第三十一讲 平均值不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第三十一讲平均值不等式 设a1,a2,…,an是n个正实数，记 n H++…+。 1,Gn=Vaidam, aa2 an A,-+a++0,Q,= ai+az++an n 分别称HnGn、An、Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平 均、平方平均。这四个平均值有如下关系： mina1,a2,,an<Hn≤Gn≤An≤Qn≤maxa1,a2,…,an 其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。 平均不等式是最重要且基本的不等式之一，应用及其广泛，如能灵活运用， 将产生意想不到的效果。 例1设正实数a、b、c满足a>b2,b>c2,求证 lo-bbll 证明若c≤a2,则a-b2b-c2c-a2≤0。 若c>a,则由平均不等式得 a-b1b-clc-ulawbc-cd la-ob-bs 3 面对打实爱x布-好好所以 la-blb-ollc-dls 当a=b=c=号时等号成立（此时a>b,b>2)。 例2设a、b是正实数，a+b=1，求证： 证法一因为 ≥ab+1+」 1 +…十 ,1+27b.a 16ab16ab 16abVa b 1 661ab西+2， ≥171W 由于0<ab≤a+b=是，所以 44 4 4 等号成立当且仅当a=b=号时成立。 法=由于o叶日a+名。站品同即 Y44a3 b+25L b 又0<ab≤a+b-=1,所以 44 a*2b*25 1≥25 a 48 4225 等号成立当且仅当a=b=号 注证明不等式时很重要一点是先要观察等号什么时候成立，然后在每一步 放缩时都要保证取等条件是可以达到的。如果我们这样做 a+b+月 a a+品+8+84og4 而4<5，那么就完不成证明了。这是因为原不等式等号成立的条件是 a=b2,b+b名+号之4abb名g=4等号成立的条件是b=b-8 ab a b ab a b ab a b 不满足a=b号· 在处埋b+站时，因为当a=b=号时，b号，而心4，所以60b 16ab4 ,于是把b写成16个6b,然后用平均不等式时可以保证等号是可以取 1 ab 到的。在证法二中把君与成4个。是一样的道理。 例3设x,y,z∈-5,3)，求证： V3x-5y-xy+15+3y-5z-yz+15+3z-5x-zx+15≤12。 证明由平均不等式 3x-5y-xy+15=R3-y15+xs3-y+5+x, 3y-5z-z+15=3-z15+ys3-z+5+y 2 V3z-5x-2x+15=03-x5+zs3-x+5+2, 2 把上面三式相加，便得 /3x-5y-xy+15+3y-5z-yz+15+3z-5x-zX+15≤12。 例4设x、y、z为正实数，求证： xxty+z+x+y+3+93 x2+y2+zyz+zx+xy 99 证明这个不等式把三元多项式的基本对称式都包含在其中了。先把不等式 的左边化成平均的“形式”： xyzx+y+z+x+y+z2)x+y+z+x+y+z x2+y2+zyz+zx+xy *设月 x+y+z 1 7 x+y+7 x+y2+z1+1+1 x2+y2+z1+上+ x y Z λ= x+y+z y x y z 得 3 1x+y+2<。二所以，λ≤3，μ≤26。十是 3 13 x y Z 2x+y+2++y+Z-加+μ≤3t5. x2+y2+zyz+zx+xy 9 例5设a1,a2,“,ann≥2是正实数，且满足a1+a2++an<1。证明： a1a2…an1-a1+a2+…+an 1 a+a,++a1-a1-a-1-a,n 证明设an+1=1-a1+a2+…+an。显然an+1>0,于是得到和为1的n+1 个正实数。从而，欲证的不等式变为 n”+1a1a2…aan+1≤1-a1j1-a2-1-an1-an+1。 对于每个i=1,2,…,n+1,由平均不等式，有 1-a;=a1+a2+…+a1-1+a+1+…+an+1≥nVa1a2…a-1a+1…0n+1o 将这n+1个不等式相乘，便得 (1-a)(1-az)1-an2n1aia2an=na az"an. 注巧设an+1=1-a1+a2+…+an是上述解答的关键，这样不仅化简了欲证 的不等式，而且还使不等式的“结构”特征更清晰。 例6设a、b、c为正实数，求证：a+1,b+1+c+181。 > b c a 4 证明由平均不等式 a+1+b+1,c+1>3a+1b+1lc+1 b abc b+ C+ abc 1,1 33a 1.1 22 3232立 N22 abc 81 4。 注容易看出在a=b=c=号时等号成立，所以把a+1写成a++号等。 22 例7已知a,b,c,d∈[0，+∞，a+b+c+d=4,求证： a+b+c-+d≥2 b3+4c3+4d+4a3+43 证明由平均不等式6+4=++4≥36：所以 22 同女皆4曾 所以 a+b+c+d b3+4c3+4d+4a3+4 ed-abesedda 4-ob+c+山 3 1-b+bc+cd+da). 又 ab+bc+cd+da=a+cb+d) ≤a+c+b+d=4, 所以 a+btc+d>2 b3+4c3+4d3+4a3+439 当a=b=2,c=d=0时，上述不等式等号成立。 例8设a1,a2,…,an是1,2，…，n的一个排列。证明 1+2+…+n-1≤01++…+0n1。 23 n a2 a3 an 证明因为a1,a2,…,an是1,2，…，n的一个排列，所以 a1+1a2+1…an-1+121+12+1…n-1+1=aa2…an 于是 0+42+…+01+++…+1-0+02+…+01+1+1+…+1 d a3 dn 12 n dz d3 dn a az an =1+0t1+0,t1+…+0m-t1 a1 a2 a3 an ≥n a1+1a2+1…an-1+1 -≥n。 a1Q2…an 而n1+分+片2*号所以 01+02++0n-1≥1+2+…+n-1。 a2 a3 an-2 3 n 下面介绍一下加权平均不等式和幂平均不等式。 加权平均不等式设a1,a2,“,an和入1，入2，“，n是给定的正数组，且有 1测布几空a当月仅当a,==0时等写政立， 幂平均不等式设a1,a2,“,an是正实数，>阝>0，则 之af 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。 例9设a、b、c是正实数，满足1++上-1。求证 a b c a°bc+bca+cab≥27ab+bc+ca。 证明将不等式同除bc,注意到上++上-1，则原不等式等价于 a b c 1.a+1b+1.c≥27。 b 由加权平均不等式1a+b+上c≥abc下=bc· Q 由T均不等式1日+古品即c27,再结合前达不等式知结论 成立。 同10设正实数aa,“a,满足》a=n·求 n-1-1aa2…an+ a+a+…+ah 的最大值。 解当a1=a2=…=an=1时，所求式的取值为n”-1。 由幂平均不等式及平均不等式 nn-1-1a1a2…an+1 a+a+…+an n aa-d,+…+aa,-a,+++g n sr-4a =nan-2a+a吲+…+a+n-na,a2-a, ≤nn-2a+a+…+anP=nn-, 故 n-1-1a1a2…an na+a+…+a Sn-1 综上可知，所求式的最大值为n”1。