第十七讲 反三角函数与三角方程讲义-2026年高中数学竞赛

第十七讲 反三角函数与三角方程

1. 反三角函数

我们知道,三角函数是周期函数,在整个定义域上不存在反函数,但在其单调区间上的反函数是存在的, 因此, 反三角函数只是三角函数在某一特殊区间上的反函数, 而不是三角函数的反函数。

对于反三角函数，除了掌握它的单调性、奇偶性外，还要熟悉一些基本关系。

例 1 设 。求证: 。

证明 由题设

①

有 。则 , 因此 。

若 ,则 ,于是 ,可知①式不成立。

若 ,则 ,于是 ,可知①式成立。

所以 。

设对任意的 ,则 ,且 。从而有 ,所以 , ,因此 ,又显然 ,但 。所以 。

从上例不难看出反三角函数的值域在解题中是不可忽视的。

例 2 求证: 。

证明 对任何正整数 ,有

又因为 ,故 。从而

①

在①中取 ,得

把这 个式子两边相加,即得所证等式成立。

例 3 已知数列 满足 。求正整数 ,使得 。

解 由已知条件可知,对任意正整数 ,且

①

由于 ,故 。由①得, ,

故

即 。因此

由 ,得 。

2. 三角方程

例 4 解方程: 。

解 原方程可以变形为 ,即

两边同乘 ,运用积化和差公式和正弦的倍角公式,得:

因此, 。从而 。

由 ,得 。故 。

由 ,得 。故 。

但在方程变形过程中,在方程两边同时乘了 ,因而引进了增根 Z), 所以,原方程的解为

例 5 求满足下列方程的 和 的数对:

解 易知 。

另一方面，由平均值不等式