 所中学派出 名学生 到体育馆观看球赛，全部学生总数为 。看台上每一横排有 199 个座位，要求同一学校的学生必须坐同一横排。问体育馆最少要安排多少个横排才能保证全部学生都能坐下?

解 我们先证 12 个横排能保证按要求使全部学生坐下。把 1990 名学生按学校顺序排成一排,然后抽出第 199(从左向右算起)个学生所在学校的全体学生，第 398( = ) 个学生所在学校的全体学生 …… 第 1791(=199 × 9) 个学生所在学校的全体学生，留在队伍里的学生被分成 10 段，每一段的总人数<199>. 故用 10 个横排可以安排他们坐下。

由于 ,故每一横排至少可以坐 5 个学校的学生,于是抽出的 9 个学校的学生用 2 个横排就能安排他们坐下。所以我们证明了 12 排坐位能保证按要求使全部学生坐下。

为了说明 12 排是最少的, 就需要构造一个实例, 说明 11 排是不能按要求安排全部学生坐下的。

取 ，其中 79 个学校各 25 人，另一所学校派 15 人，则 。 由于

所以除了某排能安排 8 个学校的 名学生外,其余每排只能安排 7 个学校的学生，11 排总共只安排了 (个)学校的学生。矛盾。

说明 首先, 猜出结论是 12 (利用本题的解法不难想到), 然后证明 12 排是可以的，再构造实例说明 11 排不行。这种“先猜后证”的方法是非常有用的。注意，“构造” 不是唯一的，请读者自己再给出几个。

例 4 在一个有限的实数列中，任意 7 个连续项之和都是负数，而任意连续 11 项之和都是正数，试问这样的数列最多能有多少项？

解 设项数最多的数列为 。首先可以证明 。因为若 。 考虑数表

                      

它的每一行的和都是正数，从而数表中的所有数的和为正数。另一方面，它的每一列的和是负数，因此数表中的所有数的和都是负数，矛盾。

其次, 是可以实现的。取 16 项的数列

它是满足条件的。

综上所述，满足题意的数列最多只有 16 项。

注 细心的读者可能会问:这个 16 项的数列是怎样想(构造)出来的？这当然是经过了一些推敲的。假定 是对称的,即 ,设连续 7 项之和为 -1 , 连续 11 项之和为 1 , 则