第三十一讲 平均值不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十一讲 平均值不等式

设 是 个正实数,记

分别称 为这 个正数的调和平均、几何平均、算术平均、平方平均。 这四个平均值有如下关系:

其中等号当且仅当 时成立。

平均不等式是最重要且基本的不等式之一, 应用及其广泛, 如能灵活运用, 将产生意想不到的效果。

例 1 设正实数 满足 ,求证:

证明 若 ,则 。

若 ,则由平均不等式得

而对于实数 ,有 ,所以

当 时等号成立 (此时 )。

例 2 设 是正实数， ，求证: 。

证法一 因为

由于 ,所以

等号成立当且仅当 时成立。

证法二 由于 ,同理

又 ,所以

等号成立当且仅当 。

注 证明不等式时很重要一点是先要观察等号什么时候成立, 然后在每一步放缩时都要保证取等条件是可以达到的。如果我们这样做

而 ,那么就完不成证明了。这是因为原不等式等号成立的条件是 , 等号成立的条件是 ,不满足 。

在处理 时,因为当 时, ,而 ,所以 ,于是把 写成 16 个 ，然后用平均不等式时可以保证等号是可以取到的。在证法二中把 写成 4 个 是一样的道理。

例 3 设 ,求证:

证明 由平均不等式

把上面三式相加, 便得

例 4 设 为正实数,求证:

证明 这个不等式把三元多项式的基本对称式都包含在其中了。先把不等式的左边化成平均的“形式”: