第十七讲 反三角函数与三角方程讲义-2026年高中数学竞赛

第十七讲反三角函数与三角方程 1.反三角函数 我们知道，三角函数是周期函数，在整个定义域上不存在反函数，但在其单调 区间上的反函数是存在的，因此，反三角函数只是三角函数在某一特殊区间上的 反函数，而不是三角函数的反函数。 对于反三角函数，除了掌握它的单调性、奇偶性外，还要熟悉一些基本关 系。 例1设M={x,y)xy|=1,x>0},N={x,y|arctanx+arccot y=π。求 证：NCM。 证明由题设 arctan x+arccot y=π， ① 有arctan x=π-arccoty。则tanarctanx=tanm-arccot y=-tan arccoty ,因此x=-1 y 若x<0则y>0于是arcanx受0，0,号 ,可知①式不 成立。 若x0,则y<0,于是canx∈0，号 ,arccoty∈ ,可知①式成 立。 所以N={x,y|xy=-1,x>0}。 设对任意的a,b∈N,则a>0,且ab=-1。从而有lab=1,a>0,所以 (a,b)∈M,因此NcM,又显然1,1∈M,但1,1EN。所以NcM 从上例不难看出反三角函数的值域在解题中是不可忽视的。 1 1 1 n 例2求证：arctan2+arctan8 +…+arctan =arctan 8 2n2 n+1。 证明对任何正整数k,有 k_k-1 k。 tan arctan-arctan -1_k+1k1 k1+k+62k2° 又因为太k之0，放0 can行aca k k+1 k -1<亚。从而 k2 "k+-arctan k -1=arctan 1 arctan k 2k2 ① 在①中取k=1,2,…,n,得 1 arctan 1 -arctan0=arctan, arctan 3 -arctan2 1 arctan- n -arctan 1=arctan- 1 arctan n+1 n n3 把这n个式子两边相加，即得所证等式成立。 例3已知数列a.满足a,=看a=aa,n=1,2。求正整数 m,使得sina1sina,sinm-100 1 解由已知条件可知，对任意正整数n,a1∈ -ππ，且 2’2 tan an1=secan ① 由于seca,>0,放a,1∈0，。由0得ana,1cc'a,=1+ian'a,’ 2 故 tan'd,=n-1+tan'a:=n-1+1=3n-2 331 即tana,=3n-2 3 。因此 tan d tan dz.tand sinasin a2sindmseca secaz secam tana,tana2..tand(利用（ tana,tan a3 。tan am+1 1 tan dm+1 V3m+1 由 11 Y3m+1100,得m=3333。 2.三角方程 例4解方程：c0s2x+c0s22x-2c0sXc0s2xcos4x=3 解原方程可以变形为1+c0s2x+1+cos4X-2c0sXc0s2xc0s4x=3,即 2 2 4 cos2x+cos4x-4cosxcos 2xcos4x=-1 。 两边同乘2snx,运用积化和差公式和正弦的倍角公式，得： sin 3x-sinx+sin5x-sin3x-sin8x=-sinx. 因此，sin5x-sin8x=0。从而2cos13x.sin3x=0。 由c1空-0得号x=a*号。放X32k+1zkeZ 由sn登-0得登=a·放X号k∈Z。 但在方程变形过程中，在方程两边同时乘了snx,因而引进了增根 x=m(k∈)，所以，原方程的解为 2 X=2k+a,a∈ ,k∈Z。 13 例5求满足下列方程的x和y的数对： tanx+tany+2cot'x cot2y=3+sinx+y 解易知3≤3+sin2x+y≤4。 另一方面，由平均值不等式 tan4x+tan4y+2 cotx cot2y≥2 tan'xtan2y+2 cot2x cot2y≥4。 所以，原方程的右边小于或等于4，而左边大于或等于4，因此，满足已知方程 的数对x和y,一定能同时满足下列方程： tanx+tany+2cot xcoty=4, ① 3.+sin2x+y=4。 ② 前面我们可以看到，①只在tanx=tany和tanxtan y=1两个条件下 才成立，解得： X +kt, (1) 4 (2) x=-+a, 4 + y= 4 y=-1 I+kn, X= x=-I+kn, (3) 4 (4) + y24 其中k,1∈Z,数对(1)、(2)满足方程3+sinx+y=4,而数对3)、(4) 不满足。 注在求解一些三角方程时，常常还需应用三角函数的性质对方程进行讨 论。 例6解三角方程a5mx+引5in2x+g其中。为-实常数 解令smx+te-1,则 sin2x-inxtcosx-1-2sin1 从而at=2r2+8进而a=2+8=2t+∈-o0,-10]U[10,+o0l1≠0。 t 当a∈(-∞，-10]时，方程转化为2t-at+8=0,由求根公式可得 t=a±/a2-64 4 但由：el-1,1l知=a+g-64=6inx+牙， 4 +4 所以 x=kt+1arcsin g+a-64-k 4 同理，a∈[10，+w时，x=m+-1 i日-a-64_马，k∈Z· 4 4 当a∈-10,10时，原方程无解。 例7求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π)有唯一解的实数a。 解法一原方程可化为 -lco6x-c0s2x)+los4x-cos2x=d.xEI0.). cos4x-cos6a, 所以 sin5 xsinx=a。 令fx=sin5 xsinx,由于fn-x=sin5n-x)sin(-x,故flx关于 x=乃对称，所以fx=a在x∈[0，π)有唯一解，只可能在x=0或交时取 到。 当x=0时a=0,但此时X-号号，号r时均有fX=0即解不唯 一：当X=受时，a=1此时解唯一，符合要求. 综上，满足条件的a=1。 解法二由于 sin4xsin 2x-sin xsin 3x=2sin22x cos 2x-sin x3sinx-4sinx =2(2sin x cos x21-2sin2x-sin x3sinx-4sinx =8sin2x1-sin2x1-2sin2x-sin x3sin x-4sinx =16sinx-20sinx+5sinx, 故原方程等价于16sinx-20sin4x+5sinx=a,令sinx=t,则 16t2-20t2+5t=a,由于原方程有唯一解，t=1必是它的一个解，从而a=1,代 入检验，易知符合要求。