第十六讲 三角不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第十六讲 三角不等式

与三角不等式有关的知识点和解题方法主要有:

(1)  利用三角函数的有界性和单调性。这一方法在 3.1 中已经涉及。

(2)  利用三角形中的边角关系，包括三角形中边和角之间的不等关系、正弦定理、 余弦定理等。

(3)  与代数不等式相结合。许多代数不等式经三角代换后, 转为证明一个简单的三角不等式; 反之, 有时需将三角不等式转化为代数不等式来处理。

(4)  利用单位圆和面积。运用单位圆可以证明一个很重要的三角不等式:

当 时,有 。它是一个应用很广的不等式。

例 1 如果 ,求 的取值范围。

解 不等式 等价于

因为 是 上的增函数,所以 ,故 。

因为 ,所以 的取值范围是 。

例 2 求证: 。

证明 因为

由于 ,所以 。

因为 ,正弦函数在 上是增函数,所以

2 

例 3 求证: 。

证明 左边 。

由于 ,注意到 在 是单调递减的，所以 。

又 ,故原不等式成立。

例 4 已知 ,且 ,求 的最大值。

解 由题设等式可得 ,所以

令 ,则 ,于是 ,

3 

这里 是锐角, 。

所以 ,注意到 ,可得 。

当 时,题设等式成立。

所以, 的最大值为 。

例 5 设 。求 的最大值。

解 由和差化积公式知, 。

由条件知, ,而 ,

因此 。

令 ,则

所以 ,从而 。

当且仅当 时,上述不等式等号成立。

故 的最大值为 。

例 6 设 ,且 ,求乘积 的最大值和最小值。

解 由于 ,故 。所以

(由于 ,故 )。当 时, ,所以最小值为 。

又

且

由于 ,故当 时 取得最