第十六讲 三角不等式讲义-2026年高中数学竞赛

第十六讲三角不等式 与三角不等式有关的知识点和解题方法主要有： (1)利用三角函数的有界性和单调性。这一方法在3.1中已经涉及。 (②)利用三角形中的边角关系，包括三角形中边和角之间的不等关系、正 弦定理、余弦定理等。 (3)与代数不等式相结合。许多代数不等式经三角代换后，转为证明一个简 单的三角不等式，反之，有时需将三角不等式转化为代数不等式来处理。 (4)利用单位圆和面积。运用单位圆可以证明一个很重要的三角不等式： 当0e 0, 时，有sin0<0<an0。它是一个应用很广的不等式。 例1如果cos50-sin0<7sin30-cos30,0∈[0,2π)，求6的取值范围。 解不等式cos0-sin0<7sin30-cos3θ等价于 sin'0+号sin9>cos0+7cos50。 因为fx=x2+号x是(o,+o∞上的增函数，所以sin6>cos6,故 2a+￥←g<2m+gk∈Z。 因为日∈[0,2n)所以6的取值范围是（区，5π 4’4 例2求证：2sin2工- 42 <cos(sinx)-sin(cosx)2sin2 4 2 证明因为 cos sin x)-sin(cos x)=cos(sin x)-cos 经-cosX =2sin π-cosx+sinx 4 sin π_cosx-sinx 2 由于2o5xtnx≤2所以年号<osX生mx<平+2 42 因为0<”2严+2卫，正弦函数在 上是增函数，所以 42422 2π 2 2 42 <cos(sin x)-sin(cosx)2sin2 例3求证： sina+- 1/ cos a+- 125。 sina cos'a4 证明左边=sinacos2+ 1 -+cosa+sina。 sin acos a sin a cos a 2 由于0<sin2acos2a≤ sin2a+cos2a 2 注意到fx=x+在xe0,是 4 X 是单调递减的，所以sinacos2a+ 1 -之1+1=17 sin a cos2a41/44。 又sing+cosc≥2，故原不等式成立。 cos2a sin2a 例4已知A,B∈0受，且含-nA+B求amA的最大值. sin B 解由题设等式可得sinA=sin Bsin A cos B+cos A sin B),所以 tan A=sin B tan A cos B+sin B 令t=tanA,则t=tsin Bcos B+sinB,于是2t=tsin2B+1-cos2B, 3t-1=+1sin2B-0, 这里g是镜角，si血9=+1 1。 所以24-1s7西1注点到0，可得专。 当A=arctan1 n-+acs 3时，题设等式成立。 22 所以，mA的最大值为音 例5设a,β，y>0,ax+B+2y=π。求cosa+cos阝+sin2y的最大值。 解由和差化积公式知，c0s&+cosB=2c0sa+2c0s&,E。 2 由条件知，cosa+E-sinT-g-E=6iny>0,而cos&,≤1， 2 2 2 因此cos a+cosB+sin2y≤2siny+2 siny cosy=2siny1+cosy。 令cosy=x,则 ksiyl+cosl-3x 号33x+1+x+1+X+1+x9 4 所以siny1+-cosys33 3 4 ,从而cosa+cosβ+sin2y≤ 2。 当且仅当Q=A=名y=号时，上述不等式等号成立· 3 故cosa+cosB+sin2y的最大值为33 2 例6设x≥y2z登，且X+y+z受，求乘积in2 的最大值和 2 最小值。 解由于X2y2最放名x受是×2=号。所以 cos xsin ycos=siny++sin( 2osx+2 coi(-z上os2背日 .1 38 (由于 吾≤号ya,放oo siny40).当y=2最x-号时， 6 3 csiy0s2=日所以最小值为日· 又co=cosz×sin(x+y--sinx-yl sz-oszsinlk-ysosz, =1 且 coscos1+c05 1 °6_2+9V3 1222 8。 由于simx-y20,cos2>0故当X=y24,z=12时cosxsinyc0sz取得 12 最大值 2+3 8 综上，最大值为2+3 1 8 ,最小值为 8° 例7已知∠A、∠B、∠C为锐角三角形的三个内角。求证： sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π。 证法一由万能公式 2 tan A 2tan A 2 2 A 1 sin A+tan A= =2tan 1+tanA 1-tan2A 2 1+tan2A 1-tan?. 4tan 2 A 1-tanA。 二 2 由于∠A为锐角，0<tan号<1，因此0<1-an44<1, 4 tan A 2 >4 tan- 1-tanA 。 又∠A为锐角，tanA>∠A,则sinA+anA>2∠A。 2 同理，sinB+tanB>2∠B,sinC+tanC>2∠C。所以 sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2∠A+∠B+∠C=2π。 例7图 证法二如图，设∠A的终边OM与单位圆相交于点M,过点M作 MN⊥Ox于点N,过点Q作切线QP与OM相交于点P。则由三角函数 线知识可知： sinA=NM,tanA=QP,∠A=MQ。 下面通过计算面积来证明：sinA+tanA>2∠A。 过点M作圆的切线交PQ于点T。显然，由∠PMT=90°知， PT>MT=QT。于是 S△PMr>SAMTO>S号形m 所以，SAOM0+SAOPQ>2S扇形OMQ。故 NM+QP>2MQ,sinA+tanA>2∠A。 例8当x∈0,1时，不等式x2cos0-x1-x+1-xsin0>0恒成立. 求日的取值范围。 解令x=0,1知sinθ>0，cos0>0,即8为第一象限角。 当20,1时，原不等式可化为：产Qs0+产血0>1。 X 设六xt,则te0,+l,下求六xoms0+sin0=tos0+sin0 的最小值。由tcos0+n0≥2Vsin9co50,当且仅当？=an0时等号成立，知 t tcos0+sin0 的最小值为2sin0cos0。 依题意，2sn0cos0>1,即sin20>号，再结合6为第一象限角，因此 9e2k+2+设，kez. 例9不等式 sin20-22+2 asin9+-22 4 >-3-2a 0-4 对日e0,2 恒成立。求实数a的取值范围。 解设x=sin9+cos0,则有 如29=-1.n0r子coa-号xh,2 X-1-22+2a2x-22>-3-20 -X- 原不等式化为： 2 X 2 即 x2-1-2+alx-4+3+2a>0, X 整理得 |2-xa>2x-X+4-2x=x2-x+2×2-x。 X X 因为x∈1,2,2-x>0,所以a>x+2。 X 令fx=x+2,则函数fx在xe1,2上单调递减，所以fx在 x∈1,2上的最大值为f1=3。故。的取值范围为a≥3。 注在涉及sin0±cos8、si0cos0时，常用换元思想，设sin0±cos0=t。 例10是否存在实数a、b,使得函数fx=ax+b对区间0,2π内的任 意实数x,均有fx-flx)cosx<sinx。 4 证明原间题等价于是否存在fx,满足 Flx)-02) 用反证法。若存在这样的函数fx,在上式中令x=0,π，2π，分别有 b2amb+bom+h号 从而b>0,2am+b>0。注意到am+b=2am+bl+b>0,故 矛盾！故不存在这样的函数fx满足题中的要求。